《应用数学基础》课件第二章 概率初步3.pptx

1、 在汽车保险业务中，汽车刮擦的可能性有70%；在一起抢劫案件中，律师提供的证据只有80%的可能性证明嫌疑犯有罪；一批产品中，有99%的产品是正品；在一个盛夏的夜晚，气象局发布了凌晨5点钟有50%可能性会有雷电的警报等等。在上述每一种情形中，都有某个事件发生的几率、可能性或者说概率。本章将对概率论相关知识进行一些简单的介绍，主要包括概率基础、树形图辅助概率计算、二项分布与正态分布、期望与决策等内容。通过这些内容的学习，你将了解概率是如何被应用到诸如社会、经济、法学等领域。第第一一节节 概率基础概率基础01第一节第一节 概率概率基础基础一、加法原理与乘法原理一、加法原理与乘法原理 从甲地到乙地，有

2、3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解解 因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事，有3条公路、2条铁路，所 以全部的走法共有523(种)做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的1m方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，L L，在第 类办法中有n种不同nm完成这件事共有种不同的方法。且每的方法，那么123nNmmmm种方法都能够直接达到目的。从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到 丙地共有多少种不同的走法？解解 根据要求，必须先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，才能从甲地到达丙地。因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2

3、种走法，所以从甲地到丙地，所有不同的走法有(种)3 26做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 种不同的方1m法，做第二步有2m种不同的方法，L L，做第 步有 n种不同的方法，那么nm完成这件事共有nmmmmN321种不同的方法。第一节第一节 概率概率基础基础 某大学公共课部有12名大学人文教师、8名数学教师、15名大学英语教师，省教育厅拟组织一次公共课课程研讨会，需要学校派教师参会。（1）若需要选派1名教师参会，有多少种不同的派法？（2）若需要3门学科各派1名教师参会，有多少种不同的派法？（3）若需要选派2名不同学科的教师参会，有多少种不同的派法？解解(1)分三类：第一类，派大学人文

4、教师，有12种不同的派法；第二类，派数学教师，有8种不同的派法；第三类，派大学英语教师，有15种不同的派法。所以，共有3515812种不同的派法。(2)分三步：第一步，派大学人文教师，有12种不同的派法；第二步，派数学教师，有8种不同的派法；第三步，派大学英语教师，有15种不同的派法。所以，共有种不同的派法。144015812第一节第一节 概率概率基础基础 某大学公共课部有12名大学人文教师、8名数学教师、15名大学英语教师，省教育厅拟组织一次公共课课程研讨会，需要学校派教师参会。（1）若需要选派1名教师参会，有多少种不同的派法？（2）若需要3门学科各派1名教师参会，有多少种不同的派法？（3）

5、若需要选派2名不同学科的教师参会，有多少种不同的派法？解解 (3)分三类：第一类，派1名大学人文教师和1名数学教师96812（种）第二类，派1名数学教师和1名大学英语教师120158（种）第三类，派1名大学人文教师和1名英语教师1801512（种）所以，共有种不同的派法。39618012096第一节第一节 概率概率基础基础二二、组合组合n()m mn一般地，从元素中取出 个元素的一个。m个元素组成一组，叫做从 个不同个不同元素中取出nn()m mn从不同元素中取出 个元素的，用符号 表示。m个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个个不同元素中取出mnCn：（1）mn mnnCC（2）01nC（3

6、）11mnmnmnCCC第一节第一节 概率概率基础基础 平面内有10个点，问以其中每2个点为端点的线段共有多少条？解解 平面内10个点中，任意2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即共有4512910210C（条）“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川512”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？第一节第一节 概率概率基础基础第一节第一节 概率概率基础基础解解(1)分步：从4名外科专家中任选2名24

7、C（种）除外科专家外的6人中选取4人46C（种）共有244690CC（种）(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法(直接法)按外科专家的人数分类 选2名外科专家 选3名外科专家 选4名外科专家904624CC803634CC152644CC根据加法计数原理，共有185264436344624CCCCCC种不同的抽调方法第一节第一节 概率概率基础基础(间接法)不考虑是否有外科专家610C 考虑选取1名外科专家参加5614CC 没有外科专家参加66C所以，共有：185665614610CCCC（种）第一节第一节 概率概率基础基础三三、概率的定义与性质概率的定义与性质 明天的天气、被分到的牌、你

8、是否会被染上禽流感、出现在彩票大奖中的数字等都是随机现象，为了讨论上述现象发生的可能性大小，我们首先介绍概率中的一些基本概念。在一定条件下，重复进行某种试验或观察，可能出现这种结果，也可能出现另一种结果，到底出现哪个结果，事先不能确定的现象。针对随机现象进行试验或观察。第一节第一节 概率概率基础基础随机试验的每一个可能结果或其中一些结果的集合称为，简称，通常用大写字母 表示。,CBA（1）在一定条件下，必然会发生的事件称为,记为（2）在一定条件下，必然不会发生的事件称为,记为在一定条件下对随机现象进行试验的每一个可能的结果。所有样本点组成的集合。第一节第一节 概率概率基础基础在不变的条件下，重

9、复进行 次试验，n事件n事件 发生的。n显然，概率具有下面三条性质 第一节第一节 概率概率基础基础四四、加加法法公式公式与乘法公式与乘法公式BA或BA或ABBA例如，掷一枚骰子，则第一节第一节 概率概率基础基础)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP)(1)(APAP如何借助集合运算的韦恩(Venn)图来理解加法公式？第一节第一节 概率概率基础基础 某设备由甲、乙两个部件组成，超负荷时，甲出故障的概率为0.90，乙出故障的概率分0.85，甲、乙两部件同时出故障的概率为0.80，求超负荷时至少有一个部件出故障的概率。80.0)(,85.0)(,90.0)(ABPBPAP于是

10、()()()()0.900.850.800.95P ABP AP BP AB即超负荷时，至少有一个部件出故障的概率是0.95。第一节第一节 概率概率基础基础 某厂出产的一批产品中含有一、二等品及废品三种，若一、二等品率分别为80%和13%，求产品的合格率和废品率。显然21AA则93.013.08.0)()()()(2121APAPAAPAP07.093.01)(1)(APAP第一节第一节 概率概率基础基础发生的概率为条件概率，记作 ，且)(ABP()()()P ABP B AP A你能借助集合运算的韦恩(Venn)图来理解条件概率公式吗？第一节第一节 概率概率基础基础 某种电子元件用满6000

11、小时未坏的概率是0.75，用满10000小时未坏的概率为0.5，现有一个这样的电子元件，已经用满6000小时未坏，问它再用4000小时也未坏的概率？解解 设5.0)(,75.0)(BPAP由于AB，即BAB,所以5.0)()(BPABP3275.05.0)()()(APABPABP第一节第一节 概率概率基础基础 表2-1为某企业男职工与女职工在过去5年的升职情况，试说明该企业在职工升职过程中是否存在性别歧视。男女小计升职人数801595未升职人数22085305小计300100400表2-1 某企业职工升职情况表解解 设 考虑升职过程中是否存在性别歧视，即考虑给定是女职工、男职工时升职的概率,

12、即需要求出)(),(ABPABP第一节第一节 概率概率基础基础从表2-1中可知75.0400300)(AP25.0400100)(AP2.040080)(ABP0375.040015)(BAP所以267.075.02.0)()()(APABPABP15.025.00375.0)()()(APBAPABP显然，在该企业中男职工的升职机会比女职工多一些。第一节第一节 概率概率基础基础)()()(APABPABP)()()(BPBAPABP第一节第一节 概率概率基础基础已知盒中装有10个电子元件，其中6个正品，现从盒中不放回地任取两次，每次取1个，问两次都取到正品的概率是多少?解解 设95)(,10

13、6)(ABPAP651()()()1093P ABP B AP A乘法公式还可以推广到多个事件相交的情况。)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP第一节第一节 概率概率基础基础五五、事件的独立性与贝努利试验事件的独立性与贝努利试验()()P B AP B如果 ，()=()P B AP B则乘法公式就可以表示为()=()()P ABP A P B()=()()P ABP A P B第一节第一节 概率概率基础基础关于事件的独立性，有如下性质：关于事件的独立性，有如下性质：)()()()(2121nnAPAPAPAAAP)()()(1)(2121nnAPA

14、PAPAAAP 在实际应用中，一般不借助定义来判断事件间的独立性，而是根据问题的具体情况，按照独立性的直观定义或经验来判断事件的独立性。第一节第一节 概率概率基础基础甲、乙两人考大学，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，问 （1）甲、乙两人都考上本科的概率是多少？（2）甲、乙两人至少一人考上本科的概率是多少？解解 设4.0)(,5.0)(BPAP（1）甲、乙两人考上本科的事件是相互独立的，所以两人都考上本科的概率是2.04.05.0)()()(BPAPABP（2）甲、乙两人至少一人考上本科的概率是7.02.04.05.0)()()()(ABPBPAPBAP第一节第一节 概率概率

15、基础基础某药厂生产一批产品要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.1，假定各道工序互不影响，试求该产品的合格品率。因为产品合格要求四道工序全部合格，则4321AAAAA 所以12341234()()()()()()0.98 0.97 0.95 0.90.8128.P AP A A A AP A P A P A P A第一节第一节 概率概率基础基础是指满足下面2个条件的随机试验：(2)各次试验都是相互独立的。()(1),(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn第一节第一节 概率概率基础基础一种药品对某疾病的治愈率为60%，今用该药治疗患者1

16、0例，问恰好治愈2例的概率是多少？治疗10例患者相当于做了10次贝努利试验，设0106.0)4.0()6.0()2()(8221010CPAP某射手每次击中目标的概率是0.6，如果射击5次，试求至少击中2次的概率。00511455()1()()1(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.826.P AP BP CCC 第第二二节节 树形图树形图辅助概率计算辅助概率计算02第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算一一、树形图辅助乘积事件概率的计算树形图辅助乘积事件概率的计算在美国，参加驾驶员考试的路考通常只有三次机会，有些人认为应该只给两次机会，而有些人则感到对于那些第三次才通过的人

17、而言，这样的规定过于苛刻。从历史的纪录来看，60%的人第一次路考就能通过，在第二次路考中有75%的人通过，而在第三次路考中只有30%的人通过。求（1）第二次才通过的概率?（2）第三次才通过的概率?第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算 图2-1 3次路考通过与否情的树形图第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算(1)第二次才通过路考考试，意味着第一次未通过、第二次通过，故可用图 2-1中的分支12OAA显然，第一次未通过的概率为1()0.4P A 第一次未通过的条件下，第二次通过的概率为21()=0.75P A A根据乘法公式，第二次才通过的概率为121212()=()(

18、)()0.4 0.750.3P AP A AP AP A A第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算(2)第三次才通过，意味着第一次、第二次都未通过且第三次通过，其对应于树形图中的分支为123OAAA所以123121312()()()()0.4 0.25 0.30.03.P A A AP AP A AP A A A 计算结果表明，到了第三次路考才通过的概率仅仅是0.03，所以减少路考的限制次数不会对参考者产生多大的影响。第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算为响应国家号召，某大学生参加村委会主任应聘考核，考核依次分为笔试、面试、试用共三轮，规定只有通过前一轮考核才能进入下

19、一轮考核，否则被淘汰，三轮考核都通过才能正式录用。设该大学生通过三轮考核的概率分别为0.5,0.75,0.8，且各轮考核通过与否相互独立，求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率？图2-2 大学生村官通过考核状态树形图第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算根据图2-2，该大学生未进入第三轮考核有两种可能，第一轮未通过考核或第一轮通过但第二轮未通过考核，即包含了两个分支1OA和21OAA两个分支的概率分别为1()=0.5P A12()=0.5 0.25=0.125P A A所以，该大学生未进入第三轮考核的概率为112112()()()0.50.1250.625.P AA AP AP A

20、A第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算二二、树形图辅助全概率问题的树形图辅助全概率问题的计算计算 在概率论中，人们常常希望从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂事件的概率。为达到这个目的，需要把一个复杂事件分解成若干个互不相容的简单事件的和，分别计算这些简单事件的概率，再利用概率的加法公式和乘法公式得到复杂事件的概率，这就是全概率问题，下面通过实例说明这种全概率问题的计算方法。仓库有甲、乙两厂生产的同类产品，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品中合格品占95%，乙厂产品中合格品占90%，现从仓库中任取一件产品，求取得合格品的概率。第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率

21、计算计算解解 设A=取得甲厂产品，B=取得合格品，画出树形图，并标出各分支的概率，如图2-3所示。图2-3 任取一件产品的树形图第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算显然，事件B可分解为两个事件的和，即BABAB根据树形图得()()()0.7 0.950.3 0.90.935.P BP ABP AB所以，取得合格品的概率为0.935。第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算三三、树形图辅助全概率问题的树形图辅助全概率问题的计算计算 如果随机事件A已经发生了，需要求在导致事件A发生的各种原因的概率有多少，即所求的是条件概率，这是由果探因的过程，是贝叶斯推断需要解决的问题。同

22、样，我们可以利用树形图解决贝叶斯推断问题。1981年3月30号，美国一所大学的退学学生John W.Hinckley企图对里根总统行刺，他打伤了里根、里根的新闻秘书以及两名保镖。在1982年审判时，Hinckley以他患有精神病为理由对自己进行无罪辩护，辩护律师也试图拿他的CAT扫描作为证据，辩护人争辩说因为Hinckley的CAT扫描显示了脑萎缩，因而Hinckley患有精神分裂症的可能性更大些。在美国精神分裂症的发病率大约为1.5%，下面从概率的角度对Hinckley是否患有精神分裂症进行可能性分析。以往的临床资料表明，精神分裂症患者扫描结果为脑萎缩的概率约为30%，而健康人扫描结果为脑萎

23、缩的概率约为2%。第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算 令A=精神分裂症患者，B=扫描结果为脑萎缩，画出树形图，并标出各分支的概率，如图2-5所示。图2-5 脑萎缩扫描的树形图第二节第二节 树形图树形图辅助概率辅助概率计算计算 从概率的角度分析Hinckley是否患有精神分裂症，就是求在扫描结果为脑萎缩的条件下，Hinckley患有精神分裂症的概率大小，即求()P A B根据图2-5，随机的一个人，其扫描结果为脑萎缩的概率()=0.015 0.30.985 0.02=0.0242P B一个人患有精神分裂症且扫描结果为脑萎缩的概率()=0.015 0.3=0.0045P AB根据条

24、件概率公式，得()0.0045()0.186()0.0242P ABP A BP B 由结果可知，虽然Hinckley的CAT扫描显示了脑萎缩，但是他患有精神病的可能性为18.6%，因此从概率的角度不能认为Hinckley患有精神分裂症。第第三三节节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布03第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布一一、随机变量的概念随机变量的概念 随机试验的结果可表现为数量，如产品检验中，出现的不合格品数；商店销售中的销售额、利润值；医疗治疗中治愈的病人数；某种零件的长度等。在随机试验中，每一个试验结果都用一个确定的数字表示。这样，随着试验结果变化而变化的变量称为随

25、机变量。通常用,YX表示。如果随机变量X的取值只有有限个或可列个数值。如果随机变量X的取值是整个数轴或数轴上某些区间第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布如果离散型随机变量X的所有的取值为,21kxxx，且X取每一个值(1,2,)ix i 的概率()iiP Xxp，将X可能的取值和取这些值的概率列成表2-2：表2-2 离散型随机变量的概率分布列XPi12kxxx12kPPP表2-2称为离散型随机变量X的，简称。第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布根据概率的性质，离散型随机变量的分布列有如下性质：1211iiipppp0(1,2,)ipi 对于离散型随机变量，在某一范围

26、内取值的概率等于它取这一范围内各个值的概率之和，即)()()(1kkkxXPxXPxXP第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布 掷一枚质地均匀的骰子，X表示骰子掷出的点数，用列表法表示X的分布列并求出 。)4(XP X的分布列如表2-3所示。XPi1 2 3 4 5 6 616161616161表2-3 X的分布列316161)6()5()4(XPXPXP第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布某服装店老板根据以往的经验估计每个进店顾客购买服装的概率是0.3，现有4名顾客进店，问其中有两名顾客会购买的概率是多少？设X表示会购买服装的顾客人数，则)3.0,4(BX故所求概率

27、为2646.0)7.0()3.0()2(2224CXP第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布已知某地区人群患有某种病的概率是0.2，研制某种新药对该病有防治作用，现有15个人服用此药，结果都没有得该病，从这个结果我们对该种新药的效果能得到什么结论？15个人服用该药，可看作是15次独立重复试验，若该药无效，则每人得病的概率是0.2，15个人中得病的人数应服从参数为(15,0.20)的二项分布，设15个人中的得病人数为X，则15人都不得病的概率是035.0)2.01()20.0()0(150015CXP 这说明，若药无效，则15人都不得病的可能性只有0.035，这个概率很小，所以实际上

28、可认为该药有效。第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布在美国某一刑事案件中，被告是一名非裔美国人，在被告居住的社区中，只有黑人或白人，其中50%的居民都是黑人，但12名陪审团成员中根本没有黑人列席，这中现象意味着是种族歧视还是偶然事件？设12名陪审员中的黑人数为X，则X=0的概率01201211(0)0.00024422P XC 利用EXCEL中的函数(0)(0,12,0.BINO5,0)M.DIS0.0002 4T4P X EXCEL操作演示第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布如果离散型随机变量X的分布列为()(0,0,1,2,)!kP Xkekk则称X 服从参数为

29、的，记为()XP 与二项分布类似，我们可以利用EXCEL中的函数解决泊松分布的概率计算问题。第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布一电话交换台每分钟收到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。(4)XP 设X表示每分钟收到的呼叫次数，则（1）每分钟恰有8次呼唤的概率844(8)0.029778!P Xe（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率4114(10)0.00284!kkP Xek，EXCEL操作演示第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布三三、正态正态分布分布 正态分布是在19世纪前叶，由高斯在研究误差

30、理论时发现的，通常也称为高斯分布，是应用最广泛的连续型随机变量分布。如果一个数量指标受到大量的彼此独立且作用微小的随机因素的作用，这个数量指标就服从或近似服从正态分布。表2-4给出了100位调查对象的初婚年龄统计情况。区间区间频次频次频率频率18.520.550.0520.522.5100.1022.524.5200.2024.526.5300.3026.528.5200.2028.530.5100.1030.532.550.05表2-4 初婚年龄统计表第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布根据表2-4的数据，容易画出它的频率直方图，如图2-6所示。如果我们的调查对象越来越多，年龄

31、区间越分越细，即不以两岁作为一个区间，而是以一岁、半岁、甚至更小的年龄段作为一个区间，则频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，如图2-7。图2-6 初婚年龄的频率分布直方图图2-7 频率分布的极限曲线第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布这条钟形曲线(近似地)就是下面函数的图像22()21()2xxe)(x 其中，实数 和 为参数，我们称 的图像为正态分布密度曲线，简称。()x第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布22()21()2xxe)(x一般地，对于随机变量X，如果存在一条正态曲线2(,)XN 第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布正态曲线有以下

32、性质：12第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布方差相等、均数不等的正态分布方差相等、均数不等的正态分布演示演示图图均数相等、方差不等的正态分布均数相等、方差不等的正态分布演示演示图图第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布如果设X 表示初婚年龄，则X是随机变量，X 落在某个区间的概率等于ab()=NORM.DIST,1aaP X()1 NORM.DIST,1bP Xb ,()NORM.DI,1,1STNORM.DISTbP aXab 第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布 依题意，2(10,3),XN（1）该车间工人中任选一人，其完成该道工序的时间不超过7分

33、钟的概率(7)NORM.DIST(7,10,3,1)0.1587P X（2）该车间工人中任选一人，其完成该道工序的时间不超过15分钟的概率(15)NORM.DIST(15,10,3,1)0.95220.95P X EXCEL操作演示第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布 设X为母亲怀孕期的天数，如果被告是孩子的父亲，则)10,270(2NX300X或240X300,270,10,(240300)NORM.DISTNOR1240,270,1M.D0,1IST=0.9973.PX即(300240)1(240300)0.0027P XXPX 或 这说明被告是孩子的父亲是几乎不可能发生的事情，因此被告可以根据该证词为自己辩护。EXCEL操作演示第三节第三节 二项分布和正态分布二项分布和正态分布 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量X几乎只取 之间的值，在实际应用中，称之为正态分布的 原则。),(2N)3,3(3