《应用数学基础》课件第五章 最优化问题.pptx
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- 应用数学基础 应用数学基础课件第五章 最优化问题 应用 数学 基础 课件 第五 优化 问题
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1、 在日常生活、经济管理和科学研究等领域,人们经常会遇到一类决策问题:在一系列客观或主观限制条件下,寻求使所关注的指标达到最优(最大或最小)的决策。例如,资源分配要在有限资源约束下,制定最优分配方案,使资源产生的总效益最大;生产计划要按照产品生产流程和市场需求,制定原料、零件和部件的最佳订购时间点,尽量降低生产成本使利润最高;运输方案要在满足物资需求和装载条件下,安排从各供应点到需求点的最优路线和运量,使运输总费用最低等。上述几类决策问题通常称为最优化问题(简称为优化问题),本章将简单介绍优化问题的数学模型,单变量和多变量优化问题的建模与求解等知识,为我们以后的工作和生活提供基本的优化思想。第第
2、一一节节 优化问题数学模型优化问题数学模型01第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型 设某产品的总成本(单位:元)函数为2()0.25151600C xxx产量,单位:千克),求当产量为多少时,该产品的平均成本最小,最小平均成本是多少?该问题的目标是平均成本最小,设平均成本为2()0.2 51 51 6 0 0C x xx,则1600()0.2515C xxx于是,建立该问题的数学模型如下:1600min()0.2515C xxx一、一、几个引例几个引例 给定一条1 米长的铁丝,要求将其弯成一个矩形,使得该矩形的面积最大。目标函数目标函数 12max Sxx约束条件约束条件121222
3、=1.0,0 xxstxx借助EXCEL的“规划求解”工具,易求得120.25xx米时,矩形面积最大,最大面积为20.0625米第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型产品产品产品产品日允许消耗量日允许消耗量设设 备备A128(台时)原材料原材料B3012(100千克)原材料原材料C0515(100千克)某企业在计划期内要安排、两种产品的生产,已知每生产100千克产 品所需设备A及原材料B、C的消耗如表5-1所示。表5-1 生产设备和原材料消耗表 已知每生产100千克的产品可获利2万元,生产100千克的产品可获利5万元,问怎样安排生产,才能使每天获得的利润最大?第一节第一节 优化问题数学
4、模型优化问题数学模型1225zxx1228xx同理,因受原材料B、C的限制,可以得到以下两个不等式1312x 2515x 第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型综上所述,建立生产计划问题的数学模型为:目标函数目标函数 12max25zxx约束条件约束条件12121228312.5150,xxxstxxx0通过图解法或者借助EXCEL的“规划求解”工具,可得最优解为122,3,xx最优值为19。第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型某机械厂需要长80厘米的钢管800根,长60厘米的钢管200根,这两种长度不同的钢管由长200厘米的钢管截得。工厂该如何下料,使得用料最省?对于该问题
5、,首先必须找到可行的下料方式。由1根长200厘米的钢管去截得80厘米与60厘米两种型号的钢管,共有三种截取方法。一根长200厘米的钢管截得长80厘米的钢管2根;一根长200厘米的钢管截得长80厘米的钢管1根,长60厘米的钢管2根;一根长200厘米的钢管截得长60厘米的钢管3根。123zxxx第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型对于所需长80厘米的钢管:122800 xx对于所需长60厘米的钢管:2323200 xx综上所述,得钢管下料问题的数学规划模型为:目标函数目标函数 123min zxxx约束条件约束条件12232800.23200(1,2,3)ixxstxxxi为非负整数借助
6、EXCEL的“规划求解”工具,可得最优解为123=350,100,0 xxx第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型二、二、优化优化问题的数学模型问题的数学模型优化问题的数学模型一般包含三个要素:决策变量、目标函数和约束条件。1.决策变量决策变量在优化过程中经过逐步调整、最后达到最优值的参数,称为决策变量(简称变量)2.目标函数目标函数反映变量间相互关系的数学表达式称为目标函数,其值的大小可以用来评价优化方案的好坏。一般可表示为12max(min)(,)nzf x xx特别地,如果优化问题只有一个目标函数,称为单目标函数,如果优化问题同时追求多个目标,则该问题的目标函数称为多目标函数。第
7、一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型3.约束条件约束条件变量间应该遵循的限制条件的数学表达式称为约束条件或约束函数。约束条件一般可表示为:不等式约束12(,)0(0)ng x xx或等式约束12(,)0nh x xx其中,不带约束条件的优化问题称为无约束最优化问题。第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型4.优化问题数学模型的表示形式优化问题数学模型的表示形式121121211212max(min)(,)(,)0(,)0.t.(,)()0(,)()0nnmnnlnzf x xxh x xxhx xxsg x xxg x xx (5.1)式中满足所有约束条件的解称为,12(,)nx
8、 xx可行解的集合称为。求解优化问题(5.1),就是从可行域中找到一个解,使目标函数取得最大值(或最小值),这样的解称为,相应的目标函数值称为。第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型5.优化问题的基本类型优化问题的基本类型优化模型可以从不同的角度进行分类。根据决策变量的根据决策变量的数量数量:可以分为单变量优化问题和多变量优化问题根据决策变量在目标函数与约束条件中最高次项的次数是否大于根据决策变量在目标函数与约束条件中最高次项的次数是否大于1:可以分为线性规划问题和非线性规划问题根据决策变量是否要求取根据决策变量是否要求取整数整数:可以分为整数规划问题和连续优化问题根据有无根据有无约束
9、条件约束条件:可以分为无约束的优化问题和有约束的优化问题第一节第一节 优化问题数学模型优化问题数学模型 第第二二节节 单变量优化问题单变量优化问题02第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题一、一、单变量优化问题单变量优化问题 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,统称为。显然,最值只能在极值点或区间端点取得,而极值点的所有可能点只能是函数的驻点(使函数的导数为零的点)和函数导数不存在的点。因此,求函数的最值时只需考虑这三类点的函数值。按从小到大记为12,na x xx b3.求最大值和最小值,即计算在点12,na x xx b的函数值,并比较大小。第二节第二节 单变量优化问题单变量优化
10、问题 求函数32()392f xxxx,在a,b上的最大值和最小值。2()3693(1)(3)fxxxxx第二步,求可能的最值点,令0)(xf,解得1213xx、即所有可能的最值点为122,13,6axxb 、第三步,求最大值和最小值,计算各可能点的函数值(2)0,(1)7,ff(3)25,(6)56ff,比较大小,得函数的最大值为(6)56f,最小值为(3)25f 第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题求函数23()2(1)f xx在0,9上的最大值和最小值。23322()(1)331fxxx 第二步,求可能的最值点,令0)(xf,但当1x 时,()fx无意义,0,19axb、第三步,求
11、最大值和最小值,计算各可能点的函数值(0)1,(1)2,(9)2fff 比较大小,得函数的最大值为(1)2f,最小值为1x 第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题某租户有100间房子出租,若每间租金定为200元能够全部租出去,但每间每增加10元租金就有一间租不出去,且每租出去一间,就需要增加20元管理费。问租金定为多少才能获得最大利润?,由题意得,租出的房间数为20010010p2001002024002,10pp第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题 R p 出租的间数 价格/每间2200100120,1010pppp L p 收入成本2120(24002)10ppp2=122240
12、0.10pp第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题求导得 122.5pLp 0Lp令得唯一可能的最值点610p 即当每间房子的出租价格定为610元时,可获得最大利润。由于该实际问题确实存在最大值,因此利润函数在610p 有最大值。第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题二二、限制条件下双限制条件下双变量优化问题变量优化问题接下来我们讨论在限制条件(,)0g x y 下二元函数(,)f x y的优化问题。求函数22(,)2f x yxy在限制条件(,)10g x yxy 下的最小值。由10 xy,可得=1yx 222()2(1)321h xxxxx 故求导数,得()62h xx 0h x令
13、,得*13x(1)当13x()0h x时,在区间1(,)3内单调递减;(2)当13x()0h x时,在区间1(,)3内单调递增。因此*13x 是最小值点此时21 22,(,)33 33yf故(,)f x y在限制条件(,)=0g x y的最小值为23第二节第二节 单变量优化问题单变量优化问题 第第三三节节 多多变量优化问题变量优化问题03第三节第三节 多变量优化问题多变量优化问题一一、线性规划线性规划(1)有一组决策变量12,nx xxL(2)存在一组约束条件,且表示约束条件的数学式子都是线性等式或不等式。(3)有一个目标函数,且目标函数是线性函数。112211 11221n121 12222
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