人教版九年级数学上册课件：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系.ppt

1、21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优九年级数学上（RJ） 教学课件 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 导入新课导入新课 复习引入 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2 2 4 (40) 2 bbac xbac a 2.方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 讲授新课讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 一 算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x

2、+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方 程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0 -4 1 2 3 1 2 -1 x1+x2=-3 x1 x2=-4 x1+x2=5 x1 x2=6 2 31 0 22 xx 12 3 2 xx 12 1 2 x x 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0, 那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将 方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系 吗？ 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x

3、1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1 x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p ,x1 x2=q. 猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别 是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 12 b xx a 12 c x x a 22 12 44 22 bbacbbac xx aa 22 44 2 bbacbbac a 2 2 b a . b a 证一证： 22 12 44 22 bbacbbac x x aa 22 2 4 4 bbac a 2 4 4 ac a . c a

4、 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两 个根分别是x1、 x2，那么 12 b x +x = - a 12 c x x a 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac0. 1. x2-2x-15=0； 例例1 口答下列方程的两根之和与两根之积. 2. x2-6x+4=0； 3. 2x2+3x-5=0； 4. 3x2-7x=0； 5. 2x2=5. x1+x2= -p ,x1 x2=q. x1+x2=2,x1 x2=-15. x1+x2=6,x1 x2=4. 2 35 +-=0 22 xx1212 35 22 xxx x ， 1212 7

5、 0 3 xxx x ， 2 2-50x 1212 5 0 2 xxx x ， ax2+bx+c=0(a0) 两边都 除以a 2 0 bc xx aa 12 b xx a 12 c xx a 一元二次方程的根与系数的关系的应用 二 典例精析 12 1.3xx 12 1x x 12 2 2. 3 xx 12 3 3. 2 xx 12 4.0xx 12 2 3 x x 12 1 3 x x 12 0x x 下列方程的两根和与两根积各是多少？ x23x+1=0 ； 3x22x=2； 2x2+3x=0； 3x2=1 . 在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一 般式；(2) 在使用x1+x

6、2= 时，“ ”不要漏写. b a 注意 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7. , 5 k 3 . 5 3 () 5 3 5 6 , 5 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m 的值. 解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1 x2=15= 得

7、：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. , 3 m 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 1212 2 22 121122 2 22 121212 2 12 1212 31 ,. 22 12, 2 3113 2; 224 1131 23. 22 xxxx xxxx xx xxxxx x xx xxx x 解：根据根与系数的关系可知： 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1 x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 2 21 )(xx 2 2 2 1 xx 总结常见的求值: 12 11 1. x

8、x 12 12 ; xx x x 12 4.(1)(1)xx 1212 ()1;x xxx 12 21 3. xx xx 22 12 12 xx x x 2 1212 12 ()2 ; xxx x x x 12 5. xx 2 12 ()xx 2 1212 ()4.xxx x 222 121212 2.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 当堂练习当堂练习 1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_， m =_. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ， 则：p

9、 = , q= . 1 -2 3 2 -3 3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 12 ,xxk 12 1 . 2 k x x 1 () 14, 2 k k （2）因为k=-7,所以 则： 1 2 4.x x 12 7,xx 222 12121 2 ()()474 ( 4)65.xxxxx x 课堂小结课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么 x1+x2= -p ,x1 x2=q. 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两 个根分别是x1、 x2，那么 应 用 常见变形 222 121212 ()2xxxxx x 22 121212 ()()4xxxxx x 12 1212 11xx xxxx 12 b xx a 12 c x x a