人教版八年级数学上册课件：13.4　课题学习 最短路径问题 .ppt

1、知识是治疗恐惧的药知识是治疗恐惧的药。 爱默生爱默生 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 一、学习目标 1、通过对最短路径问题的探索，进一步理、通过对最短路径问题的探索，进一步理 解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。 2、应用所学知识解决最短路径问题。、应用所学知识解决最短路径问题。 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 二、新课引入新课引入 1、两点的所有连线中两点的所有连线中, 最短最短. 2、连接直线外一点与直线上各点

2、的、连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中所有线段中, 最短最短. 线段线段 垂线段垂线段 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题一问题一 认真阅读课本第认真阅读课本第5858至至6060页的内容，完成下面页的内容，完成下面 练习并体验知识点的形成过程练习并体验知识点的形成过程. . 问题问题1 1 如图，牧马人从如图，牧马人从A A 地出发，到一条地出发，到一条 笔直的河边笔直的河边 饮马，然后到饮马，然后到B B地牧马人到河地牧马人到河 边什么地方饮马，可使所走的路线最短？边什么地方饮马，可使所走的路线最短？ B A l l 广东省

3、怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题一问题一 我们可以将我们可以将A A，B B 两地抽象为两个点，两地抽象为两个点， 将河抽象为一条直线（如下图）将河抽象为一条直线（如下图） ，作，作 点点B B 关于直线关于直线 的对称点的对称点BB，利用轴，利用轴 对称的性质，可以得到对称的性质，可以得到 CB=CB= 。 这样，问题就转化为：当点这样，问题就转化为：当点C C 在在 的什的什 么位置时，么位置时，AC AC 与与CBCB的和最小？的和最小？ l l 分析：分析： CB l 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学

4、程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题一问题一 连接连接A A，BB两点的线中，线段两点的线中，线段 最最 短，短， 因此，线段因此，线段 与直线与直线 的交点的交点C C的的 位置即为所求位置即为所求 l AB AB 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题一问题一 证明：如下图，在直线证明：如下图，在直线L上任取一点上任取一点C（与（与 点点C不重合），连接不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC =BCBC =BC，BC=BCBC=BC AC +BC=AC +BC =ABAC +BC=AC +BC =AB，

5、 AC+BC= AC+BCAC+BC= AC+BC 在在ABCABC中，中， ABAB AC+BCAC+BC （ ），）， AC +BC AC +BC AC+BCAC+BC 即即AC +BCAC +BC最短最短 三角形中两边之和大于第三边三角形中两边之和大于第三边 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 练一练练一练 1 1、如图、如图, ,一个旅游船从大桥一个旅游船从大桥ABAB的的P P处前往处前往 山脚下的山脚下的Q Q处接游客处接游客, ,然后将游客送往河然后将游客送往河 岸岸BCBC上上, ,再返回再返回P P处处, ,请画出旅游船的

6、最短请画出旅游船的最短 路径路径. . 解：连接解：连接PQ，作，作Q点关于点关于BC 的对称点的对称点D，连接，连接PD交交BC于于 E,则最短路径为则最短路径为PQ+PE+QE. D E 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 练一练练一练 2 2、如图、如图, ,小河边有两个村庄小河边有两个村庄A,B,A,B,要在河边建要在河边建 一自来水厂向一自来水厂向A A村与村与B B村供水村供水. .若要使厂部到若要使厂部到 A,BA,B两村的水管最短两村的水管最短, ,应建在什么地方应建在什么地方? ? 解解: :作作A A关于关于EFEF的对

7、称点的对称点AA 连接连接 AA与与B B交交EFEF于点于点M M， 即点即点M M为所求。为所求。 A M 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题二问题二 问题问题2 2 （造桥选址问题）如图（造桥选址问题）如图,A,A和和B B两地在一条两地在一条 河的两岸河的两岸, ,现要在河上造一座桥现要在河上造一座桥MN.MN.桥建在何处才桥建在何处才 能使从能使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短最短?(?(假定河的两岸是平假定河的两岸是平 行的直线行的直线, ,桥要与河垂直桥要与河垂直) ) 如图如图, ,将将AMAM沿与河

8、岸垂直的方向平移，点沿与河岸垂直的方向平移，点M M移动移动 到点到点N N，点，点A A移动到点移动到点 , = , , = , 这样，问题就转化为：当点这样，问题就转化为：当点N N在直线在直线b b的什么位的什么位 置时，置时， 最小？最小？ NBNANBAM 1 NBNA 1 1 A 1 AAMN 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题二 连接，连接， ,B,B两点的线中，线段两点的线中，线段 最最 短，因此，线段短，因此，线段 与直线与直线b b的交点的交点N N的的 位置即为所求，即在点位置即为所求，即在点N N处造桥处造桥M

9、NMN，所得路，所得路 径径AMNBAMNB是最短的是最短的. . 1 A1 A B 1 A B 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 问题二 b 1 N aNM 111 M 1 AM 11N ABN1 BNA 11 1111 BNNABA 11111 NMBNAMMNBNNA 1111 BNNMAMBNMNAM NBMNAM 证明证明:在直线在直线 上另外任意取一点上另外任意取一点 ，过点作，过点作 ，垂足为，垂足为 ，连接，连接 ， . 在在 中，中， 即即 最小最小. ， 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程

10、罗剑程罗剑 三、研学教材 练一练练一练 如图如图,A,A和和B B两地之间有两条河两地之间有两条河, ,现要在两条现要在两条 河上各造一座桥河上各造一座桥MNMN和和PQ.PQ.桥分别建在何处桥分别建在何处 才能使从才能使从A A到到B B的路径最短的路径最短?(?(假定河的两岸假定河的两岸 是平行的直线是平行的直线, ,桥要与河岸垂直桥要与河岸垂直) ) 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 三、研学教材 练一练练一练 解：如图，过点解：如图，过点A作上面一条河的垂直作上面一条河的垂直 线，过点线，过点B作下面一条河的垂直线，截作下面一条河的垂直线，截

11、取取AC=河宽河宽MN，BD=河宽河宽PQ，连接，连接CD 交两条河内河边于交两条河内河边于M、P两点，过两点，过M、P 作河边的垂直线段作河边的垂直线段MN,PQ，连接，连接AN,BQ, 因为因为AC=MN,AC/MN,所以四边形所以四边形 ACMN是平行四边形，所以是平行四边形，所以AN=CM,同同 理，理，DP=BQ,所以所以AN,MN,MP,PQ,BQ连连 成的路程最短，即成的路程最短，即MN,PQ为所求。为所求。 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 四、归纳小结 在解决最短路径问题时，我们通常利在解决最短路径问题时，我们通常利 用用 、 等变化把已知问题转等变化把已知问题转 化为容易解决的问题，从而作出最短路径化为容易解决的问题，从而作出最短路径 的选择的选择 轴对称轴对称 平移平移 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 程罗剑程罗剑 我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！