二重积分计算法资料课件.ppt
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- 二重积分 算法 资料 课件
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1、利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法二重积分的换元法8.2 8.2 二重积分二重积分的计算的计算(1)积分区域积分区域为:为:,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x)(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分xOyxOy)(1xy )(2xy Dba)(01x,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有:DyxfV d),(baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf
2、)(02x yyxfxAd),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA)(1xy a0 xbxyO例例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 22xyyx yyxd)(2 10dx)0,0(),1,1(所围平面闭区域所围平面闭区域.和和是抛物线是抛物线其中其中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 两曲线的交点两曲线的交点2xx2xy 2yx )1,1(2)积分区域积分区域为:为:,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次
3、积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y)(2y,dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),(xyxf)(1y)(2y 先对先对x后对后对y的积分的积分 Dyxyxdd)(214033 10dy xyxd)(22yy Dyxyxdd)(2xyO2xy 2yx )1,1(abdc 计算结果一样计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:,bxa )()(21xyx ,dyc )()(21yxy 但可作出但可作出适当选择适当选择.xyO(4)若区域如图若
4、区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.D(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割.321DDDxyO3D2D1D例例解解1d22Dxy d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxxd22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成X型区域型区域1xxxyOyx 2x 1xy )d231(xxx 例例解解2d22Dxy 9.4 111:1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2
5、,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成Y型区域型区域1y2xyOyx 2x 1xy D1D22:12,2Dyyxdd122222DDxxyy d22xxy d21y y2第第一一种种方方法法计计算算量量小小例例yyxxdsind1012 siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不
6、能用基本积分法算出,xy )1,1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:,10 x1 yx,10 yyx 0yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1,1(,10:yDyx 0例例 交换积分次序:交换积分次序:解解 积分区域积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式=10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12又是能否进行计算的问题又是
7、能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:,dsinxxx,d2xex,lnd xx等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,d2xex ,dxexy 解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 计算积分计算积分xexyd 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.yexyd x2x xd I211112141xy 2xy
8、21Oxy例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及222Ryx .222Rzx 解解 d DyxRd22 332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R22xRz 曲曲顶顶2xy 解解(1)先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如图如图 d)(12 Dxy 12112d)(dxyxyx1115 例例 d2 Dxydd21210()xxxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO11 11 d2.Dyx 计计
9、算算(1):11,01Dxy 所确定的范围;所确定的范围;(2):22,01Dxy 所确定的范围;所确定的范围;D22xy 解解(2)仿照仿照(1)的方法,同时充分利用可加性的方法,同时充分利用可加性 d)(12 Dxydd211212()xxyxy 225 例例 d2 Dxydd21220()xxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO22 1d2.Dyx 计计算算(2):22,01Dxy 所确定的范围;所确定的范围;D2D1d122()Dyx d212()DDxy 例例 求证求证 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中,
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