工程计算4插值和拟合课件.ppt

1、Summer Grass FadeArial Font Family2022-12-2324 4 插值和拟合插值和拟合 4.1 引言引言 4.2 插值插值 4.3 分段低次插值分段低次插值 4.4 三次样条插值三次样条插值 4.5 正交多项式正交多项式 4.6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合2022-12-2334.1 引言引言 4.1.1 函数的插值函数的插值 4.1.2 离散数据的拟合离散数据的拟合 插值和拟合都是在给定点列插值和拟合都是在给定点列xi，yi0n的条件下，的条件下，按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在于，插值要求给定

2、点列必须在近似函数中，拟合则于，插值要求给定点列必须在近似函数中，拟合则无此要求。无此要求。2022-12-2344.1 引言引言4.1.1 函数的插值函数的插值 区间区间a，b上的连续函数的全体记为上的连续函数的全体记为Ca，b 定义定义 4.1.1 设设y=f(x)Ca，b，已知，已知f 在在Ca，b 上上n+1个互异点个互异点ax0,x1,xn-1,xn b xi xj （i j）的值的值 yi=f(xi)（i=0，1，2，n）如果有不超过如果有不超过n次的多项式次的多项式 Ln(x)=c0+c1x+c2x2+cnxn2022-12-2354.1 引言引言满足满足 Ln(xi)=yi （

3、i=0，1，2，n）(4.1)称称Ln(x)为为f(x)在区间在区间a，b上通过点列上通过点列xi,yi0n的的插值多项式插值多项式。其中，其中，a，b称为称为插值区间插值区间，xi,yi0n称为称为插值节点插值节点，xi称为称为插值点插值点，f(xi)称为称为插值函数插值函数，(4.1)称为称为插值条件插值条件。2022-12-2364.1 引言引言定理定理4.1.1 由式由式(4.1)确定的确定的插值多项式插值多项式Ln(x)存在唯一。存在唯一。插值的工程背景插值的工程背景 函数插值的基本问题：函数插值的基本问题：存在性、存在性、唯一性、唯一性、构造方法、构造方法、截断误差、截断误差、收敛

4、性、收敛性、数值稳定性数值稳定性2022-12-2374.1 引言引言4.1.2 离散数据的拟合离散数据的拟合 如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确定近似函数定近似函数y=(x)选择选择(x)由此决定建立的是线性还是非线性数由此决定建立的是线性还是非线性数学模型。学模型。确定数学模型中的参数确定数学模型中的参数拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性。误差、收敛性、数值稳定性。2022-1

5、2-2384.2 4.2 插值插值 4.2.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法 4.2.2 插值的余项插值的余项 4.2.3 均差和牛顿插值均差和牛顿插值 2022-12-2394.2 4.2 插值插值4.2.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法 已知点列已知点列xi，yi0n，确定插值多项式，确定插值多项式 n=1时，点列包含时，点列包含2个点，个点，x0，y0和和x1，y1，则只，则只能做一条直线。能做一条直线。011010110()xxxxL xyyxxxx2022-12-23104.2 4.2 插值插值n=2时，点列包含时，点列包含3个点，个点，x0，y0、x1，y1、x2，y2 可做不超过

6、可做不超过2次的多项式次的多项式 1220010202011210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxL xyxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxx2022-12-23114.2 4.2 插值插值推广到一般情况，推广到一般情况，定义定义n+1个个n次多项式次多项式()011011()()()()()()()()()nkknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx11()()njjj knkjjj kxxxx称为称为拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数。2022-12-23124.2 4.2 插值插值n=2时的基函数时的基函数00.20.40

7、.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.81(2)0l(2)1l2022-12-23134.2 4.2 插值插值n=3时的基函数时的基函数(3)0l01200.20.40.60.8101200.20.40.60.8101200.20.40.60.81(3)1l(3)2l2022-12-23144.2 4.2 插值插值插值基函数满足插值基函数满足()1()00nkikikilxk(k，i=0，1，2，n)插值函数为插值函数为()0()()nnnkkkL xlx y如果取函数为如果取函数为f(x)=1，则，则yk=1(k=0,1,2,n)，有，有

8、()0()()1nnnkkLxlx2022-12-23154.2 4.2 插值插值4.2.2 插值的余项插值的余项 令令 如果如果f(x)C2a，b，采用线性插值，令，采用线性插值，令 Rn(x)=f(x)Ln(x)10()()nnjjxxx则则(1)1()()(),(1)!nxnnfR xxxa bn 2,max|()|xa bMfx则则22|()|()8nMR xba2022-12-23164.2 4.2 插值插值4.2.3 均差和牛顿插值均差和牛顿插值 定义定义一阶差商一阶差商 如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。如如n=1时时 N1(x)

9、=y0+fx0，x1(x x0)0110001()()()()(),f xf xN xf xxxxa bxx 010101()(),f xf xf x xxx2022-12-23174.2 4.2 插值插值当当n=2时，再定义一阶差商和时，再定义一阶差商和二阶差商二阶差商 并有并有 N2(x)=f(x0)+fx0，x1(x x0)+fx0，x1，x2(x x0)(x x1)121212()(),f xf xf x xxx011201202,),),f x xf x xf x x xxx2022-12-23184.2 4.2 插值插值对一般情况，定义各阶差商对一般情况，定义各阶差商 111112

10、12201112010()(),0,1,1,0,1,2,iiiiiiiiiiiiiiinnnnf xf xf x xinxxf x xf xxf x xxinxxf x xxf x xxf x xxxx2022-12-23194.2 4.2 插值插值差商的性质：差商的性质：1)线性性线性性 如果如果 f(x)=ay(x)+bz(x)010101,kkkf x xxay x xxbz x xx2)0100(),()nikkiijjj if xf x xxxx3)对称性：对称性：,ijkkijjkijikf x x xf x x xf x x xf x x x2022-12-23204.2 4.2

11、 插值插值4)n次多项式关于次多项式关于x，xi的一阶差商为的一阶差商为n-1次多项式次多项式1()(),()()nniiniP xP xPx xPxx x则则Ln(x)仍为仍为n次多项式，且次多项式，且Ln(xi)=0，所以，所以设设Pn(x)为为n次多项式，令次多项式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中其中 Pn-1(x)为为n-1次多项式，从而有次多项式，从而有 2022-12-23214.2 4.2 插值插值差商表差商表2022-12-23224.2 4.2 插值插值牛顿插值多项式牛顿插值多项式 f(x)=f(x0

12、)+(x x0)fx，x0 fx，x0=fx0，x1+(x x1)fx,x0,x1fx,x0,x1=fx0,x1,x2+(x x2)fx,x0,x1,x2 fx,x0,xn-1=fx0,x1,xn+(x xn)fx,x0,xnf(x)=f(x0)+(x x0)fx，x0+(x x0)(x x1)fx0,x1,x2 +(x x0)(x x1)(x xn-1)fx0,x1,xn +(x x0)(x x1)(x xn)fx,x0,xn =Nn(x)+Rn(x)2022-12-23234.2 4.2 插值插值插值函数为插值函数为 Nn(x)=f(x0)+fx0，x1(x x0)+fx0,x1,x2(x

13、 x0)(x x1)+fx0,x1,xn(x x0)(x x1)(x xn-1)=f(x0)+fx0，x1 1(x)+fx0,x1,x2 2(x)+fx0,x1,xn n(x)均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的插值点，以前的计算公式不变。插值点，以前的计算公式不变。2022-12-23244.2 4.2 插值插值牛顿插值余项为牛顿插值余项为 Rn(x)=(x x0)(x x1)(x xn)fx,x0,xn =n+1(x)fx0,x1,xn 拉格朗日插值余项为拉格朗日插值余项为(1)1()()(),(1)!nxnnfR xxxa bn 显然显

14、然 Rn(xi)=0 (1)01minmax(),(1)!nxnxff x xxxxn因此因此 2022-12-23254.2 4.2 插值插值3301230()()(),jjf xNxxxf x x x x x2022-12-23264.2 4.2 插值插值2022-12-23274.2 4.2 插值插值2022-12-23284.3 4.3 分段插值分段插值 4.3.1 龙格现象和分段线性插值龙格现象和分段线性插值 4.3.2 分段埃尔米特三次插值分段埃尔米特三次插值 2022-12-23294.3 4.3 分段插值分段插值 4.3.1 龙格现象和分段线性插值龙格现象和分段线性插值高阶插值

15、可能出现高阶插值可能出现龙格现象龙格现象例例4.3.1 函数函数 在区间在区间-5,5取等距插值节点取等距插值节点25()1f xx1050,1,2,ixiinn 当当n=10时，时，10次插值多项式次插值多项式L10(x)和和f(x)如下图。如下图。出现出现龙格现象龙格现象。当。当n取过高时常出现龙格现象，且取过高时常出现龙格现象，且n继续取大，龙格现象依然存在继续取大，龙格现象依然存在2022-12-23304.3 4.3 分段插值分段插值 采用分段低次插值是消除龙格现象的有效方法，通采用分段低次插值是消除龙格现象的有效方法，通常采用线性插值，三次插值等常采用线性插值，三次插值等2022-

16、12-23314.3 4.3 分段插值分段插值 定义定义4.3.2 4.3.2 函数函数f(x)Ca,b，n+1个有序节点个有序节点xi0n满满足足 称为区间称为区间a，b的一个的一个划分划分。：a=x0 x1xn 1xn=b x0和和xn称为称为边界点边界点，x1，xn 1称为称为内点内点。中的相邻两点中的相邻两点xi，xi+1构成区间构成区间a,b的子区间的子区间xi,xi+1 记子区间的最大长度记子区间的最大长度 101max(,)iii nhxx 2022-12-23324.3 4.3 分段插值分段插值 则称分段线性函数则称分段线性函数 为为f(x)在区间在区间a,b上关于划分上关于划

17、分 的的分段线性插值多项式分段线性插值多项式 其中插值基函数其中插值基函数 0()()()nhiiilxl x f x11111111()/(),()()/(),0,1,2,0,iiiiiiiiiiiiixxxxxxxl xxxxxxx xinxxx当当i=0时没有第时没有第1式，当式，当i=n时没有第时没有第2式式。2022-12-23334.3 4.3 分段插值分段插值 在子区间在子区间xi，xi+1上，上，Ih(x)的表达式为的表达式为 可以证明，只要可以证明，只要h充分小，因而充分小，因而n充分大，就可在插充分大，就可在插值区间值区间a，b上满足精度要求。即分段线性插值是一上满足精度要

18、求。即分段线性插值是一致收敛的。致收敛的。分段线性插值的一阶导数不连续。这点不如高阶插分段线性插值的一阶导数不连续。这点不如高阶插值值 1111()()()iihiiiiiixxxxIxf xf xxxxx2022-12-23344.3 4.3 分段插值分段插值 4.3.2 分段埃尔米特三次插值分段埃尔米特三次插值 为保证导数连续，增加对导数的要求。为保证导数连续，增加对导数的要求。当只有两个插值点，当只有两个插值点，x0 x1，且，且 yk=f(xk)，mk=f (xk)k=0，1 在区间在区间x0，x1上求多项式上求多项式H(x)，使得满足插值条件，使得满足插值条件 H(xk)=yk，H

19、(xk)=mk k=0，1 因为有因为有4个插值条件，因此插值函数个插值条件，因此插值函数H(x)为次数不超为次数不超过过3次的多项式，称为埃尔米特三次插值。次的多项式，称为埃尔米特三次插值。2022-12-23354.3 4.3 分段插值分段插值 定理定理4.3.14.3.1 设设 f(x)C1x0，x1，则在区间，则在区间x0，x1上上满足插值条件满足插值条件的不超过的不超过3次的多项式次的多项式H(x)存在唯一。并有存在唯一。并有H(xk)=yk，H (xk)=mk k=0，1 H(x)=0(x)y0+1(x)y1+0(x)m0+1(x)m1 2022-12-23364.3 4.3 分段

20、插值分段插值 其中插值基函数其中插值基函数 2010100121000120110110201110()12()()12()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2022-12-23374.3 4.3 分段插值分段插值 00.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.81-0.3-0.2-0.100.10.20.30.400.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.81-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.32022-12-23384.3 4.3 分段插值分段插值 如果如果f(x)C4a，b

21、，插值余项为，插值余项为 Rn(x)=f(x)Ln(x)=(4)()4!xf(x x0)2(x x1)2 x x0，x1 这里：这里：x=(x)(x0，x1)2022-12-23394.3 4.3 分段插值分段插值 插值基函数满足的条件为插值基函数满足的条件为 0(x0)=1，0(x1)=0，0 (x0)=0，0(x1)=0 1(x0)=0，1(x1)=1，1 (x0)=0，1(x1)=0 0(x0)=0，0(x1)=0，0 (x0)=1，0(x1)=0 1(x0)=0，1(x1)=0，1 (x0)=0，1(x1)=0 2022-12-23404.3 4.3 分段插值分段插值 定义定义4.34

22、.3 设设f(x)C1a，b，对于划分，对于划分 记子区间的最大长度记子区间的最大长度 ：a=x0 x1xn 1xn=b 101max(,)iii nhxx yi=f(xi)，mi=f (xi)i=0，1，2，n 则称分段三次线性函数则称分段三次线性函数 Hh(x)=i(x)yi+i+1(x)yi+1+i(x)mi+i+1(x)mi+1 x xi，xi+1，i=0，1，2，n 1 为为f(x)在区间在区间a，b上关于划分上关于划分 的分段埃尔米特三次的分段埃尔米特三次插值多项式。插值多项式。2022-12-23414.3 4.3 分段插值分段插值 其中插值基函数为其中插值基函数为2111211

23、211112111()12()()12()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2022-12-23424.3 4.3 分段插值分段插值 Hh(x)满足边界条件满足边界条件 Hh(x0)=y0，Hh(x0)=m0Hh(xn)=yn，Hh(xn)=mn 和内节点处的衔接条件和内节点处的衔接条件 Hh(xi 0)=Hh(xi+0)=yi，Hh(xi 0)=Hh(xi+0)=mi i=0，1，2，n 1 2022-12-23434.3 4.3 分段插值分段插值 可以证明，如果可以证明，如果f(x)C1a，b，则，则Hh(x)一

24、致收敛到一致收敛到f(x)，且，且Hh(x)一致收敛到一致收敛到f (x)。埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值数值和导数值 2022-12-23444 4.4.4 三次样条插值三次样条插值 4.4.1 样条插值的背景和定义样条插值的背景和定义 4.4.2 三次样条插值的定解条件三次样条插值的定解条件 4.4.3 三弯矩方程三弯矩方程 2022-12-23454 4.4.4 三次样条插值三次样条插值 4.4.1样条插值的背景和定义样条插值的背景和定义 埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处

25、的函数值和导数值，而且二阶导数不连续。的函数值和导数值，而且二阶导数不连续。定义定义4 4.4.4 对于区间对于区间a，b，给定一个划分给定一个划分 ：a=x0 x1xn 1 0，i 0，i+i=1，因此，系数因此，系数矩阵矩阵A是三对角或仅比三对角多两个元素的严格对是三对角或仅比三对角多两个元素的严格对角占优矩阵，解存在其数值稳定。角占优矩阵，解存在其数值稳定。2022-12-23594 4.4.4 三次样条插值三次样条插值 三弯矩方程算法三弯矩方程算法 输入参数：区间输入参数：区间a，b划分划分 函数在节点处的函数值函数在节点处的函数值 ：a=x0 x1xn 10 0为给定的权数。对应的为

26、给定的权数。对应的2-2-范数为范数为21|(,)(),miiiw f xC a bff ff2022-12-23674 4.5 5 正交多项式正交多项式(,)()()()d,baf gx f x g xxf gC a b连续意义下的内积定义为连续意义下的内积定义为其中其中(x)0 0为给定的权函数。对应的为给定的权函数。对应的2-2-范数为范数为2|(,)()()d,baff fx fxxfC a b2022-12-23684 4.5 5 正交多项式正交多项式0(,),0,1,2,0klklk lnkl 函数的正交性函数的正交性 如果函数如果函数f，g Ca，b且且(f，g)=0称函数称函数

27、f，g正交正交如果函数序列如果函数序列 满足满足0(),nkxC a b则称函数组则称函数组 为正交函数序列。为正交函数序列。0()nkx正交函数序列线性无关。正交函数序列线性无关。2022-12-23694 4.5 5 正交多项式正交多项式定义定义4.5.3 4.5.3 给定给定m+1个点个点 Ca，b和对应和对应的权数的权数 ，设有，设有n+1个多项式个多项式其中其中 ，若它们在点列，若它们在点列 处的值向量处的值向量满足正交性满足正交性4.5.2 离散点列上的正交多项式离散点列上的正交多项式()()()2()012()0,1,2,kkkkkkkxccxcxcxkn0 miix0miiw(

28、)0kkc0 miixT101(),(),()0,1,2,mkkkmxxxRknk0(,),0,1,2,0klklk lnkl 称称 为在离散点列为在离散点列 上的带权上的带权 的的正交多项式序列正交多项式序列0()nkkx0 miix0miiw2022-12-23704 4.5 5 正交多项式正交多项式成立的条件成立的条件 n m，点列点列 至少有至少有n+1个点互不相等。个点互不相等。0 miix2022-12-23714 4.5 5 正交多项式正交多项式定理定理4.5.1 4.5.1 对于给定对于给定点列点列 ,对应的权数对应的权数如果如果nm，点列，点列 至少有至少有n+1个互异，可由

29、个互异，可由递推生成多项式序列递推生成多项式序列 ，它们是在点列，它们是在点列 上的带权上的带权 的正交多项式序列。递推过程称为的正交多项式序列。递推过程称为Gram-schmidt正交化过程正交化过程。0 miix0miiw010()1(,)(4.5.12)()()1,2,(,)kkjkkjjjjxxxxknx 0()nkkx0 miix0 miix0miiw其中其中 和和 均是离散意义下的内积均是离散意义下的内积(,)jj(,)kjx2022-12-23724 4.5 5 正交多项式正交多项式定理定理4.5.2 4.5.2 设设 是由是由(4.5.12)(4.5.12)生成的正交生成的正交

30、多项式序列，则多项式序列，则1)任何任何k次多项式均可用次多项式均可用 0(x),1(x),n(x)的线性的线性组合表示；组合表示；2)k+1(x)与任何不超过与任何不超过k次的多项式正交；次的多项式正交；3)序列序列 线性无关，从而是多项式子空间线性无关，从而是多项式子空间0()nkkx的一组基。的一组基。0()nkkx2span1,nnPx xx2022-12-23734 4.5 5 正交多项式正交多项式推论推论4.5.1 公式公式(4.5.12)等价于下列递推公式等价于下列递推公式01011()1()1,2,()()()()kkkkkxxxaknxxaxbx其中其中110(,)0,1,2

31、,1(,)(,)1,2,1(,)(,)()kkkkkkkkkkmkkiikiixaknbknxw xx 2022-12-23744 4.5 5 正交多项式正交多项式4.5.3 连续区间上的正交多项式连续区间上的正交多项式定义定义4.5.4 给定区间给定区间a,b和对应的权函数和对应的权函数(x)。设有。设有n+1个多项式个多项式()0()0,1,2,1kkjkjjxcxkn其中其中 ，若它们满足，若它们满足()0kkc0(,),0,1,2,0klklk lnkl 其中其中(k(x),k(x)是连续意义下的内积，则称是连续意义下的内积，则称为为区间区间a,b上带权上带权(x)的正交多项式序列的正

32、交多项式序列。0()nkkx2022-12-23754 4.5 5 正交多项式正交多项式与离散情况类似与离散情况类似1)连续区间上的正交多项式序列可用正交化方法构造连续区间上的正交多项式序列可用正交化方法构造2)有同样的三项递推公式有同样的三项递推公式定理定理4.5.3 4.5.3 设设 n(x)是在区间是在区间a,b上带权上带权(x)的首的首项系数非零的项系数非零的n次正交多项式次正交多项式(n 1)，则，则 n(x)的的n个根个根都是单实根，分布在开区间都是单实根，分布在开区间(a,b)。2022-12-23764 4.5 5 正交多项式正交多项式几个常用的正交多项式几个常用的正交多项式T

33、n(x)=cos(narccosx)，n=0,1,2,定义的多项式，是在区间定义的多项式，是在区间-1,1上带权上带权21()1xx切比雪夫多项式切比雪夫多项式(第一类第一类Chebyshev多项式多项式)：由：由的正交多项式。递推公式为的正交多项式。递推公式为0111()1()1,2,3,()2()()nnnT xT xxnTxxT xTx2022-12-23774 4.5 5 正交多项式正交多项式令令 =arccosx则则 Tn(x)=cosn 102210()()coscos(,)ddcos11coscoscosdmnmnTx T xmnT Txxmn cos(n+1)=2cos cos

34、n-cos(n-1)0(,)0 20mnmnTTmnmn由由得得2022-12-23784 4.5 5 正交多项式正交多项式前几个切比雪夫多项式为前几个切比雪夫多项式为(21)cos1,2,2kkxknnTn(x)的的n个根为个根为4204531526422633()1()881()()16205()21()3248181()43T xT xxxT xxT xxxxT xxT xxxxT xxx2022-12-23794 4.5 5 正交多项式正交多项式-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81data1da

35、ta2data3data4data5data6data72022-12-23804 4.5 5 正交多项式正交多项式勒让德多项式勒让德多项式(Legendre)由由定义的多项式，是在区间定义的多项式，是在区间-1,1上带权上带权(x)=1的正交多的正交多项式。递推公式为项式。递推公式为02()11d()(1)1,2,32!dnnnnnpxpxxnnx0111()1()1,2,3,(1)()(21)()()nnnpxp xxnnpxnxpxnpx2022-12-23814 4.5 5 正交多项式正交多项式正交关系为正交关系为11(,)()()d0,0,1,2,221mnmnpppx pxxmnm

36、 nmnn2022-12-23824 4.5 5 正交多项式正交多项式前几个勒让德多项式为前几个勒让德多项式为42045315264226331()1()(35303)81()()(637015)811()(31)()(69394531515)2481()(53)2pxpxxxp xxp xxxxpxxpxxxxp xxx它们的根均是单根，在开区间它们的根均是单根，在开区间(-1,1)上，以原点为对上，以原点为对称点分布称点分布2022-12-23834 4.5 5 正交多项式正交多项式-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2

37、0.40.60.81data1data2data3data4data5data6data72022-12-23844 4.5 5 正交多项式正交多项式埃尔米特多项式埃尔米特多项式(Hermite)由由定义的多项式，是在区间定义的多项式，是在区间(-,)上带权上带权 的正交多的正交多项式。递推公式为项式。递推公式为220()1d e()(1)e1,2,3dnxnxnnHxHxnx 0111()1()21,2,3,()2()2()nnnHxHxxnHxxHxnHx2ex2022-12-23854 4.5 5 正交多项式正交多项式正交关系为正交关系为2(,)e()()d0,0,1,2,2!xmnmn

38、nHHHx Hxxmnm nnmn2022-12-23864 4.5 5 正交多项式正交多项式前几个埃尔米特多项式为前几个埃尔米特多项式为4204531526422633()1()164812()()32160120()42()64480720120()812HxHxxxHxxHxxxxHxxHxxxxHxxx它们的根均是单根，在开区间它们的根均是单根，在开区间(-,)上，以原点为对上，以原点为对称点分布称点分布2022-12-23874 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 4.6.1 线性模型与最小二乘法线性模型与最小二乘法 4.6.2 正规方程和解的存在唯一性正规方程和解的

39、存在唯一性2022-12-23884 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合在生产与科研中，常给出一组离散数据在生产与科研中，常给出一组离散数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)要确定变量要确定变量x与与y的函数关系的函数关系y=f(x)近似方法一：近似方法一：构造插值多项式构造插值多项式Pn(x)，使使Pn(xi)=yi(i=0，1，n)特点是构造的函数必须满足给定数对的关系。特点是构造的函数必须满足给定数对的关系。从几何上看，构造的曲线必须通过给定的从几何上看，构造的曲线必须通过给定的n+1个点。个点。2022-12-23894 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散

40、数据的曲线拟合近似方法二：曲线拟合。已知近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据个观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)求一个多项式求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。能最好地反映这些点的总趋势。不要求构造的曲线必须通过给定的不要求构造的曲线必须通过给定的n个点个点2022-12-23904 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合近似方法二：曲线拟合。已知近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据个观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)求一个多项式求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。能最好地反映这些点的总趋势。不要求构造的曲线必须通

41、过给定的不要求构造的曲线必须通过给定的n个点个点2022-12-23914 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合例例 假设数据点假设数据点(xi，yi)(i=1，2,，n)大致成一条直大致成一条直线，此时拟合曲线为一直线，它从这些点附近通过，线，此时拟合曲线为一直线，它从这些点附近通过，设此拟合直线为设此拟合直线为 y*=a+bx 显然，一般有显然，一般有 y*(xi)=a+bxi yi 记记 ei=yi y*(xi)i=1，2,，n e=e1，e2，enT称为残差向量。称为残差向量。2022-12-23924 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合欲使拟合效果最好，

42、应该使残差欲使拟合效果最好，应该使残差e按照某种标准达按照某种标准达到最小。常用的标准有到最小。常用的标准有 常用的标准有常用的标准有|e|1=|e|2 =1|niie 1 范数范数 1221niie 2 范数范数|e|=1max|ii ne 范数范数 2022-12-23934 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合通常用通常用2 范数，作为残差度量的标准。范数，作为残差度量的标准。称使称使|e|2 达到最小的曲线拟合方法为曲线拟合的最达到最小的曲线拟合方法为曲线拟合的最小二乘法小二乘法求一条直线求一条直线 y=a+bx，即求即求a、b，使使 Q(a，b)=222222121|(

43、)minnniiieeeeyabx2022-12-23944 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合最小值时的最小值时的a、b满足满足得到得到 0,0QQab112111nniiiinnniiiiiiinabxyaxbxx y2022-12-23954 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合令令 由于由于 X=x1，x2，xnT，Y=y1，y2，ynT 11nxiiE Xxn11 nyiiE YYn11niiiE XYx yn22211nxiiE Xxn222211()nxixxxixn2022-12-23964 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合有有

44、解得解得 2xyxxababE XY222xyxyxxxE XYE XYb a=y xb 2022-12-23974 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合定义定义 已知已知m+1对离散数据对离散数据 xi，yi 0m,和权数和权数 wi 0m，记记 在在Ca，b中选定中选定n+1个线性无关的基函数个线性无关的基函数 k(x)0m，由它们张成的子空间为由它们张成的子空间为 =span 0(x)，1(x)，n(x)0min()ii max 0max()ii mbx 010()|()(),nkknkxxxR 2022-12-23984 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合

45、如果有如果有 使得使得 0()()nkkkxx 2200()min()mmiiiiiiiiw yxw yx则称则称*(x)为离散数据为离散数据 xi，yi 0m在子空间在子空间 中带权中带权 wi 0m的最小二乘拟合。的最小二乘拟合。由于由于*(x)是基函数的线性组合，是基函数的线性组合，称为线性最称为线性最小二乘问题。小二乘问题。2022-12-23994 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合令令 问题转为求多元函数问题转为求多元函数I(0，1，n)的极小点的极小点(0*，1*，n*)，使得使得 20100(,)()mnniikkiikIw yx 010101,.,(,)min

46、(,)nnnRII 2022-12-231004 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 4.6.2 正规方程和解的存在唯一性正规方程和解的存在唯一性010101,.,(,)min(,)nnnRII 上式有解的必要条件是上式有解的必要条件是 0110(,)2()()mnniikkiliiklIwyxx l=0，1，2，n 即即000()()()nmmkiiliiilikiiawxxw yx2022-12-231014 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 令令m+1维向量维向量 并令并令 T01T01(),(),()0,1,(,)kkkkmmxxxknyyyy00(,

47、)()(),0,1,(,)()0,1,mklikiliimliiliiwxxk lnyw yxln 2022-12-231024 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 即即 称为正规方程称为正规方程(法方程法方程)。记系数矩阵为。记系数矩阵为G，n+1维向量维向量 0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnyyy d=(y,0)，(y,1)，(y,n)T，=0,1，nT 正规方程可写为正规方程可写为 G =d。2022-12-231034 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 因此因此，最

48、小二乘法存在唯一解的必要条件是正最小二乘法存在唯一解的必要条件是正规方程的系数矩阵规方程的系数矩阵G非奇异。非奇异。定理定理4.6.1：格兰姆：格兰姆(Gram)矩阵非奇异的充分必要条矩阵非奇异的充分必要条件是向量组件是向量组 k0n线性无关。线性无关。注意注意：k(x)0n在在Ca，b上线性无关，不能保证向量上线性无关，不能保证向量组组 k0n线性无关。线性无关。实际中总取实际中总取nm。因此，因此，向量组向量组 k0n中的向量个中的向量个数远远小于向量的维数数远远小于向量的维数 系数矩阵系数矩阵G称为称为格兰姆格兰姆(Gram)矩阵矩阵，它是对称矩阵。，它是对称矩阵。一般一般 k0n总是线

49、性无关，格兰姆矩阵是非奇异的。总是线性无关，格兰姆矩阵是非奇异的。2022-12-231044 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 设设 k0n线性无关，它的生成空间为线性无关，它的生成空间为 V=span 0，1，n函数函数I(0,1,n)用向量的用向量的2-范数范数(欧氏范数欧氏范数)表示为表示为 I(0，1，n)=|y|22，V 010()|()(),nkknkxxxR 2022-12-231054 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 因此极值问题因此极值问题 使得使得 010101,.,(,)min(,)nnnRII 等价于在向量空间等价于在向量空间V中

50、求中求 0nkkk 2222|*|min|Vyy2022-12-231064 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 定理定理4.6.2 设向量组设向量组 k0n线性无关，线性无关，(0*，1*,n*)是正规方程的解，则是正规方程的解，则 满足满足 0nkkkV 2222|*|yyV并有并有 2222*2220|*|(,*)|(,)nkkkeyyyyye2=|y *|22为曲线拟合的平方误差。为曲线拟合的平方误差。2022-12-231074 4.6 .6 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 定理定理4.6.3：对于已知的离散数据：对于已知的离散数据xi，yi0m和权数和权数 w