定积分课件梁淑莲.ppt

1、定积分课件梁淑莲定积分课件梁淑莲本章基本内容本章基本内容1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2 2定积分基本公式定积分基本公式3 3定积分的积分法定积分的积分法4 4广义积分广义积分本章学习目的本章学习目的理解定积分的概念和意义，理解定积分的概念和意义，掌握定积分的运算规则和性质掌握定积分的运算规则和性质熟练掌握和应用牛顿熟练掌握和应用牛顿-莱布莱布尼兹公式尼兹公式熟练掌握定积分的计算方法熟练掌握定积分的计算方法了解无限区间上广义积分的定了解无限区间上广义积分的定义和计算义和计算一、定积分问题举例一、定积分问题举例例例1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积boxya图61y=f(x)注注:

2、设设 y=f(x)在区间在区间a,b 上非负、连续。上非负、连续。由直线由直线 x=a,x=b,y=0,及曲线及曲线 y=f(x)所围成的所围成的图形图形,称为称为曲边梯形曲边梯形。其中曲线弧称为曲边其中曲线弧称为曲边.第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质曲边曲边(1)(1)分割：分割：分析：分析：（2 2）取近似：）取近似：（3 3）求和）求和 ：boxya图61y=f(x)(1)(1)分割：分割：boxya图61y=f(x)分析：分析：（2 2）取近似：）取近似：（3 3）求和）求和 ：（4 4）取极限：）取极限：boxyay=f(x)(1)分割：分割：将将a,b分成分成 n

3、 个小区间个小区间,称为称为子区间子区间.bxxxxxann1210的的长长度度为为子子区区间间,1iixx过每个分点作平行于过每个分点作平行于y 轴的直线段轴的直线段,把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，设其面积为个窄曲边梯形，设其面积为Ai(i=1，2,n).窄窄曲曲边边梯梯形形面面积积记分点为记分点为（2）取近似：在每个小区间）取近似：在每个小区间xi-1,xi上上任取一点任取一点 i，iiixfA)(),.,2,1(1nixxxiii，即即面面积积个个曲曲边边梯梯形形的的近近似似代代替替第第用用窄窄矩矩形形面面积积iiiAixf)(12in0 x1xiixx 11nxnxbox

4、yay=f(x)12in0 x1xiixx 11nxnx（3）求和）求和：niiinnxfxfxfxfA12211)()()()(所有小矩形的面积和，所有小矩形的面积和，即得曲边梯形面积即得曲边梯形面积A的近似值的近似值boxyay=f(x)12in0 x1xiixx 11nxnx即即:niiixfA10)(lim（4）取极限：）取极限：,max1inix记记使每个小区间的使每个小区间的长度趋于零长度趋于零，。面面积积的的极极限限便便是是曲曲边边梯梯形形的的时时，和和式式当当Axfinii)(01例例2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程.设某物体作变速直线运动设某物体作变速直线运动.已知速

5、度已知速度V=V(t)是是时间间隔时间间隔a,b上上 的连续函数的连续函数.计算在这段时计算在这段时间内物体所经过的路程间内物体所经过的路程 S.分析：对于匀速直线运动，分析：对于匀速直线运动，V=V(t)是常数，是常数，用匀速运动近似代替变速运动用匀速运动近似代替变速运动，求出路程的近似值，求出路程的近似值，通过取极限，算出所求路程。具体过程如下：通过取极限，算出所求路程。具体过程如下：此时，路程此时，路程=速度速度X时间。现在，速度不是常数时间。现在，速度不是常数而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述公式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在公

6、式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿照上例，将时间间隔照上例，将时间间隔a,b分割，分割，在每一小段内在每一小段内，(1)分割：匀速直线运动分割：匀速直线运动.路程速度路程速度时间时间在在a,b内任意插入若干个分点内任意插入若干个分点btttttann 1210a,b分成分成 n 个小段：个小段：t0,t1,t1,t2,tn-1,tn ),.,2,1(1nitttiii每每小小段段时时间间长长内内所所走走的的路路程程个个时时间间间间隔隔设设物物体体在在第第iitti,1),.,2,1(nisi为为0ta b

7、tn1t1itit2tis（2）取近似：在每个子区间）取近似：在每个子区间ti-1,ti 上任取一点上任取一点 i由时刻由时刻ti-1 到时刻到时刻 ti 走过的路程为走过的路程为 Si ),.,2,1()(nitVSiii（3）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近似值，即似值，即niiinntVtVtVtVS12211)()()()(将时间间隔将时间间隔a,b分得越细分得越细,近似公式越精确近似公式越精确.0ta btn1t1itit2tis即即:niiitVS10)(lim时时，和和式式当当记记0,max1init（4）取极限：）取极限：ini

8、itv)(1的极限就是所求的路程。的极限就是所求的路程。例例1 1与例与例2 2小结小结例例1曲边梯形面积为曲边梯形面积为niiixfA10)(lim例例2变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为niiitVS10)(lim以直代曲以直代曲以匀速代非匀速以匀速代非匀速求曲线弧的长度求曲线弧的长度:求变力作功：求变力作功：设质点设质点m受力变受力变F的作用沿的作用沿x轴由点轴由点a移至点移至点b，并，并设力设力F平行于平行于x轴。求变力轴。求变力F对质点所作的功对质点所作的功W？oxabWiF(xi)m变力变力F(x)二、定积分定义二、定积分定义1.定义定义:设函数设函数f(x)在在a,b上有界

9、上有界,将将a,b任意分成任意分成 n个子区间个子区间,分点为分点为bxxxxxann 1210在每个子区间在每个子区间xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i,i xi-1,xi,)(lim10存在如果极限niiixf),max,(11iniiiixxxx其中则称这个极限值为函数则称这个极限值为函数f(x)在在a,b上的上的定积分.记成记成ba)(xfdx0liminiixf)(1被积函数被积函数积积分分符符号号ba)(xfdx0liminiixf)(1积分下限积分下限积分上限积分上限积分变量积分变量ba,称为积分区间称为积分区间Sf(x)dx叫做被积表达式叫做被积表达式.根据定积分的定义，

10、前面所讨论的两个引根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：例就可以用定积分概念来描述：例例1 曲线曲线 、x x轴及两条直线轴及两条直线x=ax=a,x=bx=b所围成的曲边梯形面积所围成的曲边梯形面积A A等于函数等于函数f f(x x)在区间在区间 a a,b b 上的定积分，即上的定积分，即)0)()(xfxf.d)(xxfAba例例2 2作变速直线运动的路程作变速直线运动的路程S S是速度函是速度函数数V V=V V(t t)在时间间隔在时间间隔a,b上的定积上的定积分：分：badttVS)(1.几点说明：几点说明：badxxfbaxf存存在在，上上可可积积，指

11、指积积分分在在函函数数)(,)(如如何何选选取取，当当如如何何划划分分及及点点无无论论区区间间iba,的的极极限限都都唯唯一一存存在在。时时，和和式式iniixf)(01baxf,)(在在说说函函数数如如果果该该极极限限不不存存在在，则则：上上的的不不可可积积，可可以以证证明明（1）设设f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,则则f(x)在在a,b上上 可积可积.设设f(x)在区间在区间a,b上有界上有界,且只有有限个第一且只有有限个第一类间断点类间断点,则则f(x)在在a,b上可积上可积.(2)(2)定积分数值与积分变量记号无关：定积分数值与积分变量记号无关：定积分的数值只与被积函数及积分区

12、定积分的数值只与被积函数及积分区a,b有关有关,与积分变量的记号无关与积分变量的记号无关.bababaduufdttfdxxf)()()(31:102102102duudttdxx例如(3)规定当规定当a=ba=b时时,0)(badxxf(4)规定当规定当a a b b时时,abbadxxfdxxf)()(2.定积分的几何意义定积分的几何意义.(1)(1)若当若当 x x a a,b b 时时,连续函数连续函数f f(x x)0 0Adxxfba曲边梯形面积)(bAoxyay=f(x)A(2)若当若当x x a,b时时,连续函数连续函数f f(x x)0,0,Adxxfba)(oxyaby=f

13、(x)A若当若当x x a,b时时,连续函数连续函数f f(x x)既取得正值既取得正值,又又取得负值时，取得负值时，321)(AAAdxxfbay=f(x)oxyabA1A2A3（3）性质性质1 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即：和，即：6.1.4 定积分的基本性质定积分的基本性质 设下面函数设下面函数f f(x x)，f fi i(x x)，g g(x x)在在a,b上可积上可积.bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(例例：1111112223)23(xdxdxxdxxx推论推论 有限个函数的代数和的定积分等

14、于各有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积函数的定积分的代数和，即分的代数和，即1212()()()d ()d()d()d.bnabbbnaaaf xf xf x xf x xf x xf x x例例：212122132123523)523(xdxdxxdxxdxxxx性质性质2 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外.).(d)(d)(是常数kxxfkxxkfbaba例例：21321333dxxdxx综合性质综合性质1和性质和性质2得得：dxxfkxfkxfkbann)(.)()(2211dxxfkdxxfkdxxfkbannbaba)(.)()(221

15、1例例：dxxdxxdxxdxxxx101021031023225)225(性质性质3 3如果积分区间如果积分区间a,b被分点被分点c c分成区间分成区间 a a,c c 和和 c c,b b,则则bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(oxyabc移项：移项：bcbadxxfdxxf)()(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(当当c c在区间在区间 a a,b b 之外时：之外时：性质性质3 3表明定积分对积分区间具有可加性，这个表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分性质可以用于求分段函数的定积分oxyacbcbcabadxxfdxxfdxxf

16、)()()(211,0,()()d.1,0,2已已知知求求xxf xf xxxx例例1 1202110()d(1)d(1)d2，xf x xx xx解解O OX XY Y11 12 21 1利用定积分的几何意义，可分别求出利用定积分的几何意义，可分别求出011(1)d2，x x20(1)d12，xx2113()d1.22所所以以f xxO OX XY Y11 12 21 1，则上恒有如果在区间1)(,xfba性质性质4 4.d1d)(abxxxfbabaoxyab1，则上恒有如果在区间)()(,xgxfba性质性质5 5babadxxgdxxf)()(，则上恒有如果在区间0)(,xfba推论推

17、论badxxf0)(性质性质6（定积分估值定理）设（定积分估值定理）设M和和m分别是分别是(x)(x)在区间在区间a,ba,b上的最大值与最小值，则上的最大值与最小值，则)()()(abMbadxxfabmxyby f(x)OaMmFACDBE证明：证明：)()()(abMbadxxfabm:5由性质由性质babaabMdxxfmdx)()(Mxfm)(得：得：及性质及性质由性质由性质42xyby f(x)OaMmFACDBE.dsin3 6 的值试估计定积分xx，6323dsin632136xx.123dsin12 36xx即例例2 2，最小值，上，最大值，在216sin)6(233sin)

18、3(36ff解解).()(d)(baabfxxfba性质性质7 7(定积分中值定理定积分中值定理)如果函数如果函数f f(x x)在闭区间在闭区间 a,ba,b 上连续，则在积分区间上连续，则在积分区间 a,ba,b 上至少存在一个点上至少存在一个点证明证明 因为函数因为函数f f(x x)在闭区间在闭区间 a a,b b 上连续，根据闭上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，区间上连续函数的最大值和最小值定理，f f(x x)在在 a,ba,b 上一定有最大值上一定有最大值M M和最小值和最小值m m，由定积，由定积分的性质分的性质6 6，有，有 ()()d()，bam baf x

19、xM ba1 ()d即即，bamf xxMba,使下式成立使下式成立即即数值数值 介于介于f f(x x)在在 a,ba,b 上的最大值上的最大值M M和最小值和最小值m m之间之间.根据闭区间上连续函数的介值定根据闭区间上连续函数的介值定理理,至少存在一点至少存在一点 ,使得使得1()dbaf xxbabadxxfabf)(1)(即即:)(ba)()(abfdxxfba性质性质7 7的几何意义：的几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使得曲边梯使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为形的面积等于同一底边而高为 的矩形的矩形的面积的面积.ba,)(fOXY)(f)(xfyab)(ba)(

20、)(abfdxxfba习题六习题六1、一曲边梯形由曲线一曲边梯形由曲线,322 xyx轴轴及及2,1 xx围成，围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积试列出用定积分表示该曲边梯形的面积的表达式的表达式。解解：212)32(dxxS作直线运动，作直线运动，321)(txv2 2、一物体以速度、一物体以速度试列出时间间隔试列出时间间隔3,0内该物体所走过的内该物体所走过的路程路程S S的定积分表达式。的定积分表达式。解解：dxtS)321(303、利用定积分的几何意义，计算下列各题、利用定积分的几何意义，计算下列各题（1）102xdxOXY11212121dxxaa022)2(241aOXYa)

21、(abK OXYKabbakdx)3(0OXY2-222)4(xdx4、设、设)(xF是是ba,上的上的 单调增加的有界函数，证明单调增加的有界函数，证明baabbfdxxfabaf)()()(证明：证明：由性质由性质6，得，得baabbfdxxfabaf)()()(单调增加单调增加)()()(bfxfaf)(xf6、估计下列积分值、估计下列积分值522)4()1(dxx解：解：42x在在5,2上单调递增，上单调递增，45442222x)25(29)4()25(8522dxx87)4(24522dxx即即：dxx4542sin1)2(解：解：)445(2sin1)445(14542dxx2si

22、n14542dxx即即：2sin112x10 xy1x2xnxy=x210 xy1x2xnxy=x2102:dxx利用定义计算定积分例0 xy=x2yn1n2nn 11解:因为y=x2在0,1上连续,定积分存在,将区间0,1等分成 n等份,分点为11210nnnn),2,1(,1nininxii取于是iniixfdxx 10102)(limninnni121)(limninin1231lim)12)(1(611lim3nnnnn3)12)(1(lim61nnnnn310 xy=x2yn1n2nn 11(1)(1)分割：分割：boxya图61y=f(x)分析：分析：（2 2）取近似：）取近似：（

23、3 3）求和）求和 ：(1)(1)分割：分割：boxya图61y=f(x)分析：分析：（2 2）取近似：）取近似：（3 3）求和）求和 ：（4 4）取极限：）取极限：(1)(1)分割：分割：（2 2）取近似：）取近似：（3 3）求和）求和 ：（4 4）取极限：）取极限：boxya图61y=f(x)分析：分析：例例1 1与例与例2 2小结小结例例1曲边梯形面积为曲边梯形面积为niiixfA10)(lim以直代曲以直代曲例例2变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为niiitVS10)(lim以匀速代非匀速以匀速代非匀速在科学技术上，还有许多问题如曲线弧的长在科学技术上，还有许多问题如曲线弧的长度

24、、旋转体的体积、变力作功等虽然实际背度、旋转体的体积、变力作功等虽然实际背景不同也都归结为这种特定和式的极限！景不同也都归结为这种特定和式的极限！为此抛开问题的实际意义，将这种解决问题为此抛开问题的实际意义，将这种解决问题的想法抽象出来，从数学的角度，用纯数学的想法抽象出来，从数学的角度，用纯数学语言加以描述，就得到定积分的概念。语言加以描述，就得到定积分的概念。若当若当x x a,b时时,连续函数连续函数f f(x x)既取得正值既取得正值,又又取得负值时，取得负值时，321)(AAAdxxfbay=f(x)oxyabA1A2A3（3）曲线弧的长度曲线弧的长度:其中其中:f(x)叫做被积函数

25、叫做被积函数.f(x)dx叫做被积表达式叫做被积表达式.x叫做积分变量叫做积分变量,a叫做叫做积分下限积分下限.b叫做叫做积分上限积分上限,a,b叫做叫做积分区间积分区间.niiibaxfdxxf10)(lim)(二、定积分定义二、定积分定义1.定义定义:设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,将将a,b任意分成任意分成 n个子区间个子区间,分点为分点为bxxxxxann 1210在每个子区间在每个子区间xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i,i xi-1,xi,)(lim10存在如果极限niiixf),max,(11iniiiixxxx其中则称这个极限值为函数则称这个极限值为函数f(x)在在a,b上的上的定积分.记成记成niiibaxfdxxf10)(lim)(二、定积分定义二、定积分定义1.定义定义:设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,将将a,b任意分成任意分成 n个子区间个子区间,分点为分点为bxxxxxann 1210在每个子区间在每个子区间xi-1,xi 上任取一点上任取一点 i,i xi-1,xi,)(lim10存在如果极限niiixf),max,(11iniiiixxxx其中则称这个极限值为函数则称这个极限值为函数f(x)在在a,b上的上的定积分.记成记成ba)(xfdx0liminiixf)(1谢谢