一般周期函数的傅里叶级数课件.ppt
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- 关 键 词:
- 一般 周期函数 傅里叶 级数 课件
- 资源描述:
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1、8 8 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、一、周期为周期为l 2的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数定理定理设设)(xf是周期为是周期为l 2的周期函数,的周期函数,且满足收敛定理的条件,且满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数则它的傅里叶级数)sincos(210lxnblxnaannn 在在),(上收敛上收敛,且且(1)(2)2)()(xfxf当当x为连续点时,为连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xfx为间断点时,为间断点时,级数收敛于级数收敛于当当其中其中dxlxnxflalln cos)(1 dxlxnxflblln sin)(1,.)2,1,0(,n,.)2,
2、1(,n(1)(2)证证l l xtO txl 作换元作换元 txl,则在此变换下,则在此变换下区间区间lxl 变为变为区间区间 t)(xf)(tlf )(tF)(tF是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数可以验证:可以验证:)2(tF)2(tlf 2ltlf )(tlf )(tF)(tF的傅氏级数的傅氏级数)sincos(210ntbntaannn 在在),(上收敛,且上收敛,且2)()(tFtF连续点连续点t,)(tF间断点间断点t,其中其中dtnttFan cos)(1dtnttFbn sin)(1,.)2,1,0(,n,.)2,1(,n(*)sincos(210ntbntaannn
3、)(xfy 由由)(tFy 与与xlt 复合而成复合而成)(tFt是是的连续点的连续点)(xfx是是的连续点的连续点)(tFy 由由)(xfy 与与tlx 复合而成复合而成)(tFt是是的连续点的连续点)(xfx是是的连续点的连续点即:即:)(tFt是是的连续点的连续点)(xfx是是的连续点的连续点将将xlt 代入代入(*)式,式,得得)sincos(210lxnblxnaannn 2)()(xfxfx的连续点的连续点)(xf ,是是)(xfx的间断点的间断点是是)(xf其中其中dxlxnxflll cos)(1 dtnttFan cos)(1 xlt dtnttFbn sin)(1dxlxn
4、xflll sin)(1 xlt 即即(1)(2)式。式。证毕。证毕。说明说明(1)当当)(xf上是奇函数时,上是奇函数时,0 na,.)2,1,0(,ndxlxnxflbln 0 sin)(2,.)2,1(,n奇函数的傅氏级数是正弦级数奇函数的傅氏级数是正弦级数在在),(ll 1sinnnlxnb(3)其中,其中,nb按按(3)式计算。式计算。当当)(xf上是偶函数时,上是偶函数时,0 nb,.)2,1,0(,ndxlxnxflaln 0 cos)(2,.)2,1(,n偶函数的傅氏级数是余弦级数偶函数的傅氏级数是余弦级数在在),(ll 10cos2nnlxnaa(4)其中,其中,na按按(4
5、)式计算。式计算。(2)若若)(xf只在只在,ll 上有定义,上有定义,且满足收敛且满足收敛定理的条件,定理的条件,也可将它展开为傅氏级数。也可将它展开为傅氏级数。方法:方法:首先,首先,将将)(xf进行周期延拓,进行周期延拓,将它将它拓广为周期为拓广为周期为l 2的周期函数的周期函数)(xF;然后然后将将)(xF展开成傅氏级数;展开成傅氏级数;最后,最后,再将再将x限制在限制在,ll 上,上,就得到就得到)(xf的傅氏级数的傅氏级数展开式。展开式。即:即:按按(1)、(2)式求出式求出,nnba从而得到从而得到)(xf的的傅氏级数傅氏级数)sincos(210lxnblxnaannn 在点在
6、点),(llx ,x是是)(xf的连续点时,的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf;x是是)(xf的间断点时,的间断点时,级数收敛于级数收敛于2)()(xfxf在端点在端点lx ,级数收敛于级数收敛于2)()(lflf(3)若若)(xf只在只在,0l上有定义,上有定义,且满足收敛且满足收敛定理的条件,定理的条件,可将它展开成正弦级数和余弦可将它展开成正弦级数和余弦首先,首先,将将)(xf进行奇延拓,进行奇延拓,将它拓广将它拓广为为,ll 上的奇函数上的奇函数)(xF;然后,然后,将将)(xF展开成傅氏级数展开成傅氏级数(正弦级数正弦级数);最后,最后,再将再将x限制在限制在,0l上,上,就得
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