新数学竞赛讲座(第三讲)级数课件.ppt
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- 关 键 词:
- 数学 竞赛 讲座 第三 级数 课件
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1、数学竞赛讲座数学竞赛讲座无穷级数无穷级数王进良王进良1.解:解:发散发散,时,时,)()!ln(0)1(nnn 发散发散,时,时,nnnnnn2ln2ln2ln)1()!ln(20)2(1 ,lnln)!ln(2)3(1 nnnnnnn时,时,收敛收敛,取取 ,11lnln1111rrrnnnnnnr 敛散性敛散性判别判别 1)!ln(nnn 判判别别级级数数的的敛敛散散性性32.解:解:敛散性敛散性判别判别 12111ln)1(nnnnn2121)1(1)1(nnnn 12)121ln(11ln nnnn211lnlim)1(lim11ln)1(lim41214521 nnnnnnnnnnn
2、nnn收敛收敛 12111ln)1(nnnnn3.解:解:为交错级数为交错级数考虑级数考虑级数,)1(1)1(11202 kkkkkjkujk)(012 0,2 kkkuk显然显然,1212111222102202kkkkkjkkjkjkukjkjk kkjkukkjku 2220211)(321)(1又又敛散性敛散性判别判别 1)1(nnn判判别别级级数数的的敛敛散散性性knkkkkn 2,1,222时时,当当:ku下证下证)0(,)()2)(,2222kjkkjkkjk 注意到注意到收敛收敛,1)1(kkkkuu的关系:的关系:的部分和的部分和与与原级数的部分和原级数的部分和1)1(nkk
3、knTuS )(01 2|-|2 nnnTSnn收敛,条件收敛收敛,条件收敛 1)1(nnn54.解:解:,判敛散:判敛散:120,)()()1(nanbnnnbabnannaxbxxbxaxxxfba )()()(10)2(2时,时,当当0)()()()(ln0)(ln2 anbnnbnannxfxfxf且且babanabanbnnnenbnabxanbnann )(2)1)(1(1)()(1)()(,收敛收敛时,时,12)()(1)1(nanbnnbnannba,条件收敛条件收敛时,时,12)()()1(10nanbnnnbnannba级数发散,级数发散,时,时,0)()()1(0)3(2
4、anbnnnbnannba/65.解:解:0)1(1ln1 pnnpn,判敛散:判敛散:)1(21)1()1(1ln22pppnpnnonnn 绝对收敛,绝对收敛,时,时,1)1(1ln1)1(npnnp条件收敛,条件收敛,时,时,1)1(1ln121)2(npnnp发散。发散。时,时,1)1(1ln210)3(npnnp76.解:解:0,sin12 ,判敛散:判敛散:nnnn0sin212 nnn时,时,当当)sin()1(sin2 nnnnn 发散。发散。12sinnnnn /nnnnnsin)1(sin212 时,时,当当条条件件收收敛敛 12sin,0sinnnnnn 87.解:解:发
5、发散散发发散散,而而 2211,11nnnnunnu但不单调。但不单调。级数为交错级数,且级数为交错级数,且),(0)1(1 nnunn考虑部分和考虑部分和 12nS0)21121()4151()2131()1()1(1222 nnkSnkkkn21221)21221()4161()2141(2 nnnSn又又.21 收收敛敛。2nS12222212limlim nnnnnnnSSuSS条条件件收收敛敛。nS条条件件收收敛敛证证明明:级级数数 2)1()1(nnnn98.解:解:)1()1(2sin111sin,10)2(11 pnnnnpnnnpnxdxdxxxap 时时,级数绝对收敛。级数
6、绝对收敛。时,时,,11|sin|1)1(1pnnpnndxxxap 1,nnpn 其其中中,证明:证明:设设,0.,.2,1,1sin1 nnpnpnndxxxa 0)1(2)1(2)1(201 pnpnpn 条件收敛。条件收敛。0nna条件收敛。条件收敛。时,时,绝对收敛;绝对收敛;00,10)2(,1)1(nnnnapap109.解:解:nennennnnn 212)2()!(12敛散性敛散性判别判别 1)!(1nnn)12/(2!nnnnennn 斯斯特特林林公公式式:时,级数发散。时,级数发散。时,级数收敛;时,级数收敛;11 1110.证明:证明:收敛收敛证明:证明:设设 1211
7、11,1nnnnnxxxxx)1(121nnnnnnxxxxxx 1111111111 nnnnnnxxxxxx1111111111 nnkkknkknxxxxS部部分分和和:011121有有下下界界又又 nnnnnnxxxxxx1211.解:解:收敛收敛 22211)1(nanaanannnn发散,试判断敛散性发散,试判断敛散性设设 1,0nnnaa 1121)2(,1)1(nnnnnnaaana发散发散,有界,有界,若若 11111,0)2(nnnnnnnnaaaMaaMaa有界有界,否则,否则无界,则无界,则若若01nnnnaaaa/发散发散 11nnnaa1312.证明:证明:阶阶导导
8、数数,且且点点的的某某邻邻域域内内有有连连续续二二为为偶偶函函数数,在在设设0)(xf)1,0(,1)(211)0()0()1(2nnfnffnf 收敛收敛证明证明 1|1)1(|,2)0(,0)0(,1)0(nnffff0)0(,2)0(,1)0(fff1|)(|21lim1|1)1(|lim|)(|21|1)1(|22 fnnffnnfnn收敛收敛 1|1)1(|nnf1413.证明:证明:收敛收敛收敛,则收敛,则若正项级数若正项级数 121)1(nannnnaa222)ln(1lnexp)1(nnnnanaaaaan 0lnlim)1(lim22 nnnnannaaaan收敛收敛 12)
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