数学分析之函数极限课件.ppt

1、数学分析之函数极限 教学目标：教学目标：1.1.理解函数极限的理解函数极限的“-”-”定义及单侧极限概念；定义及单侧极限概念；2.2.掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个重要极限；重要极限；3.3.理解无穷大量及无穷小量概念；理解无穷大量及无穷小量概念；4.4.会求渐进线会求渐进线.1 函数极限概念函数极限概念一、一、x x 趋于趋于 时的函数极限时的函数极限二、二、x x 趋于趋于x x0 0时的函数极限时的函数极限三、单侧极限三、单侧极限 作为数列极限的推广作为数列极限的推广,函数极限与数列函数极限与数列极限之间有着密切的联系极限之间有着

2、密切的联系,它们之间的纽带它们之间的纽带就是归结原理就是归结原理.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x

3、xx一、一、x趋于趋于 时的函数极限时的函数极限设函数设函数定义在定义在)(xf ,aA)(xfxyO极限极限.f(x)当当 x 趋于趋于 时以时以A为为也无限地接近也无限地接近A,我们就称我们就称无限远离原点时无限远离原点时,函数函数f(x)上上,当当 x 沿着沿着 x 轴的正向轴的正向x趋于趋于例如例如 函数函数,arctan xy 当当时时,xy210203040O0.51为极限为极限.以以xarctan2记为记为或者或者lim()xf xA ).()(xAxf,)(AxfAxxf时时以以趋趋于于当当 )(则称函数则称函数.为极限为极限定数定数,若对于任意正数若对于任意正数 存在正数存在

4、正数 使得使得，0 ，)(aM ,时时Mx 当定义定义1 .,上上的的一一个个函函数数为为定定义义在在设设 afA 为为()Af xA 有有 lim()xf xA的的几几何何意意义义xM使使当当时时xA A 任意给定任意给定0 M存在存在Ma AxyOa定定义义比比较较与与注注axAxfnnx lim)(lim.1axnn limAxfx)(lim函数函数定义域定义域自变量变化趋势自变量变化趋势函数值变化趋势函数值变化趋势nxy )(xfy N）（,a nxaxnAxf)(0,0()XxXf xA，时，有0,nNnNxa，时，有定义定义注注 数列可视为定义在正整数集上的函数数列可视为定义在正整

5、数集上的函数.所以所以(由定义由定义1),例例1 证明证明.01limxx 任给任给取取证证,0 ,1 M,时时当当Mx ,101xx.01limxx例例2.2arctanlim xx证证明明证证 任给任给),2(0 ).2tan(M取取这就是说这就是说lim arctan.2xx 时，时，当当Mx 严严格格增增，因因为为xarctan()arctan22f xx().22,)(Axf定义定义2 ,)(上上定定义义在在设设bxf .是是一一个个常常数数A,0 ,0 M存存在在()xMb 当当时时若若对对于于任任意意记为记为Axxf时时以以当当 )(,为极限为极限则称则称Axfx )(lim或或

6、).()(xAxf证证 对于任意正数对于任意正数),10(,ln M取取lnx 当当时时 则则例例3 求证求证lim e0.xx .e0e xx.0elim xx为极限，为极限，时以时以当当则称则称Axxf)(记为记为,)(Axf定义定义3A,)()(内内的的某某个个邻邻域域定定义义在在设设 Uxf存在存在 当当，0 M,0 .为为一一个个常常数数若对于任意若对于任意xM 时Axfx )(lim或或).()(xAxf例例4 求证求证.011lim2xx22110,1xx 所以所以,1 M有有时时当当,Mx 证证 对于任意正数对于任意正数 ,可取可取.011lim2xxxxysin 例例5.0s

7、inlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx xxysin 几何解释几何解释:X X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXxA从定义从定义1、2、3 不难得到不难得到:.)(lim)(limAxfxfxx 定理定理 3.1 定义在定义在则则的的一一个个邻邻域域内内，)(xfxxar

8、ctanlim 则由定理则由定理 3.1，.不不存存在在Axfx )(lim的充要条件是：的充要条件是：lim arctan,lim arctan,22xxxx 例如例如二、二、x趋于趋于x0时的函数极限时的函数极限,时当),(),(00 xUxUx,)(Axf定义定义4)(xf设设的的某某空空心心邻邻域域0 x在点在点,如如果果对对于于任任意意正正数数定义，定义，.是是一一个个常常数数A存在正数内有内有),(0 xU)|0(0 xx即.)(0为为极极限限时时以以当当Axxxf记为记为则称则称0lim()xxf xA.)()(0 xxAxf需要注意以下几点：需要注意以下几点：,我们强调其存在性

9、我们强调其存在性.换句话说换句话说,对于对于固定固定 1.对于对于 的的,不同的方法会得出不同的不同的方法会得出不同的 ,不存在哪一个更不存在哪一个更好的问题好的问题.数数都可以充当这个角色都可以充当这个角色.3.正数正数 是任意的是任意的,一旦给出一旦给出,它就是确定的常数它就是确定的常数.,那么比它那么比它更小的正更小的正是不惟一的是不惟一的,一旦求出了一旦求出了 .2平面上以平面上以 y=A为中心线为中心线,宽为宽为 的窄带的窄带,2可可以找到以找到,0 使得曲线段使得曲线段),(),(0 xUxxfy 4.函数极限的几何意义如图函数极限的几何意义如图,0,任任给给对于对于坐标坐标落在窄

10、带内落在窄带内.AyAy AyOxy 0 x0 x 0 x注：注：在在 处有无定义皆可处有无定义皆可.0 x)(xf例例6证明证明.221121lim1 xxx时时,使使,对于任意正数对于任意正数,0 要找到要找到|1|0 x当当分析分析1211112 2122 2xxx()2121.2 2(12)2 2(12)xxxx 因因211,2 2(12)xxx只要只要 式就能成立式就能成立,故取故取 即可即可.1,()x 证证,00 xx 当当时时,任给正数任给正数取取这就证明了这就证明了,1221121 xxx.221121lim1xxx例例7 证明证明.lim2020 xxxx,00202 xx

11、xxxx可以先限制可以先限制因为因为此时有此时有,10 xx0000022xxxxxxxx 故只要故只要所以所以,)21(00202xxxxx .2100 xxx 要使要使分析分析012,x这就证明了这就证明了.202 xx.lim2020 xxxx 证证,21,1min0 x 取取 00 xx当当,0 有有,时时注注 在例在例6、例、例7中中,我们将所考虑的式子适当放大我们将所考虑的式子适当放大,不是不是“最佳最佳”的的,但这不影响我们解题的有效性但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出其目的就是为了更简洁地求出 ,或许所求出的或许所求出的 证证 首先，在首先，在右图所示的单位

12、圆内右图所示的单位圆内,0,2x 当当时时显然有显然有即即,OABOADOADSSS 扇扇形形,tan2121sin21xxx 故故sintan0.2xxxxOCDBAyxx例例8 求证：求证：00(1)lim sinsin;xxxx 00(2)limcoscos.xxxx.0 时时成成立立上上式式中中的的等等号号仅仅在在 x,2x 因因为为当当时时,0,1sin xxx故故对对一一切切R.,sin xxx.sinxx ,sinx故故均是奇函数均是奇函数,x又因为又因为有有000sinsin2cossin22xxxxxx 对于任意正数对于任意正数,取取,00时时当当 xx,0,xx .sins

13、inlim00 xxxx 同理可证同理可证:.coscoslim00 xxxx 所以所以例例9 证明：证明：).1|(11lim02020 xxxxx证证 因为因为22000220|1111xxxxxxxx 则则,0 ,2120 x 取取00|xx 当当时时，2200202|11|.1xxxxx 这就证明了所需的结论这就证明了所需的结论.0202|,1xxx 三、单侧极限三、单侧极限，时时在考虑在考虑)(lim0 xfxxx 既可以从既可以从 x0)(0 xx 的的左左侧侧 但在某些时但在某些时.)(000 xxxx趋趋向向于于的的右右侧侧又又可可以以从从 定义定义5,),(),()(00有定

14、义有定义在在设设 xUxUxf A为常为常数数.若对于任意正数若对于任意正数 ,）（存存在在正正数数 在定义区间的端点和分段函数的分界点等在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候候,我们仅需我们仅需(仅能仅能)在在 x0的某一侧来考虑的某一侧来考虑,比如函数比如函数|,f xA（）（）则称则称 A 为函数为函数 f 当当00()xxxx 时的右时的右(左左).)(lim()(lim00AxfAxfxxxx 右极限与左极限统称为单侧极限右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，为了方便起见，).(lim)0(,)(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 时时，有有当当)0(000 xx

15、xx极限极限,记作记作有时记有时记 例例10 讨论函数讨论函数.112处处的的单单侧侧极极限限在在 xx解解 因为因为,1|x),1(2)1()1(12xxxx .|01|2 x.01lim21 xx这就证明了这就证明了.01lim21 xx同同理理可可证证所以所以有有时时当当,11 x,2,02 取取由定义由定义3.4和定义和定义3.5，我们不难得到：，我们不难得到：注注试比较定理试比较定理 3.1 与定理与定理 3.1.)(lim)(lim00Axfxfxxxx）有有定定义义，则则（在在设设0)(xUxf定理定理 3.1:)(lim0的的充充要要条条件件是是Axfxx,1sgnlim,1s

16、gnlim00 xxxx由由于于xxsgnlim0所所以以不存在不存在.作为本节的结束作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限我们来介绍两个特殊的函数极限.例例11 证明狄利克雷函数证明狄利克雷函数无理数，有理数xxxD0,1)(证证 001R,.2xA 对对于于任任意意的的以以及及任任意意实实数数取取处处无极限处处无极限.,|00*xx,QR,21|,0*xA取取若若对对于于任任意意的的 满足满足.21|)(|0*AAxD*01|,Q,0|,2Axxx若若取取满满足足则则.21|1|)(|0*AAxD这就证明了结论这就证明了结论.则则例例12 设黎曼函数设黎曼函数.1,0,0,1),(,

17、1)(无理数以及无理数以及xqpqpxqxR00:(0,1),lim()0.xxxR x 求求证证证证.10 NN，使使，取取一一正正整整数数因为在因为在(0,1)中分母小于中分母小于 N 的有理数至多只有的有理数至多只有.)(,21Knxxxn 个个,故可设这些有理数为故可设这些有理数为2)1(NNK这就是说，除了这这就是说，除了这 n 个点外个点外,其他点的函数值都其他点的函数值都,)1(010inxxxxx 可可设设中中的的某某一一个个是是若若.|min,)2(0110 xxxxxknkn 则则令令若若时时，当当于于是是|0,0 xx对以上两种情形都有对以上两种情形都有.|0)(|xR这

18、就证明了这就证明了.0)(lim0 xRxx；令令则则|min0,1xxkiknk 小于小于 .所以所以例例13).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证CC,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例14.lim00 xxxx 证证明明证证,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0 xx,成立成立 .lim00 xxxx 例例15.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要要使使,2112 xx就有就有.211li

19、m21 xxx例例16.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf ,0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取负值且不取负值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例17证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x小结小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxf

20、x ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限

21、是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.01.01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题练习题答

22、案练习题答案 2 函数极限的性质函数极限的性质二、范例二、范例一、一、的基本性质的基本性质0lim()xxf xA 在前面一节中引进的六种类型的函数极限在前面一节中引进的六种类型的函数极限,它们都有类似于数列极限的一些性质它们都有类似于数列极限的一些性质.这里仅这里仅以以 为代表叙述并证明这些性质，为代表叙述并证明这些性质，至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改即可修改即可.0lim()xxf xA 定理定理3.2 (惟一性惟一性)证证 不妨设不妨设 以及以及Axfxx)(lim0.)(lim0Bxfxx 由极限的定义，对于任意的正数由极限的定义，

23、对于任意的正数,1 存存在在正正数数,|0,102时时当当 xx(1),2|)(|Axf,|020时时当当 xx)(lim0 xfxx存在存在,则此极限惟一则此极限惟一.若若0lim()xxf xA的基本性质的基本性质一、(2)式均成立，所以式均成立，所以.|)(|)(|BxfxfABA由由 的任意性，推得的任意性，推得 A=B.这就证明了极限是惟这就证明了极限是惟,|0,min021时时当当令令 xx(1)式与式与一的一的.2|)(|Bxf(2)定理定理 3.3（局部有界性）（局部有界性）证证时时，当当存存在在取取|0,0,10 xx.1|)(|Axf.1|)(|Axf由此得由此得,)(li

24、m0Axfxx 若若上上在在)()(0 xUxf,)(0 xU则则存存在在有界有界.这就证明了这就证明了 在某个空心邻域在某个空心邻域 上有界上有界.),(0 xU)(xf注：注：试与数列极限的有界性定理（定理试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一作一(2)有界函数不一定存在极限；有界函数不一定存在极限；这这上上并并不不是是有有界界的的在在但但.)2,0(1,11lim)3(1xxx 说明定理中说明定理中“局部局部”这两个字是关键性这两个字是关键性的的.比较；比较；定理定理3.4（局部保号性）（局部保号性）若若,)0(0)(lim0 或或Axfxx则对任何正数则对任何正数)(ArAr 或

25、或使得使得存在存在,)(,0 xU.)0)(0)(rxfrxf或或.|)(|Axf.)(rAxf 由此证得由此证得有有对对一一切切,)(0 xUx 有有时时，当当存存在在|0,00 xx证证 不妨设不妨设 .对于任何对于任何 取取,rA 0 A(0,),rA 定理定理 3.5（保不等式性）（保不等式性）)(lim)(lim00 xgxfxxxx与与设设则则内内有有且且在在某某邻邻域域都都存存在在,)()()(,0 xgxfxU).(lim)(lim00 xgxfxxxx 证证那么对于任意那么对于任意设设,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx ;)(Axf有有时时而当而当,|020 x

26、x.)(Bxg0,分别存在正数分别存在正数12,使当使当010|xx 时时,有有满满足足时时则则当当令令,|0,min021 xx,)()(BxgxfA所所以以证证得得是是任任意意正正数数因因为为从从而而有有,.2 BA.BA 且且设设,)(lim)(lim00Axgxfxxxx 定理定理 3.6（迫敛性）（迫敛性）内有内有的某个空心邻域的某个空心邻域在在)(00 xUx).()()(xgxhxf.)(lim0Axhxx 那么那么证证 因为因为所所以以对对于于任任意意,)(lim)(lim00Axgxfxxxx 有有时时当当存存在在,|0,0,00 xx(),Af xA ().Ag xA .)

27、()()(AxgxhxfA再由定理的条件，又得再由定理的条件，又得这就证明了这就证明了0)(xxh在点在点的极限存在，并且就是的极限存在，并且就是 A.;)(lim)(lim)()(lim)1(000 xgxfxgxfxxxxxx ;)(lim)(lim)()(lim)2(000 xgxfxgxfxxxxxx gfgf ,在点在点 x0 的极限也存在的极限也存在,且且都存在都存在,则则,0)(lim)3(0 xgxx又若又若在点在点 x0 的极限也存在的极限也存在,gf则则定理定理 3.7（四则运算法则）（四则运算法则）若若,)(lim0 xfxx)(lim0 xgxx.)(lim)(lim)

28、()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx 并有并有这些定理的证明类似于数列极限中的相应定理这些定理的证明类似于数列极限中的相应定理.二、范例二、范例arctan1limlim arctanlimxxxxxxx 1lim arctan,lim0,2xxxx 解解 因因为为所所以以例例1.arctanlimxxx 求求0例例 2.1lim0 xxx求求有有时时又当又当,0 x因此由迫敛性得因此由迫敛性得;11lim0 xxx解解 由取整函数的性质，由取整函数的性质，.1111xxx 0 x当当,11lim)1(lim00 xxx由由于于时时,有有,111 xxx同理得同理得,111xxx

29、于是求得于是求得.11lim0 xxx.11lim0 xxx例例 3 求极限求极限4lim(tan1).xxx 44sinsin4limtanlim1,coscos4xxxxx解解 因为因为所以所以4lim(tan1)111.44xxx 例例4.)1(1lim0 aaxx求证求证有有时时当当,Nn ,1111 nnaa特别又有特别又有.1111 NNaa,1N 取取,|0|0时时当当 x,1111 NxNaaa.1lim0得证得证即即 xxa证证,11lim,1lim nnnnaa因为因为所以所以,0N 一、归结原则一、归结原则3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件三、柯西收敛准则三、柯西收

30、敛准则二、单调有界定理二、单调有界定理一、归结原则一、归结原则的充要条件是的充要条件是:对于在对于在内内),(0 xU以以 x0 为极限的为极限的,nx任何数列任何数列)(limnnxf 极限极限都存在都存在,并且相等并且相等.证证(必要性必要性)设设,)(lim0Axfxx 则对任给则对任给存存,0 ,0 在在有有时时当当,|00 xx定理定理 3.8.),(0有有定定义义在在设设 xUf存在存在)(lim0 xfxx.|)(|Axf nx设设,),(00 xxxUn 那么对上述那么对上述 存在存在,有有时时当当,NnN,|00 xxn所以所以.|)(|Axfn这就证明了这就证明了.)(li

31、mAxfnn (充分性充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学（下面的证法很有典型性，大家必须学恒有恒有.)(limAxfnn 0)(xxxf在在若若时时,不以不以 A 为极限为极限,则存在正数则存在正数设任给设任给),(0 xUxn,0 xxn会这种方法会这种方法.）.|)(|0 Axf现分别取现分别取,2,21nn 存在相应的存在相应的),(,21nnnxUxxxx 使得使得.,2,1,|)(|0 nAxfn 对于任意正数对于任意正数),(,0 xUx 存在存在使得使得,0,|00nxxnn 这与这与Axfnn )(lim矛盾矛盾,注注 归结原则有一个重要应用：归结原则有一个重要应用：若

32、存在若存在,),(,000 xyxxxUyxnnnn 但是但是),(lim)(limnnnnyfBAxf)(lim0 xfxx则则不存在不存在.lim0 xxnn ，不趋于时，但当Axfnn)(.)(lim0Axfxx所以必有例例1xxxxcoslim,1sinlim0 证证明明都不存在都不存在.解解110,0,2 2 2nnxynn 取取有有,1sinlim101sinlimnnnnyx 故故xx1sinlim0不存在不存在.2,2,2nnxnyn 同同理理可可取取有有,coslim01coslimnnnnyx 故故xxcoslim 不存在不存在.密集的等幅振荡密集的等幅振荡,当然不会趋于一

33、个固定的值当然不会趋于一个固定的值.为为了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则则,我我们写出们写出 时的归结原则如下：时的归结原则如下：0 xx-1-0.50.511-1xyxy1sin 的图象在的图象在 x=0 附近作无比附近作无比从几何上看，从几何上看，义义,则则定理定理 3.90)(xxf在在设设的某空心右邻域的某空心右邻域)(0 xU 有定有定作为一个例题作为一个例题,下面给出定理下面给出定理 3.9 的另一种形式的另一种形式.义义.Axfxx )(lim0那么那么的充要条件是任给严格递减的充要条件是任给严格递减,),(000 xxxUxnn 的

34、的.)(limAxfnn必必有有例例 20)(xxf在在设设的某空心右邻域的某空心右邻域),(0 xU 上有定上有定Axfxx )(lim000(),lim().nnnnxUxxxf xA 任给任给必有必有证证必要性应该是显然的必要性应该是显然的.下面我们证明充分性下面我们证明充分性.,0时时假若假若 xxf(x)不以不以 A 为极限为极限.则存在正数则存在正数;|)(|,0,0110111 Axfxxx取取,2min012xx ;|)(|,0,022022 Axfxxx,min01xxnnn ,),(0 xUx 存存在在.|)(|0 Axf使使,0 ,0 这样就得到一列严格递减的数列这样就得

35、到一列严格递减的数列),(0 xUxn ,|)(|,00 Axfxxnn但但这与条件矛盾这与条件矛盾.;|)(|,0,00 Axfxxxnnnn二、单调有界定二、单调有界定理理定理定理 3.10 设设 f 为定义在为定义在)(0 xU 上的单调有界函数上的单调有界函数,则右极限则右极限.)(lim0存存在在xfxx 证证不妨设不妨设 f 在在.)(0递递减减xU 因为因为 f(x)有界有界,故故使使),(0*xUx （能够写出关于（能够写出关于,)(lim,)(lim0 xfxfxxx 的单调有界定理的单调有界定理.）)(limxfx )(sup)(0 xfxUx 存在存在,设为设为A.由确界

36、定义由确界定义,对于对于,0 .)(*AxfA ,0,00*时时当当令令 xxxx由由 f(x)的递减性的递减性,.)()(*AAxfxfA这就证明了这就证明了.)(lim0Axfxx对于单调函数对于单调函数,归结原则的条件就要简单得多归结原则的条件就要简单得多.例例3)(lim),()(00 xfxUxfxx 则则上单调，上单调，在在设设 存在的充要条件是存在一个数列存在的充要条件是存在一个数列,)(0,0 xxxUxnn .)(lim存存在在使使nnxf 证证 必要性可直接由归结原则得出必要性可直接由归结原则得出,下面证明充分下面证明充分,)(0,0 xxxUxnn 设设.)(limAxf

37、nn.)(AxfAn对于任意对于任意),(00 xxxUxN ).()(xfxfAN ,0N 故故当当 时时,有有Nn 假设假设)(xf递减递减性性.,0 xxxn 又因为又因为),(1NN所所以以,1xxN 使使因因此此从从而而.)()(1 AxfxfN.)(AxfA.)(lim0Axfxx 即即)(xfy xNx1Nxx0 xOy A AA三、柯西收敛准则三、柯西收敛准则有定义有定义,则极限则极限)(limxfx存在的充要条件是存在的充要条件是:任任),(,0MX 存在存在给给 均均有有对对于于任任意意,21Xxx.|)()(|21 xfxf定理定理3.11 设设 f(x)在在 的某个邻域

38、的某个邻域|Mxx 上上),(MX 存存在在对一切对一切 x X，.2|)(|Axf有有所所以以对对一一切切,21Xxx 1212|()()|()|()|.f xf xf xAf xA 证（必要性）证（必要性）,)(limAxfx 设设则对于任意则对于任意,0 (充分性充分性)对对一一切切，存存在在对对任任意意的的,0MX 有有,21Xxx .21 xfxf，则则存存在在任任取取Nxxnn ,时时当当Nn .)()(mnxfxf .,因因此此收收敛敛是是柯柯西西列列这这就就是是说说nxf使使若若存存在在,nnnnyxyx.)(发发散散，矛矛盾盾但但nzf,)(,)(ABByfAxfnn 112

39、2,nnnzxyxyxy则则令令为为，.nz显然显然故故,Mxxmn,.时时又当又当NmnXxn 这样就证明了对于任意的这样就证明了对于任意的,nnxx)(limnnxf 存在且相等存在且相等.由归结原则由归结原则,)(limxfx存在存在.虽虽然然以以及及是是：,00nnyx ，nnyx .0 nnyfxf但是但是注注 由柯西准则可知由柯西准则可知,不存在的充要条件不存在的充要条件lim()xf x .1sinsin0 nnyx但但是是不不这这就就说说明明xxsinlim ,sin xy 对于对于,10 取取例如例如,2,2,2nnxnyn 存在存在4 两个重要的极限两个重要的极限 0sin

40、lim1xxx 一、一、二、二、1lim 1exxx 如如图图，单单位位圆圆中中,AOCOABAOBSSS扇扇形形xyoBCAx110sinlim1xxx 一、时时，故故当当20.tan2121sin21.,.xxxxei时时，；当当有有02tansinxxxx.tan)tan(sinsin20 xxxxxx）（时时，得得有有.0.tansin2时时成成立立等等号号仅仅当当时时，故故当当xxxxx.21sin2xxx时，又除除之之得得用用时时且且当当xxxxxxsin.tansin,02xxxcos1sin1 or1sincosxxx.1sinlim0 xxx由由此此可可得得.1tanlim0

41、 xxx0sinsinlimlim1.xtxtxt 解解 ,sinsinsin,txxtt 令令所以所以例例1 求求sinlim.xxx 例例2.arctanlim0 xxx求求.1coslimsinlimtanlimarctanlim0000 tttttxxtttx则则令令,tan,arctantxxt 解解.cos1lim20 xxx 求求例例3解解2202sin2limxxx.21 20cos1limxxx 2022sin21lim xxxe11lim xxx.e11lim xxx和和证证 我们只需证明：我们只需证明：;,2,1,1,111 nnxnnxfn设两个分段函数分别为设两个分段

42、函数分别为1lim 1exxx二、.,2,1,1,111 nnxnnxgn显然有显然有 .),1,11 xxgxxfx ,e111limlim nnxnxf ,e11limlim1 nnxnxg因为因为 2.e11lim xxx则则设设时时当当,0,0 yyxx所以由函数极限的迫敛性，得到所以由函数极限的迫敛性，得到.1111111yyxyyx 所以所以时，时，因为当因为当,yx.e11lim xxx这这就就证证明明了了 )3(.e1lim10 ttt注注.0,1 txxt时时则则若若令令由此可得由此可得在实际应用中，公式在实际应用中，公式(2)(2)与与(3)(3)具有相同作用具有相同作用.

43、e111111lim11lim1 yyxyyxx解解),3(由公式由公式 .e21lim21lim2221010 xxxxxx.111lim2nnnn 求求例例5解解 因为因为,111112nnnnn 1122211111 nnnnnnnnn.112122 nnnn例例4xxx10)21(lim 求求所以由归结原则，所以由归结原则，而而,01,e11lim2 nnnnn.e11lim122 nnnnn.e111lim2 nnnn再由迫敛性再由迫敛性,求得求得二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较5 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 由于由于 等同等同 因因0lim()0,xxf xA 0

44、lim()xxf xA 相同的相同的.所以所以“数学分析数学分析”也称为也称为“无穷小无穷小分析分析”.此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是四、渐近线四、渐近线三、无穷大量三、无穷大量一、无穷小量一、无穷小量一、无穷小量一、无穷小量定义定义1内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设)(00 xUxf ,0lim0 xfxx若若.0时时的的无无穷穷小小量量为为则则称称xxf为为类似地可以分别定义类似地可以分别定义f.时时的的无无穷穷小小量量和和有有界界量量.0时的有界量时的有界量xx 0fx若若在在点点的的某某个个空空心心邻邻域域内内有有界界

45、，则称则称 f 为为,00 xxxxxxx,显然，无穷小量是有界量显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷而有界量不一定是无穷时时的的无无穷穷小小量量；为为11 xx例如例如:对于无穷小量与有界量，有如下关系：对于无穷小量与有界量，有如下关系：；时时的的无无穷穷小小量量为为 112xxsin;xxx 为为时时的的无无穷穷小小量量sin.xx 为为时时的的有有界界量量小量小量.1.两个两个(类型相同的类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量的和，差，积仍是2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质性质1 1可由极限的四则运算性质直接得到可由极限的四则运

46、算性质直接得到.所所以以因因为为的的,0lim,00 xfxx 使使得得当当存存在在,0 无穷小量无穷小量.下面对性质加以证明下面对性质加以证明.00|,|()|,1xxf xM 时从而时从而00lim()0,|()|,().xxf xg xM xUx 设对于任意设对于任意0()().f x g xxx这这就就证证明明了了是是时时的的无无穷穷小小量量例如例如:时时为为时的无穷小量，时的无穷小量，为为01sin0 xxxx.01sin时时的的无无穷穷小小量量为为的的有有界界量量，那那么么xxx.01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx应当注意应当注意,下面运算的写法是错误的：下

47、面运算的写法是错误的：|()()|.f x g x xxy1sin 从几何上看，曲线从几何上看，曲线在在 近旁发生无近旁发生无0 x限密集的振动，其振幅被两条直线限密集的振动，其振幅被两条直线xy 所限制所限制.y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxy xxy1sin xy 二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、积仍积仍 xgxfxxxgxfxx是是关关于于时时则则称称，若若00lim.10 .,0均均是是无无穷穷小小量量时时，设设当当xgxfxx 出如下定义出如下定义.两个无穷小量之间

48、趋于零的速度的快慢，我们给两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.的的高高阶阶无无穷穷小小量量，记记作作.)()()(0 xxxgoxf.)()1()(0 xxoxf.)0,0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox0()f xxx当当为为时时的的无无穷穷小小量量时时，我我们们记记2.若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在，使得在 x0 的某一空心邻域的某一空心邻域)(

49、0 xU内，有内，有,)()(KxgxfL根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当0)()(lim0 cxgxfxx时，这两个无穷小量一定是同阶的时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如例如:,0时时当当xxcos1 与与2x是同阶无穷小量是同阶无穷小量;则称则称 与与 是是0 xx 时的同阶无穷小量时的同阶无穷小量.)(xf)(xg3.若两个无穷小量在若两个无穷小量在)(0 xU内满足内满足:,)()(Lxgxf 则记则记).()()(0 xxxgOxf 当当0 x时，时，x 与与 xx1sin2是同阶无穷小量是同阶无穷小量.,)(0时的有界量时时的有界量时为为xxxf我们记我们

50、记.)()1()(0 xxOxf 应当注意，若应当注意，若)(,)(xgxf为为0 xx 时的同阶无时的同阶无穷小量，当然有穷小量，当然有.)()()(0 xxxgOxf 反之不一定成立反之不一定成立,例如例如.)0()(1sin xxOxx但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：注意：这里的这里的)()()()(xgOxfxgoxf 与与)(0 xx 和通常的等式是不同的，这两个式子的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如右边，本质上只是表示一类函数例如)(xgo表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合)(xg)(0 xx