数值分析课件-(第7章).ppt
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1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 内容提要内容提要7.1 方程求根与二分法方程求根与二分法7.2 迭代法及其收敛性迭代法及其收敛性7.3 牛顿法牛顿法7.4 弦截法弦截法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 7.1 方程求根与方程求根与二分法二分法一、引言一、引言.b,aC)x(f,Rx 0)x(f 的求根问题,其中的求根问题,其中考虑单变量非线性方程考虑单变量非线性方程非线性方程的分类非线性方程的分类.0ex :.2.01xx :).n,1,0i(Ra,0a,0axaxaxa .1x3i0n1n1n1n0 如如超越方程超越方程如如其中其中代数方程代数方程机动上页下页首
2、页结束工科研究生公共课程数学系列 32 11.138.841.770 xxx例如求方程的有根区间搜搜索索法法求求有有根根区区间间。则则可可用用若若。此此时时重重零零点点。的的为为则则称称为为正正整整数数其其中中可可以以分分解解为为如如果果,0)b(f)a(f,b,aC)x(f0*)x(f,0*)x(f*)x(f*)x(f m)x(f*x .m ,|*)x(g|0),x(g*)xx()x(f )x(f)m()1m(m 由此可知方程的有根区间为由此可知方程的有根区间为1,2 3,4 5,61,2 3,4 5,6求根问题的三个方面:存在性,分布,精确化。求根问题的三个方面:存在性,分布,精确化。x
3、0 1 2 3 4 5 6f(x)的符号 +机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 0000101110()()0,()/2.()(),.()(),;,f af bxabf xf xxf af xax bbaa bx设取假如是的零点,那么输出停止 假若不然,若与同号,则否则。11110111(1),(2)x,x=,x=,22-(3)-,22kkkkkkkka ba bababbab ab ab ababa二分过程中有三个量在变:(区间、近似根、区间长度)二、二分法0 xyX*x0aby=f(x)a1b1机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 3()101.0,1.5-2.f x
4、xx 求在内的一个实根,准确到小数点后位例例7 17 1 1k|*|()/2()/2()/2*().xxkkkkkkkxxbab axabxkk收敛性分析:因故有,因此,只要二分的足够多次(即 充分大),便有,这里 为预定的精度。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 k ak bk xkf(xk)符号0123456 1.0 1.25 1.31251.3203 1.5 1.3751.34381.3281 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 +005.0 xx6k66*度度),便便能能达达到到预预定定的的精精次次(只只要要二二分分机
5、动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列。的的一一个个为为函函数数称称化化为为等等价价形形式式将将非非线线性性方方程程不不动动点点)x(*x;)*x(*x0*)x(f )x(x 0)x(f 二分法的优点是算法简单,且总是收敛的,缺点是二分法的优点是算法简单,且总是收敛的,缺点是收收敛太慢敛太慢,故一般不单独将其用于求根,只用其为根求故一般不单独将其用于求根,只用其为根求得一个较好的近似值。得一个较好的近似值。7.2 迭代法迭代法一、不动点迭代与不动点迭代法一、不动点迭代与不动点迭代法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 0101,()(),0,1,2,.2.2 ()kkxxxxx
6、kx给定初始近似值可以得到如此反复,构造迭代公式()称为迭代函数。上述迭代法是一种逐次逼近法,其基本思想是将隐式方上述迭代法是一种逐次逼近法,其基本思想是将隐式方程归结为一组显示的计算公式,就是说,迭代过程实质上是程归结为一组显示的计算公式,就是说,迭代过程实质上是一个逐步显示的过程。一个逐步显示的过程。0,2.2 lim()()2.2kkkxa bxxxxxx如果对任何,由式()得到的序列有极限则称迭代方程收敛,且为的不动点,称式()为不动点迭代法。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 3 101.5-*xxx求在附近的根。例例7 7 2 2k xkkxkkxk0121.51.35
7、7211.3308634 51.325881.32494 1.324766781.324731.324721.32472),2,1,0k(1xx1xx13k1k3 据据此此建建立立迭迭代代公公式式式式)将将方方程程改改写写成成下下列列形形解解:(即即为为所所求求的的根根。实实际际上上已已满满足足方方程程完完全全相相同同,可可以以认认为为与与结结果果787xxx机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 331012(2)xx-1 11.5,2.375,12.39,.kkxxxxx另一种等价形式建立迭代公式迭代初值仍取则有 继续迭代下去已经没有必要,因为结果显然会越来越大,继续迭代下去已经没
8、有必要,因为结果显然会越来越大,不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的。不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的。一个发散的迭代过程,纵使进行了千百次迭代,其结果也毫一个发散的迭代过程,纵使进行了千百次迭代,其结果也毫无价值。因此,迭代格式形式不同,有的收敛,有的发散,只无价值。因此,迭代格式形式不同,有的收敛,有的发散,只有收敛的迭代过程才有意义,为此要研究不动点的存在性及迭有收敛的迭代过程才有意义,为此要研究不动点的存在性及迭代法的收敛性。代法的收敛性。即即为为所所求求的的根根。实实际际上上已已满满足足方方程程完完全全相相同同,可可以以认认为为与与结结果果787x
9、xx机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 的的不不动动点点。即即为为即即使使在在由由连连续续函函数数性性质质可可知知存存且且满满足足显显然然定定义义函函数数因因上上存存在在不不动动点点。在在,显显然然或或若若性性。证证明明:先先证证不不动动点点存存在在)x(x),x(x0,)x(f)b,a(x0b)b()b(f,0a)a()a(f,b,aC)x(fx)x()x(f,b)x(ab,a)x(b)b(a)a(二、不动点的存在性与迭代法的收敛性二、不动点的存在性与迭代法的收敛性.*xb,a)x(2.4|;yx|L|)y()x(|,b,ay,x ,1L0 (2),b,a)x(,b,ax (1)
10、,b,aC)x(上上存存在在唯唯一一的的不不动动点点在在那那么么)(都都有有使使得得常常数数都都有有并并且且设设迭迭代代函函数数 定定理理1 1机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 代代替替。可可用用它它表表明明定定理理中中的的条条件件有有则则由由中中值值定定理理可可知知对对有有且且对对任任意意,在在使使用用时时如如果果中中的的条条件件和和定定理理对对定定理理2.7)(2)b,a(,y-xL)yx)()y()x(b,ay,x2.7)(1L)x(b,axb,aC)x(221010 。的的不不动动点点只只能能是是唯唯一一的的引引出出矛矛盾盾。故故得得则则由由的的不不动动点点,都都是是及及
11、再再证证唯唯一一性性。设设)x(xxxxL)x()x(xx2.4)x(b,axx2121121122 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2/331333321-(x)x1(x)(x1),31 11,2(x)()1,3 412(x)3211(x)x1(x)3x1 2(x)1在例7 2中,当时,在区间中,又因故定理 中条件 成立。所以迭代法收敛。而当时,在区间,中不满足定理条件。(2.5)|(2.2).|1|*,)(,1010 xxLLxxxxbaxkk的的不不动动点点均均收收敛敛于于迭迭代代序序列列对对任任意意初初值值的的条条件件下下在在定定理理定定理理2 2机动上页下页首页结束工
12、科研究生公共课程数学系列 具具有有足足够够精精度度。足足够够小小即即可可保保证证近近似似值值次次计计算算结结果果的的偏偏差差由由此此可可见见,只只要要相相邻邻两两将将其其化化为为而而不不便便于于实实际际应应用用。可可由由于于含含有有信信息息但但它它次次数数原原则则上上可可用用于于确确定定迭迭代代误误差差估估计计式式kkkkkkxxxxxLxx|.|1|*111|L,(2.5).|11|*|,|1|*,*,0)(;1|)(|,10,)(,)(10101kkkkkxxLxxxxLLxxxbaxxbaxfLxbaxLbaxbaxbaCx|4)|3)(2.2)2)1)(2)(1),均收敛于均收敛于迭代
13、序列迭代序列对任意初值对任意初值上有唯一的根上有唯一的根在在方程方程那么那么都有都有使得使得都有都有并且并且如果迭代函数如果迭代函数推论推论机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 320122322312 x-x-10 x1.5 11 (1)7-3 1,1;(2)1,111(3),11 kkkkkkxxxxxxxxxxxx 为求在附近的一个根,设奖方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:迭代公式迭代公式迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数例字的近似根。上上整整体体收收敛敛。在在故故迭迭代代式式,时时当当来来考考察察,的的邻邻域域取取解解6.1,3.
14、1 1113.1226.1,3.1 11)(6.1,3.1 5.1213320kkxxLxxxxx (x)(1)1.61.3 :机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 3222/322/32313/21(2)1.3,1.6(x)1x1.3,1.6221.6(x)0.52213(1)3(1 1.3)1 1.3,1.6111(3)(x),()1,2(1)2(1.6 1)11 1(2)L(2)kkkkxxLxxxxxxxx当时故在上整体收敛。故发散。由于的 较小,故取中迭代公式计算。要求结果具*313310,1 101211 100.5 1021.5 kkkkkLxxxxLLxxLx有四位有
15、效数字 因,故只需取计算结果见 下表机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 k xk k xk 1 2 31.4842480341.4727057301.468817314 4 5 6 1.4670479731.4662430101.465876820.1x05.取取初初值值kxxk 10 e10 x-20(1)0 1(2)x(2-e)/10,x07 4-.比较求的根到三位小数所需的计算量:在区间,内用二分法;用迭代法取初值例3656110,1.4662xxxx由于故可取机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 迭迭代代计计算算结结果果如如下下上上整整体体收收敛敛。取取在在时时,
16、当当具具有有三三位位有有效效数数字字。用用二二分分法法计计算算,此此时时故故因因解解:,0 x0.5,0)e2(101)x(,5.0,0)x(0.5,0 x)2(xx,1021000030517.021xx,1x0,0)1(f,0)0(f,1,0 x)1(0 x14*41514k k xk k xk 1 2 30.10.0894829080.090639135 4 5 6 0.090512616 0.090526468 0.090524951精精确确到到三三位位小小数数。故故此此时时64-566xx,102100000720.0 xxL1Lxx 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列.
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