教学课件-定量分析方法(第三版)谭跃进.ppt

1、课程学习目的、要求3课课 程程 计计 划（划（50学时）学时）4教材和参考书 1213141819美国研制原子弹的“曼哈顿计划”是一项复杂的工程，如何使1.5万余名科学家和工程师协调有序地进行科学实验并研制各种装置、设备和仪器，以最快的速度完成研制工作，“曼哈顿计划”的领导者运用系统工程方法进行组织管理，取得了显著成效，1944年5月世界上第一颗原子弹试验成功，对推动军事系统工程的发展起到了巨大作用。23242526 切克兰德的“调查学习”软方法的核心不是寻求“最优化”，而是“调查、比较”或者说是“学习”，从模型和现状比较中，学习改善现存系统的途径。1.不不良良结结构构问问题题提提出出2.问问

2、题题的的表表示示3.有有关关系系统统的的基基本本定定义义4.概概念念模模型型4a.公公式式化化系系统统概概念念4b.其其他他系系统统思思考考5.模模型型与与问问题题的的比比较较6.可可行行满满意意解解7.采采取取行行动动改改善善实实际际问问题题现现实实世世界界系系统统思思考考要素物理事理人理道理对象着重点原则需要的知识物质世界、法则、规则的理论客观物质世界是什么？功能分析诚实，真理，尽可能正确自然科学管理和做事的理论组织、系统怎样做？逻辑分析协调，有效，尽可能平滑管理科学，系统科学人、纪律、规范的理论人、群体、人际关系、智慧应当怎样做？人文分析人性，有效果，尽可能灵活人文知识，行为科学要素物理

3、事理人理方法理解意图了解领导最初想法，收集有关领导讲话了解领导对目标的偏好，喜欢什么模型和评价标准了解哪些领导会参加决策，谁来使用这个结果头脑风暴法，讨论分析会，认知图等调查分析通过现场调查和文件检索，分析现有资源和约束条件了解问题背景和有关经验、知识弄清各种关系和必要的知识Delphi法，各种调查表，交叉影响分析，Kj法等形成目标列出所有可行的目标和约束在目标中弄清它们的优先次序和权重弄清各种目标涉及到的人物头脑风暴法，目标树法等建立模型将各种目标和约束数据化和规范化选择适当的模型程序和知识尽量把领导的意图放入模型中各种建模方法和工具协调关系协调所有模型、软硬件、数据的关系，即技术协调协调模

4、型和知识的合理性，即知识协调协调各方面的利益、观点、关系，即利益协调冲突分析、和谐理论、亚对策等提出建议对各种物理设备和程序进行安装、调式、验证将各种术语变为用户能懂和喜欢的语言尽量让各方面易于接受、易于执行各种统计图表等项目为什么应该如何采取什么对策目的对象为什么提出这个问题为什么从此处入手应提什么应找哪个删去工作中不必要的部分时间地点人物为什么在这时做为什么在这里做为什么由此人做应何时做应在何处做应由谁做合并重复的工作内容方法为什么这样做如何去做使工作尽可能科学化 q1q2q3R=q3-q11831(1)tttNxxxM tN 两点假设：预测对象的发展趋势不变；预测对象的发展过程是渐变，而

5、不是突变。1、常用的趋势曲线（1）多项式函数一般形式：2012ktkyaa ta ta t011,tkyaa t线性模型20122,tkyaa ta t二次抛物线模型（2）指数函数0attyy e1、常用的趋势曲线（3）生长曲线（S形曲线）Logistic曲线（皮尔曲线）龚伯茨（Gompartz）曲线1tbtKyaektbetyKe拐点：ln,atb12tyK拐点：ln,btKtKye1、常用的趋势曲线（4）其它曲线()()btttttttyLabbyactyaeyat e修正指数曲线双曲线（另一种指数曲线）2、趋势预测模型的选择 研究五个问题：进行定性分析。（1）时间特征 （2）极值特征 （

6、3）曲线形状 （4）发展阶段 （5）发展速度 利用趋势外推法从事实际预测时，一般可以建立几种不同的趋势模型，然后逐个进行分析比较，来最终选择一个预测模型。3、模型参数的识别（1）最小二乘法 给定时间序列样本数据为：若选定趋势曲线为：则拟合目标是使误差的平方和最小，即：1122(,),(,),(,)nnt ytyty21minmin()niiiQyy其中，(),()itiitiyy ttyy tt01(6 1)ktkyaata t3、模型参数的识别（1）最小二乘法 令210111221222211,1kkknknnnyatttyatttYBTyattt则据 及可以求得使Q最小的B为：1()TTB

7、T TT Y()()TQYTBYTB0QB 设、为同维列向量，B是适当维数的矩阵，则：()(),()()TTTTdddddBBBd 3、模型参数的识别（1）最小二乘法 对一般 的情况，可将式（6-1）分别乘以t、t2乃至t3，再对n个样本点求和，就可分别得到联立方程组。这种方法用于手工计算时，可用简化的方法取t，即取中间时刻 t=0，则方程中的奇数项均可约去。3k 一元线性回归分析是处理因变量y与自变量x 之间线性关系的回归预测法。其数学模型为 y=a+bx (1)其中a、b称为回归系数。首先根据x、y的现有统计数据，在直角坐标系中作散点图，观察y随x而变是否为近似的线性关系。若是，则求出上式

8、中的a、b值，就可确定其数学模型，然后由x的未来变化去求相应的y值。y=a+bxyxa （1）解联立方程组xbxayxxbnayiiiiii2 将式(1)两边分别求和 将式(1)两边分别乘xi再求和求解后得到22(2)(3)iiiiiiinbnibanyyxxxxyx （1）解联立方程组 yxiixynn、利用可将a、b表达为2(4)(5)xyyxiiibxxxiiaybx （2）直接用最小二乘法 使拟合的数值与实际值的总方差为最小，即拟合程度最好，则得两者之差22(6)iiiiiiQiiabxyyyea bxye 总方差 根据极值原理，式(6)对a、b分别求偏导，并令其=0，得222iiii

9、Qiiaaabaaaba bxyyxyx （2）直接用最小二乘法 00(7)iiyabxnabyxiinabyxiibyxiiaybxn2Qiibba byx 即所以在中代入式(7)，得 （2）直接用最小二乘法 222iiiiiiiQyb xxyibbybxbxbybxxyxxyxx 2002(8)iiiixyxxxxyybxxixxyybxxiSS，即令其所以 （2）直接用最小二乘法 Sxx称之为xi的方差和（离差平方和）Sxy称之为xi与yi的协方差和（离差积之和）2yyiixyiiiyxyySyySx222222222()iiiixxSxxxxxxixnxxxixixxxxxin同样 式

10、（1）是一种统计模型，在一定程度上反映了随机变量y与自变量x之间的统计线性相关关系，这种线性相关关系是否密切，决定了所采用的线性预测模型在多大程度上可信。这可以通过y与x的相关系数rxy的大小来确定。1(9)xyxyxyxxyySrrs s 查相关系数表，若计算得到的|rxy|表中相应的数字r临界值，表示x、y之间存在着线性相关，此时预测模型可以用。r临界值是对不同的样本n，在两种置信度95%、99%下的相关系数的临界值，即r临界值与样本容量n、以及所要求的置信度1-（给定的显著水平）有关。r临界值可以查数学手册获得。时间序列的四种变动形式：趋势变动T，季节变动S，循环变动C，不规则变动I。趋

11、势变动是指时间序列因受持续同性质因素影响，表现出持续上升或下降的总变化趋势时，其连续两期稳定的变化程度。季节变动通常是指由于自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而发生的周期性变动。有季节性和趋势性复杂时间序列的分解：n 基本值Ut：是基本的也是平均的数据值，需要根据季节性和趋势做出调整。n 趋势Tt：反映时间序列的长期变动趋势的调整值。例：yt=100，yt+1=120，则Tt=20；yt=100，yt+1=80，则Tt=-20；n 季节性指数Sn：反映时间序列围绕基本趋势而周期性变动的调整数值，n表示每一循环中的第n期。n 不规则变动It：代表随机干扰，无法预测。非季节性

12、值季节性值季节性指数 有季节性和趋势性时间序列的预测模型：yt+1=(Ut+Tt)Sn 运用该模型预测的步骤：n 消除观测统计数据的季节性，求出基本值，然后运用指数平滑法得到平滑的基本值。n 求出每期的趋势值，然后运用指数平滑法得到平滑的趋势值。n 求出每期的季节性指数，然后运用指数平滑法得到平滑的季节性指数。n 利用预测模型得到预测值。一、JMP的特点：与同类型软件相比，JMP具有以下特点：用生动的图形甚至动画帮助展示分析结果。集成的统计分析工具，不仅包含了回归、列联表、假设检等所有常用的统计分析技巧，还包括决策树、神经网络、时间系列等统计分析工具。分析速度快。试验设计（DOE）功能 JMP

13、支持30多种数据格式，包括txt、html、xls、dat、sd7、mdb、dbf等，还能自动链接数据库获取实时数据。二、JMP中的回归分析回归分析支持四种类型，包括：当自变量和因变量均为连续值时，进行回归分析；当自变量和因变量为记名值或保序值时，进行分类分析；当自变量为记名值，因变量具有连续值时，进行方差分析；当自变量为连续值，因变量为记名或保序值时，进行逻辑斯蒂回归。三、JMP中的时间序列分析时间序列模拟一系列观测值随时间变化的过程，其时间序列分析支持时间序列图、自相关分析、偏自相关分析、方差变化表、谱密度、ARIMA模型、季节ARIMA模型、平滑模型与预测等。1、评价指标体系的组成n政策

14、性指标；n技术性指标；n经济性指标；n社会性指标；n资源性指标；n时间性指标；2、指标体系制定中的几个关系n指标的大类和数量问题；n各评价指标之间的相互关系问题；n评价指标体系的提出和明确问题；利用多名专家的经验和感觉，按给定的记分制对不同方案打分，再计算每个方案的平均分即可。每个方案的得分值也可以按比例转化为百分制、10分制、5分制等，此时得分最高者取满分。还可以计算每个方案的“得分系数”，作为衡量方案优劣的数量标准：1jjnjjFfF 将方案两两比较打分，然后对每一方案得分求和，并进行百分化等处理，得分较高的方案就是最优方案，属于经验评分法。01打分法 将n种方案排成n阶方阵，其元素 ai

15、j=1，当方案i优于方案j aij=0，当方案i劣于方案j aij为空白，方案i与方案j相当 设方案Ai的指标因素Fj的得分（或得分系数）为aij，则可将aij排列为评价矩阵如下：指标因素指标因素Fj F1 F2 Fn综合评价值综合评价值权重权重j j 1 1 2 2 n n方方案案AiA1A2Am a a1111 a a12 12 a a1n1n a a2121 a a22 22 a a2n2n a am1m1 a am2 m2 a amnmn1、加法规则、加法规则2、乘法规则、乘法规则=1,1,2,.,nijijja im101,1njjj1,1,2,.,jniijjaimnjijjia1

16、lglg 设系统有n项评价指标 ，其中有些越大越好，有些越小越好，其它则要求适中。为了方便统一处理，为这些指标赋以一定的功效系数 ，一般 。根据上述对评价指标的不同要求，函数 相应有不同形态。把单项评价指标转化为功效系数后，可以用一个总的功效系数作为综合评价值，该值越大越好。12nnDd dd功效系数法利用了加权平均法的乘法法则。1()f x()iidx()ixid2()fx()nfx 给定评价指标因素（着眼点）的有限集合 和评语的有限集合12,.,nUu uu12,.,mVv vv则相对某一单项评价因素u1而言，评价结果可以用评语集合V这一论域上的模糊子集 来描述：11122/./mmBvv

17、v并简记为向量形式112,.,mB 对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V这一论域上的模糊子集，记作 。B1122/./mmBbvbvbv简记为m维向量形式12,.,mBb bb其中bj为V中相应元素的隶属度，且 。实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，评价因素集合实际也是论域U上的模糊子集，记作 。1122/./nnAauauau简记为n维向量形式12,.,mAa aaA0,1,1,2,.,jbjm其中ai为U中相应元素的隶属度，且 。10,1,1niiiaa 一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合U这一论域上的一个模糊集合 经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个模

18、糊集合 ，即ABBA R 上式即模糊综合评价的数学模型。其中1,2,.,1,2,.,ijinrjm其元素种评语的可能程度。模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系。BAR模糊综合评价的结果，是一m 维模糊行向量。模糊评价因素权重集合，是一n维模糊行向量。从U到V的一个模糊关系，是一个 矩阵。表示从第i个因素着眼，做出第jn m1、因素集U 因素是指人们考虑问题时的着眼点，对评定科技成果来讲，人们关心的是其水平、可行性、效益等方面，这里我们的指标集U=技术水平，成功概率，经济效益。2、评价集V 为了简化运算，取评价集V=大，中，小或V=高，中，低。3、确定权重集A 一般用如下几种方法来确定：（1

19、）评价专家共同讨论；（2）两两对比法；（3）层次分析法；4、专家评价通常可采用民意测验方法来采集专家的评价意见。在介绍问题的有关背景、数据和情况的基础上，由专家们对反应问题因素进行模糊评价。5、建立单因素评判矩阵 某一因素的评价结果 表示从第 个因素出发，对被评价问题作出第 种评语的可能程度。固定 ，就是从 种因素出发，对评价对象所作的单因素评价模糊子集，多种因素的评价模糊子集可构成一个评价矩阵R。6、综合评价对于评价对象，模糊综合评价结果为(,1,2,3,)ijr i j iji12(,)iimr rriBA R清华大学质量管理的专家、学者在ACSI模型的基础上建立了中国顾客满意度指数（CC

20、SI）模型，模型中共有感知质量、预期质量、形象、感知价值、顾客满意度、顾客抱怨、顾客忠诚七个潜在变量。清华大学提出的CCSI模型1、结构方程模型的基本原理介绍结构方程模型由结构模型和测量模型两部分构成。(1)结构模型描述的是潜在变量之间的关系，其矩阵表达式如下：式中：内生潜变量；外生潜变量；内生潜变量的关系；外生潜变量对内生潜变量的影响；模型中未能解释部分。xyXY xy()min()100max()min()ECSI1min()min()niiix1max()max()niiix设已知n只西瓜的重量总和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，Wn，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的判断矩阵A

21、：A W1/W1 W1/W2 W1/WnW2/W1 W2/W2 W2/Wn .Wn/W1 Wn/W2 Wn/Wn(aij)nn显然aii=1，aij=1/aji，aij=aik/ajk(i,j,k=1，2，n)AW W1/W1 W1/W2 W1/WnW2/W1 W2/W2 W2/Wn Wn/W1 Wn/W2 Wn/Wn nW即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A对应于特征根n的特征向量的各个分量。如果通过西瓜的两两比较能够得到判断矩阵A，就可以推导出西瓜的相对重量，因为在判断矩阵A具有完全一致性的条件下，通过解特征值问题 AW=max W求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），就可以得到

22、n只西瓜的相对重量。W1W2WnnW1nW2 nWn同样，对于复杂的社会、经济、科技等问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。使用AHP，判断矩阵A的一致性很重要，但要求所有判断都有完全的一致性是不大可能的，因此，一般只要求A具有满意的一致性，此时max稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近于零。这时，基于AHP得出的结论才基本合理。为了使所有判断保持一定程度上的一致，AHP步骤中需要进行一致性检验。1)建立层次结构模型2)构造判断矩阵3)层次单排序4)层次总排序5)一致性检验经历五个步骤此三步需要逐层地进行，并要检验一致

23、性将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系，如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。准则层C目标A准则C1准则C2准则C3方案P1方案P2方案P3方案P4方案P5目标层A方案层P判断矩阵是针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性的数量表示。这是将定性判断转变为定量表示的一个过程。设A层中因素Ak与下一层B中的因素B1,B2,Bn有关，则构造的判断矩阵如下表AkB1B2BnB1B2.Bnb11b12.b1nb21 b22.b2n.bn1bn2.bnn其中bij通常取为1,2,3,9及它们的倒数，其含义是：bij=1,表示Bi与Bj一样重要；bij=3,表示Bi

24、比Bj重要一点（稍微重要）；bij=5,表示Bi比Bj重要（明显重要）；bij=7,表示Bi比Bj重要得多（强烈重要）；bij=9,表示Bi比Bj极当重要（绝对重要）。它们之间的数2,4,6,8及各数的倒数具有相应的类似意义。根据判断矩阵，计算对于上一层次某因素而言，本层次与之有关的因素的重要性次序的权值。层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题。即对判断矩阵B，计算满足 BW=maxW的特征根与特征向量，W的各个分量Wi即是相应因素单排序的权值。为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI CI=max nn1为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均一致性指

25、标RI进行比较，RI可从下表查得：阶数RI1234567890.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.321.41 1.45 只有当随机一致性指标 CR=0.10 时，判断矩阵才具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。CIRI利用单排序的结果，可以综合计算出最底层（方案层）相对于最高层（目标层）的重要性顺序的组合权值。C层因素C1、C2、C3对A层目标的单排序 结果为a1、a2、a3假设已知 P层因素P1、P2、P3对 的单排序 结果为C1C2C3b11、b21、b31 b12、b22、b32b13、b23、b33则综合计算P1、P2、P3相对于A的总排序结果可用

26、下表表示：C对对AP对对CC1C2.Cma1a2.amP1P2.Pnb11b12.b1mb21b22.b2m.bn1bn2.bnmP层次的总排序层次的总排序 .m i=1aibnimi=1aib2i i=1 maib1i为评价总排序的计算结果的一致性，需要计算与单排序类似的检验量。同样，当CR 0.1时，我们认为层次总排序具有满意的一致性，其结果可提供决策者参考。1miiiCIaCI1miiiRIa RICICRRIAHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征根 max及其对应的特征向量W。幂法是一种适合机算的方法，可以达到任意的精确度。计算步骤如下：（1）任取与判断矩阵A同阶的正规化初始向量

27、W0；（2）计算 k+1=AWk，k=0,1,2,；（3）将 k+1正规化，得到新的特征向量W k+1,k=0,1,2,；（4）对于预先给定的精度，当|Wik+1-Wik|对所有 i=1,2,n成立时，则W=W k+1 即为所求特征向量，ikininWW11maxWW为了简化，可采用和积法近似计算，并可保证足够的精确度。计算步骤如下：（1）将判断矩阵每一列正规化；（2）每一列正规化后的判断矩阵按行相加得向量 ；（3）将 正规化，即得所求特征向量W；（4）计算判断矩阵最大特征根 WWiininWAW)(1max为简化计算，也可采用方根法近似计算，步骤如下：（1）将判断矩阵的元素按行相乘；（2）所

28、得的乘积分别开n次方；（3）将方根向量正规化，即得所求特征向量W；（4）计算判断矩阵最大特征根 iininWAW)(1max目标层A合理使用企业留成利润准则层CC1:调动职工生产积极性C2:提高企业的技术水平C3:改善职工物质文化生活状况方案层P P1:发奖金P2:扩建集体福利设施P3:办业余学校P4:建图书馆、俱乐部P5:引进新设备例1：（1）判断矩阵A-C 相对于总目标A而言，各着眼准则的相对重要性比较。设该厂确定的原则是：评价方案的原则首先要着眼于提高企业的技术水平(C2)其次是改善职工的物质文化生活(C3)再次是调动职工的生产积极性(C1)AC1C2C3C1C2C31 1/5 1/35

29、 1 33 1/3 1正规化正规化C1AC2C3 C3C1C20.1111 0.1304 0.0769 0.5556 0.6522 0.69230.3333 0.2174 0.2308W0.1060.6340.26013/133153/15/110.1060.6340.2600.3191.9440.789=max1 0.3191.9440.7893 0.1060.6340.26013.0093.0663.03533.037max3.03730.019120.580.0190.0330.10.58nCInRICICRRI查表：可见，判断矩阵AC具有满意的一致性。（2）判断矩阵C1 P 相对于调动

30、职工生产积极性的准则C1而言，五种可供选择的方案之间的重要性比较。设根据该厂的实际情况，大家公认为：从调动积极性看发奖金P1-最重要搞集体福利P2-很重要建图书馆P4-重要办业余学校P3-次要引进新设备P5-更次要C1 P1 P2 P3 P4 P5 W P1 P2 P3P4P5 1 3 5 4 71/3 1 3 2 51/5 1/3 1 1/2 31/4 1/2 2 1 31/7 1/5 1/3 1/3 1max5.130 0.0325 1.120.0290.1CIRICR0.4870.2310.0960.1380.047（3）判断矩阵C2 P设根据该厂的实际情况，大家确定：从提高企业技术水平

31、看办业余学校P3-最重要引进新设备P5-很重要建图书馆P4-重要搞集体福利P2-次要C2P2 P3 P4 P5W P2 P3P4P5 1 1/7 1/3 1/5 7 1 5 3 3 1/5 1 1/3 5 1/3 3 10.0550.5640.1180.263max4.117 0.039 0.900.0430.1CIRICR（4）判断矩阵C3-P设根据该厂的实际情况，大家确定：从改善职工的物质 文化生活看发奖金、搞集体福利比较重要，（即方案P1、P2比较重要）办业余学校、建图书馆相对次要。（即方案P3、P4相对次要）C3P1 P2 P3 P4W P1 P2P3P4 1 1 3 3 1 1 3

32、31/3 1/3 1 11/3 1/3 1 10.4060.4060.0940.094max4 0 0.9000.1CIRICR（5）层次总排序 层次层次C层次层次PC1C2C3层次层次P总总排序权值排序权值方案方案排序排序0.104 0.637 0.258P10.49100.4060.1574P20.232 0.055 0.4060.1643P30.092 0.564 0.0940.3931P40.138 0.118 0.0940.1135P50.046 0.26300.1722可见，层次总排序的计算结果具有满意的一致性。对该企业来说，所提的五种方案中，最优方案为办业余学校，次优方案为引进新

33、设备，次次优方案为搞集体福利事业。10.1040.03250.6370.03900.028miiiCIaCI10.104 1.120.6370.90.258 0.90.923miiiRIa RI0.0280.0300.10.923CICRRI产品产品投入投入限量限量设备设备128台时原材料原材料A4016kg原材料原材料B0412kg12xx、1228xx12416412xx12xx、1223zxx12max23zxx12121228416412,0 xxxxx x12,nx xx1 122max(min)nnzc xc xc x11 11221121 1222221 12212(,)(,)(

34、,),0nnnnmmmnnmna xa xa xba xa xa xba xaxaxbx xx 对策的三要素：u 局中人：有权决定自己行为方案的对局参加者称为局中人。u 策略：对局中一个实际可行的方案称为一个策略。u 赢得矩阵（支付）：当每个局中人在确定了所采取的策略后，其策略组合就形成一个局势，并产生确定的收益或损失称为赢得（支付）。赢得与局势之间的对应关系称为赢得（支付）函数。根据参加对策的局中人的数目，可以将对策分为二人对策和多人对策，局中人为二人的称为二人对策。根据局中人可供选择的策略的有限或无限，可将对策分为有限对策和无限对策。根据各局中人赢得值的代数和（赢者为正，输者为负）是否为零

35、，将对策分为零和对策与非零和对策。设两个局中人为I、II，局中人I有m 个策略：；用S1表示这些策略的集合：同样，局中人II有n个策略：,用S2表示这些策略的集合：12,m 12,n 112,mS 212,nS 局中人I的赢得矩阵是：局中人II的赢得矩阵是 。把一个对策记为 。12,;GS SATA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 在局中人I设法使自己的赢得尽可能大的同时，局中人II也设法使局中人I的赢得尽可能小。所以局中人I应首先考虑用 策略所能赢得的最小，然后在这些最小赢得中选择最大。局中人I可以保证赢得同样，局中人II可以保证局中人I的赢得不超过 maxminij

36、jiaminmaxijjia1、混合策略定义定义7-1：对给定的矩阵对策若等式成立，则称这个公共值为对策G的值，记为VG，而达到的局势 称为对策G在纯策略意义下的解，记为而和分别称为局中人I和局中人II的最优纯策略。12,;GS SAmaxminminmaxijijjjiiaa(,)ij*(,)ij*i*j定理7-1：矩阵对策在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在一个局势 ，使得对一切 均有 12,;GS SA*(,)ij1,2,1,2,im jn*iji ji jaaa定理7-1表明矩阵对策有解的充分必要条件是在A中存在元素 是其所在行中最小的同时又是其所在列中最大的。这时 即是对策值，因

37、此 也称为“鞍点”，而 为对策的解。12,;GS SA*i ja*i ja*i ja*(,)ij 对矩阵对策 而言，局中人I有把握的至少赢得是 ，局中人II有把握的至多损失是 。局中人I的赢得不会超过局中人II的损失，即总有 。仅当 时，矩阵对策G存在纯策略意义下的解，且 。但实际更多的情况是 ，此时不存在纯策略意义下的解。ijji1aminmaxv ijij2amaxminv 12,;GS SA12vv12vv12GVvv12vv例如，假设赢得矩阵为：4563A1,5amaxminv*ijij2j2,4aminmaxv*ijji1i 对两个局中人来说，不存在一个双方均可接受的平衡局势，对策没

38、有纯策略意义下的解。一种较合乎实际的想法是给出一个选取不同策略的概率分布。定义7-2:对给定的矩阵对策其中 把纯策略集合对应的概率向量 其中 和 其中分别称为局中人I和局中人II的混合策略。12,;GS SA112,mS 212,nS()ijm nAa12(,)mXx xx01iixx12(,)nYy yy01jjyy如果局中人I选取的策略为局中人II选取的策略为 ，则期望值称为局中人I的期望赢得，而局势（X，Y）称为“混合局势”，局中人I，II的混合策略集合记为 。12(,)mXx xx12(,)nYy yy(,)TiijjE X Yx a yXAY*12,SS定义7-3:设 是对策G的混合

39、扩充，如果有则称这个公共值为对策G在混合意义下的值，记为 ，而达到 的混合局势 称为对策G在混合策略意义下的解，而 和 分别称为局中人I，II的最优混合策略。*12,;GSSE*2211maxmin(,)minmax(,)Y SY SXSXSE X YE X Y*GV*GV*(,)XY*X*Y定理7-2：任意一个给定的矩阵对策在混合策略意义下一定有解。矩阵对策的解可能不只一个，但对策值是唯一的。2、优超原则 在局中人I的纯策略中，假设存在 和 ，如果对局中人II的一切纯策略，都有 ，即局中人I的赢得矩阵的第l行元素不小于第k行对应的元素，则局中人I的纯策略 优于 ，局中人I选择 的概率为零，可

40、以去掉赢得矩阵的第k行。同理，在局中人II 的纯策略中，假设存在 和 ，如果对局中人I的一切纯策略，都有 ，则局中人II的纯策略 优于 ，局中人II选择 的概率为零，可以去掉赢得矩阵的第k列。k1kjijaa1kkk1ikilaa1kk例7.4.3：设某矩阵对策的赢得矩阵为388065.57864959379520503023A试利用优超原则简化该矩阵。解：经4步后最终可化为二阶矩阵64374A3、没有鞍点的矩阵对策的解法 2*2 矩阵对策的公式解法定理7-3：对给定的矩阵对策如果A无鞍点，则局中人I的最优混合策略 ，局中人II的最优混合策略 和对策值 由下列公式给出：令 122*2,;,()

41、ijGS SAAa*12(,)Xx x*12(,)Yyy*GV11221221Daaaa*1222121112*122122112111221221()/()/()/()/()/GxaaDxaaDyaaDyaaDVa aa aD上述公式来源于以下两个方程组：0 x,x1xxVxaxaVxaxa2121G222112G2211110y,y1yyVyayaVyaya2121G222121G212111在人们的日常生活或企业组织的经营管理中，经常会遇到一些决策问题，它包括下列要素：1、自然状态，描述了决策问题所处的各种状态；2、行动方案，解决决策问题，决策者可采取的行动；3、后果，是决策者采取了某一

42、行动方案后可能获得的结果；4、效能，是客观结构在决策者心中的价值。决策问题通常有两种描述和解决方法，一种是决策矩阵法，一种是决策树方法。状态概率状态方案决 策12imAAAA12jnSSSS12()()()()jnP SP SP SP S1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa益损期望值E(A)12imEEEEAAAA maxrE AAE(A)叫做决策空间；12,nSS SS叫做状态向量；12(),(),()nP SP SP S同样设有m个行动方案A1,A2,Am，写成集合为12,mAA AA对风险型决策问题，假定它们是随机变量，其发生的

43、概率分别用 表示，由于发生这类事件的可能性是相互排斥的，又是相互独立的事件，故有表中主要部分是在各自然状态下决策者采取行动方案的后果。12()()()1nP SP SP S 决策树是一种形象的说法，如下图所示。它所伸出的线条像大树的树干和树枝，整个图形就像一棵大树。自然状态点自然状态点123决策点概率枝概率枝概率枝结果点结果点结果点结果点方案分枝方案分枝修枝概率枝 图中左边的方块叫决策点，由它画出若干线条，每条线代表一个方案，叫方案分枝。方案分枝的末端画个圆圈，叫做自然状态点。从它引出的线条代表不同的自然状态，叫概率枝。在概率枝的末端画个三角，叫做结果点，在结果点旁，一般列出不同自然状态下的收

44、益或损失值。决策树的画图是从左至右逐步完成的。应用决策树来作决策的过程，是从右至左逐步后退进行分析的。根据右端结果点旁的益损值和概率枝上的概率，计算出每个自然状态点上的益损期望值，然后根据不同方案分枝末端的益损期望值结果作出选择。方案的舍弃叫做修枝，被舍弃的方案用在方案分枝上做“”的记号来表示（即修剪的意思）。最后在决策点留下一条方案分枝，即为最优方案。决策树法的优点 （1）可以构成简单、明了、清晰的决策过程，使决策者有步骤、有顺序地进行决策；（2）直观、形象，可使决策者以科学的逻辑推理去周密地思考各种有关因素；（3）便于集体决策，集思广益，集中群众智慧和统一不同意见，同时也很适合于向上级领导

45、机关汇报决策过程和结果。在风险决策问题中，自然状态的发生概率一般是根据过去的资料和经验估计的，其估计结果是否准确直接影响着决策效果。概率估计的准确程度取决于所掌握情报资料的多少和详细程度，但是为了获取情报，需要进行调查研究等活动，要消耗人财物力。因此需要权衡是否需要再作调查或试验，以及需要投入多少人力和财力去获取新的情报。这是一类复杂的决策问题，涉及统计决策中的先验概率和后验概率。贝叶斯决策法就是运用概率论中的贝叶斯定理解决这类问题的方法。贝叶斯决策是在已知自然状态先验概率的情况下，通过抽样调查，利用贝叶斯公式修正先验概率，进而取得后验概率，并据此进行决策的。设A、B为两个随机事件，它们发生的

46、概率分别为P(A)、P(B)，P(AB)表示A、B同时发生的概率。所谓条件概率是指在事件B发生的前提（条件）下，A发生的概率，记为P(A|B)。()(|),()(|)()()P ABP A BP ABP A BP BP B()(|),()(|)()()P ABP B AP ABP B AP AP A或而根据全概率公式11()(|)()()nniiiiiP AP A B P BP AB可以得到贝叶斯定理表达式：1(|)()(|)(|)()ijjjinijjjP A B P BP BAP A B P B 上式说明，已知事件 发生的概率和 发生条件下 发生的概率，就可以求得在事件 发生的前提下，发生

47、的概率。jBjBjBiAiA对完全不确定型决策问题，获得了有关情报资料后就易于把问题转化为风险型决策问题。而对于风险型决策问题，获得的情报（信息）越多，对自然状态发生概率的估计就越准确，作出的决策就越合理。但为了获得情报，就要进行调查、试验等工作，这需要支付一定费用。因此，为了权衡得失，有必要估算情报本身的价值。在多目标决策问题中，由于不能简单比较两个解的优和劣，所以就有劣解和非劣解两个重要概念。现用一直线坐标描述 和 两个目标（极大化）的大小，得到5个点（见9-1图），显然点都比点为优，故为劣解，在多目标决策中应舍去。而三点各有一个指标优越，故不能舍去，称之为非劣解，也叫有效解。处理多目标决

48、策问题，要先找出非劣解，然后再按一定规则从中选取满足要求的，作出最后决策。1f2f图9-1 多目标决策1、以少胜多的方法“以少胜多”的主要目的是将多目标化成单目标问题处理，目前主要有以下几种方法：（1）主要目标法。通过对实际问题的分析，抓住其中一两个主要目标，让它们尽可能优化，而其他指标只要满足一定要求即可。这种方法比较有效。（2）线性加权法。若有m个目标 ，分别给以权系数 ，然后作新的目标函数（也称有效函数）。这种方法的难点是如何找到合理的权系数，使多个目标用同一尺度统一起来，同时所找到的最优解又是向量极值的好的非劣解。1(),()mf xfx(1,2,)iim1()()miiiU xf x

49、2、层次序列法由于同时处理m个目标比较麻烦，故可采用层次序列法。层次序列法的思想是把目标按其重要性给出一个序列，分别为最重要目标、次要目标等。设给出的重要性序列为 ，下面介绍逐个求最优化地序列最优化。首先对第一个目标求最优，并找出所有最优解的集合记为 ,然后在 求第二个目标的最优解，记这时的最优解集合为 ，如此等等，一直到求出第 个目标的最优解 ，其模型如下：该方法有解的前提是 非空，同时 都不能只有一个元素，否则很难进行下去。1(),()mf xfx0R0R1Rm0 x0011()max()x RRf xf x10022()max()x RRfxfx120()max()mmmmx RRfxf

50、x011,mR RR012,mR RR1、Precision Tree软件 PT软件是作为Excel的“add-in”运行的，它链接到Excel并为其提供决策分析能力，因为只要熟悉Excel的操作方式，皆可以熟练操作PT。PT对决策树的规模没有限制，并在Excel工作薄的多个工作表中设计一个决策树，它所支持的节点类型包括：机会节点、决策节点、终端节点、逻辑节点和参考节点。PT中所有的计算可以实时进行，即随着用户编辑树模型，所有的结果会重新自动计算出来。2、Crystal ball 软件 CB的主要功能包含敏感度分析、相关性分析、tornado分析、精确控制及历史数据的分配等。使用CB进行决策分