建筑工程之结构力学讲义两个自由度体系的自由振动(参考2)课件.ppt
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- 建筑工程 结构 力学 讲义 两个 自由度 体系 自由 振动 参考 课件
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1、10)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk(1 1)主振型)主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYYm1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率:圆频率:12第二圆频率第二圆频率0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程14-4 14-4 两自由度体系的自由振动两自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法201122221212122111mmmmD令2121211222112222111222
2、11121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY二、柔度法二、柔度法0)()(2121122122112221112mmmmmm3三、主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym21221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理:由功的互等定理:整理得:整理得:m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ,则存在:,则存在:)51.15(02221212111YYm
3、YYm两个主振型相互正交,因与质量有关,称为第一正交关系。两个主振型相互正交,因与质量有关,称为第一正交关系。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型4由功的互等定理:由功的互等定理:2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分别乘以上式分别乘以12、22,则得:,则得:0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零;第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零;第二主振型惯性力在第一
4、主振型位移上所做的功等于零;第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零;某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功,其能量某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功,其能量不会转移到其它主振型上,不会引起其它主振型的振动;不会转移到其它主振型上,不会引起其它主振型的振动;各个主振型能单独存在,而不相互干扰。各个主振型能单独存在,而不相互干扰。514-5 14-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳阶段,各质点也作简谐振动:在平稳阶段,各质点也作简谐振动:tYt
5、ytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk0222221121211mkkkmkDY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD如果荷载频率如果荷载频率与任一个自振频率与任一个自振频率1、2重合,则重合,则D0=0,当当D1、D2不全为零时,则出现共振现象不全为零时,则出现共振现象121121122PkmkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtP62222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD1211211
6、22PkmkPDm2m1k2k1例:质量集中在楼层上例:质量集中在楼层上m1、m2,层间侧移刚度为,层间侧移刚度为k1、k2解:荷载幅值:解:荷载幅值:P1=P,P2=0,求刚度系数:,求刚度系数:k11=k1+k2,k21=k2 ,k22=k2,k12=k2当当m1=m2=m,k1=k2=ktPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD021222221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202
7、kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1(22221222212m)1)(1(222212222mkm)1)(1(122221221kmkPY)1)(1(12222122kPY7121)1)(1(1222212kmkPY22)1)(1(1222212kPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk两个质点的位移动力系数不同。当当2121,618.1618.0YYmkmk和
8、时和 趋于无穷大。趋于无穷大。可见在两个自由度体系中,在两种情况下可能出现共振。可见在两个自由度体系中,在两种情况下可能出现共振。也有例外情况也有例外情况8l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与与2 2相应的振型是相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当当=2 ,D0=0,也有:,也有:212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不会趋于无穷大,不发生共振,不会趋于无
9、穷大,不发生共振,共振区只有一个。共振区只有一个。对称体系在对称荷载作用下时,对称体系在对称荷载作用下时,只有当荷载频率与对称主振型的自只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振;当荷载振频率相等时才发生共振;当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知:对等时不会发生共振。同理可知:对 称体系在反对称荷载作用下时,只称体系在反对称荷载作用下时,只 有当荷载频率与反对称主振型的自有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。振频率相等时才发生共振。9kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力荷载幅值产生的
10、静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力层间剪力:Qst1=P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1)(1()(2122121kmPYYmPQ121)1)(1(1222212kmkPY22)1)(1(1222212kPY)(12121kmQ由此可见,在多自由度体系中,没有一个统一的动力系数。由此可见,在多自由度体系中,没有一个统一的动力系数。层间动剪力层间动剪力:10例例14-9:m2m1k2k1质量集中在楼层上质量集中在楼层上m1、m2,层间侧移刚度为层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=k2 ,k22=k2,k12=k2tPsi
11、n02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkDYmk当m1k1tPsinm2k2这说明在右图结构上,这说明在右图结构上,适当加以适当加以m2、k2系统系统可以消除可以消除m1的振动(的振动(动力吸振器动力吸振器原理)。原理)。吸振器不能盲目设置,必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。吸振器不能盲目设置,必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时,先根据设计吸振器时,先根据m2的许可振幅的许可振幅Y2,选定,选定22YPk,再确定,再确定222km 11例:如图示梁中点放一电动机。重例:如图示梁中点放一电动机
12、。重2500N,电动机使梁中点产生,电动机使梁中点产生的静位移为的静位移为1cm,转速为,转速为300r/min,产生的动荷载幅值,产生的动荷载幅值P=1kN,问:问:1)应加动力吸振器吗?)应加动力吸振器吗?2)设计吸振器。)设计吸振器。(许可位移为许可位移为1cm)Psint解:解:1 1)sstg13.3101.081.9sn14.31603002602频率比在共振区之内应设置吸振器。频率比在共振区之内应设置吸振器。2 2)由)由k2m222YPk 弹簧刚度系数为:弹簧刚度系数为:5210101.01000kN/m252224.31101km=102 kg12lldxxYxmtdxvxm
13、T022202)()()(cos21)(2114-9 14-9 近似法求自振频率近似法求自振频率1 1、能量法求第一频率、能量法求第一频率Rayleigh法法 根据能量守恒定律,当不考虑阻尼自由振动时,振动体系在任何时刻的动根据能量守恒定律,当不考虑阻尼自由振动时,振动体系在任何时刻的动能能T 和应变能和应变能U 之和应等于常数。之和应等于常数。根据简谐振动的特点可知:在体系通过静力平衡位置的瞬间,速度最大(动根据简谐振动的特点可知:在体系通过静力平衡位置的瞬间,速度最大(动能具有最大值),动位移为零(应变能为零);当体系达到最大振幅的瞬间能具有最大值),动位移为零(应变能为零);当体系达到最
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