差分方程建模课件.ppt

1、差分方程模型 对于k阶差分方程 F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (4-6)若有xn=x(n),满足 F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.若x0,x1,xk+1已知，则形如 xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(4-6)的解，即 F(n;a,a,a)=0,则称 a是差分方程(4-6)的平衡点平衡点.又对差分方程(

2、4-6)的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有 xna(n),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中a,b为常数，且a-1,0)的通解为 xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.二阶常系数线性差分方程 xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时，它有一特解 x*=0；当r 0，且a+b+1 0时，它有一特解 x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程?2+a?+b=0 的两个根分别为?=?1,?=?2.当?1,?2

3、 是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn=x*+C1(?1)n+C2(?2)n;当?1,2=?是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn=x*+(C1+C2 n)?n;当?1,2=?(cos?+i sin?)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn=x*+?n(C1cosn?+C2sinn?).易知，当且仅当特征方程的任一特征根|?i|1时,平衡点x*是稳定的.则 对于一阶非线性差分方程 xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程 x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxn

4、n?1|*)(|?xf时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同.因此 当 时,x*是稳定的；当 1|*)(|?xf时,x*是不稳定的.当 1|*)(|?xf 例 求解两阶差分方程 tyytt?2解 对应齐次方程的特征方程为 012?，其特征根为 i?2,1?，对应齐次方程的通解为 tCtCyt2sin2cos21?原方程有形如 bat?的特解。代入原方程求得 21?a，21?b，故原方程的通解为 21212sin2cos21?ttCtC?在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对 差分方程(1),

5、若不论其对应齐次方程的通解中任意常 数C1,Cn如何取值,在 时总有 ,则称方程(7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不稳定 的.根据通解的结构不难看出,非齐次方程(1)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小 于1。?t0?ty表8.1 中国人民银行贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 表8.2上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660 表8.3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上

6、 月还款（元）到期 一次还清 444.36 305.99 237.26 196.41 本息总和（元）10612.00 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71 表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？问题 表8.2的制定 1。确定本银行贷款期限等级，不必与央行完全一致。2。根据本银行利率低于（至少不高于）央行利率的原则，确定本银行贷款期限最低与最高等级的利率。3。依据某种原则（如随时间呈等差数列），确定本银行 其它贷款期限的利率。表8.3的制定 模型假设模型假设 1.以商业贷款10000元为例,贷款采取逐月归还方式偿还 3.月利率采用

7、将对应年利率平均方式计算 2.不得提前或延期还贷，即在贷款期限最后一个月还清 设n年期贷款年利率为R，月利率为r，共贷款A0元，贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元。模型建立?11,12kkRAr Am r?kN?0111,kkkrAArmkNr?模型求解 120nA?12012111nnrArmr?模型分析 按月还款与按年还款哪种对贷款者更有利？?0111nnRARmR?按年还款按年还款年还款额 按月还款 与按年还款总还款额之比?12111121111nnRnmnmr?d(1)dmyyrytN?1(1),1,2,nnnnmyyyrynN?2 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长

8、模型(Logistic 模型)t?,y?Nm,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式 y(t)某种群 t 时刻的数量(人口)yn 某种群第n代的数量(人口)若yn=Nm,则yn+1,yn+2,=Nm 讨论平衡点的稳定性，即 n?,yn?Nm？y*=Nm 是平衡点 1,/(1),()(1)nnmbr xryr Nf xbxx?记1(1)(1)nnnnmyyyryN?离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 1(1)1(1)nnnmryryyrN?1(1)()1,2,(2)nnnnxbxxf xn?一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y*=Nm 变量代换(2)的平衡点 brrx111*?)21

9、()(*xbxf?1)(*?xf0 yxxy?)(xfy?4/b*x2/11)1()(xbxxfx?平衡点 bx11*?稳定性 31?b2/1/11*?bx*nxx?（单调增）0 x1x1x2xx*稳定 21)1(?b*()13fxb?x*不稳定 另一平衡点为 x=0 1)0(?bf不稳定 b?2讨论讨论 x*的稳定性的稳定性 3)3(?b0 1/2 1 y4/bxy?)(xfy?0 x1x*x2xx32)2(?b2/1/11*?bx*nxx?（振荡地）y0 xxy?)(xfy?0 x1x2x*x2/11 4/b*nxx?1(1)nnnxbxx?初值 x0=0.2 数值计算结果 bx11*?b

10、 3.57,不存在任何收敛子序列 混沌现象 4倍周期收敛 1()(1)nnnnxf xbxx?的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象 b 3.汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营?一家汽车租赁公司在 3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1；在B市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为 0.2,0.7,0.1；在C市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将N辆汽车按一定方式分配到 3个城市，建立运营

11、过程中汽车数量在 3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。模型及其求解：模型及其求解：?记第k个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k),容易写出第k+1个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量为（k=0,1,2,）?)(6.0)(1.0)(1.0)1()(3.0)(7.0)(3.0)1()(1.0)(2.0)(6.0)1(321332123211kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkx记向量x(k)=x1(k),x2(k),x3(k)T，矩阵?6.01.01.03.07.03.01.02.06.0A?,2,1,0),()1(?kkAxk

12、x给定初始值x(0)，可以计算各个租赁期3个城市汽车数量的变化。模型分析模型分析?猜想：时间充分长以后3个城市的汽车数量趋向稳定，并且稳定值汽车的初始分配无关。为了证实该猜想，记稳定值为x，由x应满足 表明矩阵A的一个特征根 l=1，且x是对应的特征向量。MATLAB演示计算：?初始分配：城市1：200，城市2：200，城市3：200；计算并作图，程序如下：?A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;?x(:,1)=200,200,200;%赋初值?n=10;?for k=1:n?x(:,k+1)=A*x(:,k);%迭代计算?end?round(x),?k=

13、0:10;?plot(k,x),grid,012345678910100150200250300 x1(k)x2(k)x3(k)4.动物养殖问题?养殖场养殖一类动物最多 3年（满三年的将送往市场卖掉），按一岁、二岁和三岁将其分为三个年龄组。一岁组是幼龄组，二岁组和三岁组是有繁殖后代能力的成年组。二岁组平均一年繁殖 4个后代，三岁组平均一年繁殖 3个后代。一龄组和二龄组动物能养殖成为下一年龄组动物的成功率分别为 0.5和0.25。假设刚开始养殖时有三个年龄组的动物各1000头，试计算（1）一年后、二年后、三年后各年龄段动物数量。（2）五年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？（3）如果每年平均向市

14、场供应动物数c=s s sT，考虑每年都必须保持有每一年龄的动物前提下，c应取多少为好？是否有最佳方案？模型建立：模型建立：?由题设，在初始时刻一岁、二岁、三岁的动物数量分别为：?X1(0)=1000,X2(0)=1000，X3(0)=1000?以一年为一时间段，则某时刻三个年龄段的动物数量可用向量 X=x1 x2 x3T 表示。用向量 X(k)=x1(k)x2(k)x3(k)T表示第k个时间段动物数分布。建立数学模型如下?)(2)1(3)(1)1(2)(3)(2)1(125.05.034kkkkkkkxxxxxxx?由此得向量X(k)和X(k+1)的递推关系式 X(k+1)=LX(k)MAT

15、LAB程序设计 1.由初始数据计算一年后、两年后、三年后动物数量，MATLAB程序如下 x0=1000;1000;1000;L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;x1=L*x0；x2=L*x1；x3=L*x2；x1；x2；x3 x5=L*L*x3；2计算五年内动物数量变化规律?x0=1000;1000;1000;?L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;?X=x0;?x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3);?for k=2:6?X=L*X;?x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3);?end?t=0:5;?bar(t,x),?figure,ba

16、r(t,y)?figure,bar(t,z)三龄组动物五年数量变化直方图三龄组动物五年数量变化直方图 01234500.511.522.53x 104012345010002000300040005000600070008000012345020040060080010001200140016001800?3.如果每年平均向市场出售动物 c=s s s，分析动物数分布向量变化规律可知?X(1)=AX(0)c?X(2)=AX(1)c?X(3)=AX(2)c?X(4)=AX(3)c?X(5)=AX(4)c?所以有?X(5)=A5X(0)(A4+A3+A2+A+I)c?考虑每年都必须保持有每一年龄的动物，应有?X(k)0 (k=1，2，3，4，5)MATLAB程序如下?c=input(input c:=);?x0=1000;1000;1000;?L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;?x1=L*x0-c;?x2=L*x1-c;?x3=L*x2-c;?x4=L*x3-c;?x5=L*x4-c;?x1;x2;x3;x4;x5?程序运行时输入不同的参数c，观察数据计算结果。取c=100时，能保证每一年龄动物数量不为零。