不定积分的概念及性质课件.pptx

1、5.1 5.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质念念原原函函数数与与不不定定积积分分的的概概.一一例如例如 ,cossinxx ,1lnxx 定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，导函数为导函数为)(xf，都有都有),(bax 即对任意即对任意原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （为任意常数）为任意常数）C(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函

2、数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF C（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C证证)()(xGxF CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量例例1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 求求.1dxx 解解 ,1

3、|lnxx .|ln1 Cxdxx不不定定积积分分的的基基本本性性质质二二.:.逆运算逆运算求不定积分与求导互为求不定积分与求导互为性质1性质1.)()()()().dxxfdxxfdxfdxxfa 或或.)()()()().CxFxdFCxFdxxFb 或或性性质质2 2.)()(dxxfadxxfa 性性质质3 3.)()()()(dxxgdxxfdxxgxf 不不定定积积分分的的基基本本性性质质.三三:逆运算逆运算求不定积分与求导互为求不定积分与求导互为性质1.性质1.)()()()().dxxfdxxfdxfdxxfa 或或.)()()()().CxFxdFCxFdxxFb 或或判断下

4、列结论是否正确判断下列结论是否正确若若),()(xgxf )()()(xgxfA )()()(dxxgdxxfB )()()(xdgxdfCCxgxf )()(dxxgdxxf )()(Cxgxf )()()()(xgxf 基本积分表基本积分表.四四xx1)|(ln)4(xxcos)(sin)5(xx)1()()2(1 aaaxxln)()3(0)1(Cxxsin)(cos)6(xx2sec)(tan7(xx2csc)(cot)8(dx 0C dxx Cx 111 dxax Caax ln1Cedxexx dxx 1Cx lndxx cosCx sindxx sinCx cosdxx 2sec

5、Cx tandxx 2cscCx cotxxxtansec)(sec)9(xxxcotcsc)(csc10(211)(arcsin)11(xx 211)(arccos12(xx 211)(arctan)13(xx 211)cotarc)(14(xx dxx 211Cx arcsinCx arccosdxx 211Cx arctanCx cotarcCx secdxxx tansecdxxx cotcscCx csc基本积分表基本积分表dx 0)1C dxx )2Cx 111 dxx 1)4Cx lndxax)3Caax ln1dxx cos)6Cx sindxx sin)5Cx cosdxx

6、2sec)7Cx tandxx 2csc)8Cx cotdxx 211)11Cx arcsinCx arccosdxx 211)12Cx arctanCx cotarcCx secdxxx tansec)9dxxx cotcsc)10Cx csc 利用这些基本积分公式及不定积分性质利用这些基本积分公式及不定积分性质,我们可我们可以计算一些简单的积分以计算一些简单的积分,称为称为直接积分法直接积分法.例例1 1 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C dxxx2)1(练习练习例例2 2 求积分求积

7、分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112Cxx lnarctan对被积函数拆项，是求不定积分常用的一种方法对被积函数拆项，是求不定积分常用的一种方法dxxxx )1(21222Cxx arctan1习习练练例例3 3 求积分求积分解解 dxx2cos11 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121Cx tan21例例4 4 求积分求积分 dxx2cos2解解 dxxdxx2cos12cos2Cxx sin2121对三角函数作适当的恒等变换也是求不定积分常用的方法对三角函数作适当的恒等

8、变换也是求不定积分常用的方法 xdx2sec21例例5 5 求积分求积分 dxxxx22cossin2cos解解 dxxxxxdxxxx222222cossinsincoscossin2cosdxxx)sec(csc22 Cxx tancot例例6 6 求积分求积分 dxexx2解解 dxedxexxx)2(2Ceex 2ln)2(Cexx 2ln12习习练练dxxxdxxx 223cossin1.2)2(.1作业作业：5.1 55.2 1(1,4,6,7,9,11)dxxx 2310Cxx 2331334133dxxxxx 2222cossincossindxxx 22sin1cos1 dxxx 22cscsecCxx cottan