三向应力状态简介4广义胡克定律5课件.ppt

1、知 识 点2cos2sin2一、一点的应力状态一、一点的应力状态1 1 应力状态的概念应力状态的概念lTTABPIT zMyI qAl(1)同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同;(2)同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同重要结论：重要结论：一点的应力状态一点的应力状态 过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力状态。状态。二、研究应力状态的目的二、研究应力状态的目的 l 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？l 为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿45

2、螺旋面断开？螺旋面断开？三、应力状态的研究方法三、应力状态的研究方法任意一对平行平面上的应力相等任意一对平行平面上的应力相等1、单元体特征、单元体特征2、主单元体、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体单元体的尺寸无限小，单元体的尺寸无限小，取单元体取单元体每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布 3 32 21 1 四、单元体的取法四、单元体的取法FFmmFqxxxMeMe 五五、应力状态的分类、应力状态的分类1、空间应力状态、空间应力状态 三个主应力三个主应力 1、2、3 均不等于零均不等于零2、平面应力状态、平面应力状态 三个主应力三个主应力 1、2、3 中有

3、两个不等于零中有两个不等于零3、单向应力状态、单向应力状态 三个主应力三个主应力 1、2、3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零xyz2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析一、解析法一、解析法yxyaxyxeaea由三角形的平衡由三角形的平衡0d(d cos)sin(d cos)cos(d sin)cos(d sin)sin0nxxyyFAAAAA cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx 0d(d cos)cos(d cos)sin(d sin)sin(d sin)cos0txxyyFAAAAA yx 9090cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx d2si

4、n2cos2 0d2xyxy 02tan2xxy 90900 00 0 cos2sin222xyxyx max22min()22xyxyx 3.最大切应力最大切应力cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx d2cos2sin2 0d2xyx 1tan22xyx 90901 11 1 sin2cos22xyx max22min()2xyx 1tan22xyx 02tan2xxy 1 10 02 21 12 2 tantan 4 42 22 22 20 01 10 01 1 ,例题例题1 1 图示单元体，已知图示单元体，已知 x =80=80MPa，y =-50=-50MPa，x=-

5、=-4040MPa.试求试求 ef 截面上的应力及主应力和主单元体的方位截面上的应力及主应力和主单元体的方位.n3030ef(1)(1)求求 ef 截面上的应力截面上的应力30cos2sin22280508050cos(60)(40)sin(60)2212.9 MPaxyxyx 解：解：030sin2cos228050sin(60)(40)cos(60)92.6 MPa2xyx x=80MPa y=-50 x=-40MPa=-30max22min()2291.3 MPa 61.3 MPaxyxyx 12391.3 MPa061.3 MPa cos2sin2 22sin2cos2 2xyxyxx

6、yx 莫尔圆莫尔圆(Mohr(Mohrs circle)s circle)将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得得2222()()22xyxyx1 1、圆心的坐标、圆心的坐标),(0 02 2yxC 2 2、圆的半径、圆的半径22()2xyxR此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆。此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆。建建 -坐标系坐标系 ,选定选定比例尺比例尺o 3.3.应力圆作法应力圆作法（1 1）步骤）步骤xyD xo o 量取量取OA=xAD=x得得 D 点点xy xAOB=y 量取量取BD=y得

7、得 D 点点 y yD 连接连接 DD两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于 C 点点 以以C为圆心为圆心,CD 为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆该圆就是相应于该单元体的应力圆(1)该圆的圆心该圆的圆心 C 点到点到 坐标坐标原点的原点的 距离为距离为(2)该圆半径为该圆半径为22()2xyxRD xo o xA y yD（2 2）证明）证明2 22 21 12 21 1yxOBOAOBOAOBOC )()(2222()2xyxCDCAAD2 2yx 3.3.应力圆的应用应力圆的应用（1）求单元体上任一）求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力 从应力圆的半径从应力圆的

8、半径 CD 按方位角按方位角 的转向的转向 转动转动 2 得到半径得到半径 CE.圆周上圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力 。D xo o xA y yDFxya )cos(2 22 20 0CEOCCFOCOF 2 22 22 22 20 00 0sinsincoscosCDCDOCcos2sin222xyxyx 2 22 22 22 22 22 20 00 0sincoscossin)sin(CDCDCEFEosin2cos22xyx证明证明 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体 某一方向面上的正应力和切应力；yyxADxa

9、(x,x)d(y,y)c o几种对应关系转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。点点 面面 对对 应应 yyxx caA c转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应2 2anb（2 2）求主应力）求主应力 主应力数值主应力数值A1 和和 B1 两点为与主平面两点为与主平面对应的点，其横坐标对应的点，其横坐标 为主应力为主应力 1，2 2211122max()xyxyxOAOCCA2211222min()xyxyxOBOCCB 2D xo o xA y yDFB1A1D xo o xA y yD 2A1B1 主平面方位主平面方位由由 CD顺时

10、针转顺时针转 2 0 到到CA1 所以单元体上从所以单元体上从 x 轴顺时轴顺时针转针转 0（负值）即负值）即到到 1对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线022tan()xxyDACA 022 tanxxy 1022tan()xxy 0 确定后，确定后，1 对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定（3 3）求最大切应力）求最大切应力G1 和和 G 两点的纵坐标分别代表两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力最大和最小切应力 D xo o xA y yD 2A1B1G1G2221max()2 xyxCG 2 22 21 1 minmax因为因为最大最小切应力最大最小切应力等于应力圆的半径等于

11、应力圆的半径022(40)tan20.6158050 xxy 0231.6 015.8 1例题例题2：讨论圆轴受扭转时的讨论圆轴受扭转时的应力状态并分析铸铁件受扭应力状态并分析铸铁件受扭时的破坏现象。时的破坏现象。解：破坏时沿解：破坏时沿45线断开线断开最大切应力最大切应力取单元体如图取单元体如图,0 x,0yx MeMeDCBA 3p16TTWdmax22min()22xyxyx x45o-45o 3 3 1 1 1 1 3 3ABDC1 3 02 0290 =-45 圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂直于

12、断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破直于断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破坏是拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于抗剪和抗压强度。坏是拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于抗剪和抗压强度。02tan2xxy 已知已知受力物体内某一点处三个受力物体内某一点处三个主应力主应力3 3 三向应力状态简介三向应力状态简介)(max3 31 12 21 1 1 1 max分析表明：分析表明：已知已知受力物体内某一点处三个受力物体内某一点处三个主应力主应力利用应力圆确定该点的最大利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。正应力和最大切应力。首先研究与主应力首

13、先研究与主应力 平行的斜截面上的应力，由于平行的斜截面上的应力，由于 作用作用平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 平行的斜截平行的斜截面上的应力与面上的应力与 无关，这一组斜截面上的应力在无关，这一组斜截面上的应力在平面上平面上所对应的点，必在由所对应的点，必在由 和和 所确定的应力圆的圆周上。所确定的应力圆的圆周上。3333 2 1 123下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。A 1 2BC 3123123 O A 1O 2BC 31 2 3 k A 1O 2BC 3由三向应力圆可见由三向应力圆可见)

14、(max3 31 12 21 1 1 1 max40MPaz 50MPaxyz40MPa60MPa30MPa2max2min222250 MPa(60 MPa)50 MPa(60 MPa)(30 MPa)2257.6 MPa 67.6 MPaxyxyx 按代数值大小排序，三个主应力为按代数值大小排序，三个主应力为157.6 MPa240 MPa367.6 MPa 最大切应力为最大切应力为13max57.6 MPa(67.6 MPa)62.6 MPa22 132E11 E21 E31 32111E 一、广义胡克定律一、广义胡克定律4 4 广义胡克定律广义胡克定律 32111E 13221E 21

15、331E xyxyxzxzyxyzzxzyGyzyz Gxyxy Gzxzx zyxxE 1 xzyyE 1 xyzzE 1 主应变方向与主主应变方向与主应力方向相同；应力方向相同；线应变与切应力无关，线应变与切应力无关，切应变与正应力无关。切应变与正应力无关。332300 1030MPa0.1FA aaaFzyx z x y 013211 E 013122 E -15.5MPa)30(0.34-10.34)0.34(1 1)1(23221 MPa51521.MPa303 MPa25.7)(2131max 例题例题5 5 从钢构件内某一点的周围取出一部分如图所示。从钢构件内某一点的周围取出一部

16、分如图所示。根据理论计算已求得根据理论计算已求得 ，。材料。材料的弹性模量的弹性模量 ，泊松比，泊松比 。试求对角。试求对角线线ACAC的长度改变的长度改变 。MPa 30MPa 15GPa 200E3.0l。25A30 C解：解：3030 030 0cos 2 30(15)sin 2 3035.5 MPa22 12030 030 0cos 2 12015 sin 2 1205.5 MPa22 30301206311 35.5 MPa+0.3 5.5 MPa185.8 10200 10 MPaE633025 mm185.8 109.29 10 mmsin30ACACll25A30 C一、一、强

17、度理论的概念强度理论的概念max max 切应力强度条件切应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件5 5 强度理论强度理论强度理论是关于材料破坏原因的学说。强度理论是关于材料破坏原因的学说。脆性断裂，脆性断裂，塑性屈服塑性屈服3.强度理论的提出强度理论的提出 杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，其强度条件分别为状态，其强度条件分别为 max max许用应力可由实验测出。许用应力可由实验测出。在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极限应力，提出了材料在不同应力状态下产生某

18、种形式破坏的限应力，提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理论的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的试验核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的试验破坏时的同一因素，材料也将失效。破坏时的同一因素，材料也将失效。二、常用四个强度理论二、常用四个强度理论 第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论（最大拉应力理论）该理论该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最破坏的主要原因

19、是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为b 1强度条件为：强度条件为：1 第二强度理论（最大拉应变理论）第二强度理论（最大拉应变理论）该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的：复杂应力状态下，当最大拉应变的：复杂应力状态下，当最大拉应变 1达到单向拉伸达到单向拉伸时发时发生脆性断裂破坏的极限应变时生脆性断裂破坏的极限应变时，材料，材料发生脆性断裂破坏，即发生脆性断裂

20、破坏，即断裂条件为断裂条件为强度条件为：强度条件为：EEb3211)(1 )(321 第三强度理论（最大剪应力理论第三强度理论（最大剪应力理论）该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起的：复杂应力状态下，当最大切应力的：复杂应力状态下，当最大切应力 maxmax达到单向拉伸达到单向拉伸时发时发生塑性屈服破坏的最大切应力生塑性屈服破坏的最大切应力 S S 时，材料时，材料发生塑性屈服破发生塑性屈服破坏，即屈服条件为坏，即屈服条件为强度条件为：强度条件为：22S31max 31 第四强度理论（形状改变比能理论）第四强度理论（形状改变比能理论）

21、该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度v vd d 达到单向拉达到单向拉伸伸时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度v vd d，材料，材料发生塑性发生塑性屈服破坏。屈服破坏。相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为222d1223311()()()6vE 单向拉伸至屈服时，单向拉伸至屈服时，s 1032 ，代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为代入上式得到单向拉伸至屈服

22、时的形状改变能密度为强度条件为：强度条件为：2s213232221d31)()()(61 EEv s)()()(21213232221)()()(212132322212ds13vE 按照形状改变能密度理论，屈服判据为按照形状改变能密度理论，屈服判据为 1.强度理论的统一形式：强度理论的统一形式：11r)(3212 r313r)()()(212132322214r r r 称为称为相当应力相当应力第一第一相当应力相当应力第二第二相当应力相当应力第三第三相当应力相当应力第四第四相当应力相当应力二、常用四个强度理论二、常用四个强度理论2.强度理论的选用强度理论的选用一般情况下：脆性材料通常发生脆性

23、断裂破坏，应一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应 采用第一和第二理论；采用第一和第二理论；塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应 采用第三和第四理论。采用第三和第四理论。特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第一和第二理论；性材料，用第一和第二理论；三向压缩时，不论是脆性材料还是塑三向压缩时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第三和第四理论。性材料，用第三和第四理论。例题例题6 根据强度理论根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的可以从材料在单轴拉伸时的 可推知可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的

24、低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的 .纯剪切应力状态下纯剪切应力状态下:1=,2 =0 ,3 =按第三强度理论得强度条件为：按第三强度理论得强度条件为：另一方面，剪切的强度条件是：另一方面，剪切的强度条件是：所以所以 =0.5 2)(31 2 为材料在单向拉伸时的许用拉应力为材料在单向拉伸时的许用拉应力.材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 .3 3)()0()0(21222 按第四强度理论得强度条件为：按第四强度理论得强度条件为：6.0577.03 按第三强度理论得到：按第三强度理论得到：按第四强度理论得到：按第四强度理论得到：=0.5 0.6 例题例题

25、7 图示工字型焊接钢板梁，尺寸及载荷如图所示。图示工字型焊接钢板梁，尺寸及载荷如图所示。已知已知 ，梁的许用为，梁的许用为 =150MPa，=90MPa.试试校核梁的强度。校核梁的强度。Fl=400 mmkN 80F100 102007 10Fl=400 mmSFxkN 80mkN 32 xM解解 1.1.确定危险截面：确定危险截面：梁的剪力图和弯矩图如图所示。梁的剪力图和弯矩图如图所示。固定端截面为危险截面。固定端截面为危险截面。2.2.校核最大正应力校核最大正应力3364100 20093 1801212 21.47 10 mmzI6421.47 10 m64633max21.47 10

26、m214.7 10 m100 10 mzzIWy 36maxmax6332 10 N m149 10 Pa=149 MPa214.7 10 mMW即满足正应力强度要求即满足正应力强度要求 3.3.校核最大切应力：校核最大切应力：*363(100 mm 10 mm)95 mm(7 mm 90 mm)45 mm 123350 mm123.35 10 mzs*363max6336(80 10 N)(123.35 10 m)(21.47 10 m)(7 10 m)65.7 10 Pa=65.7 MPaSzzF SI d切应力也满足强度要求。切应力也满足强度要求。4.4.主应力校核：主应力校核：100

27、102007 10 取取 A 点分析点分析 3364(32 10 N m)(90 10 m)21.47 10 mAzMyI 6134 10 Pa=134 MPa*3333636(80 10 N)(100 10 m)(10 10 m)(95 10 m)21.47 107 10 50.6 10 Pa=50.6 MPaSzzF SI d 21232222 22xyxyx22222r4122331132 22(134 MPa)(3 50.6 MPa)160 MPa由于该梁的相当应力由于该梁的相当应力 已超过已超过 的的5%，故不满足强度，故不满足强度要求。要求。r4 对于焊接的工字梁（又称为钢板梁），

28、需对腹板与翼对于焊接的工字梁（又称为钢板梁），需对腹板与翼缘交接点进行主应力校核。对于符合国家标准的型钢，一缘交接点进行主应力校核。对于符合国家标准的型钢，一般不需要对腹板与翼缘交接点进行主应力校核。因为型钢般不需要对腹板与翼缘交接点进行主应力校核。因为型钢截面在腹板与翼缘交接处有圆弧过渡，且翼缘的内边有一截面在腹板与翼缘交接处有圆弧过渡，且翼缘的内边有一定的斜度，从而增加了交接处的截面宽度。因此，只要保定的斜度，从而增加了交接处的截面宽度。因此，只要保证了梁的最大正应力和最大切应力满足强度条件，腹板与证了梁的最大正应力和最大切应力满足强度条件，腹板与翼缘交接点一般不会出现强度问题。翼缘交接点一般不会出现强度问题。