Cht4数值积分和数值微分讲义课件.ppt

1、1 1 引引 言言第第4 4章章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分一、数值求积的基本思想一、数值求积的基本思想:问题的提出和解决办法.d)(baxxfI).()(d)(aFbFxxfba).)(d)(abfxxfba)1.1(.2)()(d)(abbfafxxfba梯形公式梯形公式)2.1().)(2(d)(abbafxxfba中矩形公式中矩形公式.)3.1(,d)(,0机械求积公式机械求积公式通常称为求积公式一般地nkkkbafwxxf二、代数精度的概念二、代数精度的概念.,1,m次代数精度m次代数精度定义1定义1则称该求积公式具有立成次的多项式等式不准确而对于某一个都准确成立的多项式对

2、于所有次数不超过若一个求积公式mm.,)1()0()1(d)(21021011精度尽量高使上述求积公式的代数试确定系数设有求积公式wwwfwfwfwxxf练习练习.一般方法？三、插值型求积公式三、插值型求积公式 )()(,101010knkknnnfxlxLfffbxxxan项式，就有拉格朗日插值多上已知函数值个互异节点在,d)(d)(d)(0 nkkbakbanbafxxlxxLxxf得到(1.5).d)(,d)(0bakknkkkbaxxlwfwxxf其中即得求积公式.称为插值型求积公式(1.7).d)()!1()(d)()(0)1(xxxnfxxLxffRbanjjnban它的余项为.d

3、)(0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式nfwxxfnkkkba定理1定理1四、求积公式的收敛性和稳定性四、求积公式的收敛性和稳定性若中在求积公式,(1.3)定义2定义2baknkkhnxxfxfw,d)()(lim 00.(1.3),(max11是收敛的则称求积公式其中iinixxh.)(|)()(|),1,0()(,)(0knkkknnkkkkkfxfwfIfInkfxfxf则有即有误差设.(1.3),)()(|)()(|),0()(0,0,0是稳定的则称求积公式就有只要若knkkknnkkxfxfwfIfInkfxf定定义义3 3.),1,00)3.1(是稳定的则求积公式（中系

4、数若求积公式nwk定理2定理2.)()()(|,),0()(,00abwxfxfwRnkfxfnkknkkkknkk有时当这是因为2 2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式一、一、Newton-CotesNewton-Cotes公式的导出公式的导出.C(2.1),C)(d)(,)(0)(Cotes系数Cotes系数Cotes公式Cotes公式-NewtonNewton称为，称为上的插值型求积公式在等距节点等分，步长做将求积区间nknkknkbakfabxxfkhaxnabhnbankkkbafxxf0d)(bakkxxlwd)(2.2).d)()!(!)1(dC 0000)(nnkjjknnnkjj

5、nktjtknnktjkjtabhthax，则有作变换 ),()(2d)(,1nbfafabTxxfba得到梯形公式时当(2.3)()2(4)(6d)(,2n，也称为得到抛物线公式时当bfbafafabSxxfban)公式n)公式辛普森(Simpso辛普森(Simpso)4.2(.4,),(7)(32)(12)(32)(790 ,443210abhkhaxxfxfxfxfxfabCnk其中得到时当公式公式柯特斯(cotes)柯特斯(cotes).,C8)(公式不稳定出现负值时柯特斯系数表CNnnk .二、二、Newton-CotesNewton-Cotes公式的代数精度公式的代数精度.,1次代

6、数精度公式至少阶知由定理nCNn.)()2(4)(6 bfbafafabS考察辛普森公式.1,次代数精度公式至少有阶则为偶数若nCNnn定理3定理3三、几种低阶三、几种低阶Newton-CotesNewton-Cotes求积公式的余项求积公式的余项 梯形公式的余项 1.(2.5).,),(12)(,)(31bafabTIfRbaxf 则梯形公式的余项为 上连续,在若的余项辛普森公式 .2(2.7).,),(2 180 )()2(4)(6d)(辛普森 ,)()4(42)4(bafababbfbafafabxxfSIfRbaxfba公式的余项为则上连续在若柯特斯公式的余项 .3(2.8).,),(

7、4 945)(2 ,)()6(64)6(bafababCIfRbaxf则柯特斯公式的余项为上连续在若作业作业 P158,1(2),2(1),4.3 3 复化求积公式复化求积公式则得复化梯形公式梯形公式并在每个小区间上应用其中个小区间等分为把区间,),1,1,0,(,1ninabhihaxxxnnbaiii.问题的提出和解决办法一、复化梯形公式一、复化梯形公式.)()(2)(2 )()(2d)(d)(I 11101101niiniiinixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii.)()(2)(2)()(2 10101niiniiinbfxfafhxfxfhT记为,)(121 1103 i

8、iiniinnxxfhTIRT的余项复化梯形公式.,),(12)(12 ,)(23bafhabfhnRbaxf 上连续，则在若.)(2阶，是收敛的此时复化梯形公式为hO.,)()(21,110nIxfnabxfnabTbaCfniiniin其实.正，它又是稳定的复化梯形公式的系数为辛普森公式则得复化公式，在每个小区间上应用的中点为记,辛普森,211iiixxx二、复化辛普森公式二、复化辛普森公式).()(2)(4)(6 101121bfxfxfafhSniniiin即),(,)(2180 110)4(4iiiniinxxfhhSIR余项,4时当baCf,)()(4)(6d)(10121niii

9、ibaxfxfxfhxxfI).,(),(8802)(2801 )4(4)4(4bafhabfhabSIRn.定性具有相应的收敛性和稳).(7)(14)(12)(32 )(12)(32)(790 111010101021432141bfxfxfxfxfxfafhCniininiiininiiin复合柯特斯求积公式.余项.dsin 10的值积公式求根据数据表利用复合求xxxI例1例1 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f(xi)1 0.9973978 0.8414709.)()()()()()()()()(945690902187438521834181208

10、18fffffffffT946083201432141287858381406414.)()()()()()()()()(fffffffffS9460829017211443411287858381320790212.)()()()()()()()()(fffffffffC10,)dcos(sin)(txtxxxf1010)(,)d2cos()d(cosdd)(tkxtttxtxxfkkkk10)(10.11d)2cos()(maxktkxttxfkkx.0.0004343181121)(max121 21028 fhTIRxT.100.271514128801 6-44SIRS作业作业 P1

11、59,6.4 4 龙贝格求积算法龙贝格求积算法一、梯形公式的递推化一、梯形公式的递推化(变步长求积法变步长求积法)复合梯形公式则个小区间等分得作把区间,1nabhxxnnbaii.)()(2)(2)()(2 10101niiniiinbfxfafhxfxfhT复合梯形公式，则的中点记等分作把区间2,2,1121iiiiixxxxxnba.)(221 )(2)()(221 )()(2)(221 10101011012212121niinniniiiiniiiinxfhTxfhxfxfhxfxfxfhT.dsin 10的近似值利用变步长的梯形法求xxxI例2例2.9207355.0)1()0(21

12、 1ffT.9397933.0)21(2121 12fTT.9445135.0)43()41(4121 24ffTT.956909.0)87()85()83()81(8121 48ffffTT二、龙贝格公式二、龙贝格公式),(12 12fhabTIn).(212 222fhabTIn,4 )()(221 nnTITIff，则假定.31 22）（或nnnTTTI事后误差估计事后误差估计.31 22）（nnnTTTI.313431 222nnnnnTTTTTT）（123134 1,TTTn 时，当如).()2(4)(6 )()(231)()2(2)(434 bfbafafabbfafabbfbaf

13、afab.3134 121TTS即.3134 2nnnTTS一般地.151 22）（同理，nnnSSSI.1511516 2nnnSSC复化柯特斯公式.6316364 2nnnCCR龙贝格求积公式龙贝格求积公式nnSISI)(422nnnSSSI221515计算步骤计算步骤).()()(bfafabT211初值.)(),()(1022122121022niinnixfhTTiabh计算，令./,/C ,/)(631533222222）（）（）（求加速值nnnnnnnnnnnnCCCRSSSTTTS).()(24否则，转满足精度要求；.dsin 10的近似值利用龙贝格求积算法求xxxI例3例3k

14、T2kS2k-1C2k-2R2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569090.94608330.94608310.9460831三、理查森外推加速方法三、理查森外推加速方法.),(12 2nabhfhabTIn 并且，则若记),2()(22hTTThTnn.)0()(lim),(12)(2IThTfhabIhTn 且.),2,1()7.4(,)(,)(424221无关与其中系数则若hlhhhIhTbaCxflll定理定理)8.4(.2164)2(24221llhhhIhT)9.4(.3)()2(4

15、)(62411hhIhThThT .6416)2(62411hhIhT.15)()2(16 )(8261112hhIhThThT则记一般地),()(,0hThT）（4.10 ,14)()2(4 )(1-1mmmmmhThThT(4.11).)(2)2(m21)2(m1hhIhTm上述处理方法称为理查森理查森(Richardson)外推加速方法外推加速方法.,)()(0次加速值表示次后的梯形公式值表示二分设mTkTkmk）（4.12 ,2,1,)(141)2(144 )(1)1(1)(khThTTkmmkmmmkm龙贝格求积算法龙贝格求积算法称为计算过程计算过程).()(2 ,0 )1()0(0

16、bfafabTabhk求取).(1二分次数k.)2()(0kT计算).,2,1()3()(jkjTjk求加速值).2(1 ,)4()0()0(1)0(转否则，；则取若满足精度kkTITTkkk.54见表.lim ,lim)()0(ITITkmkmn可以证明.d 102/3的近似值利用龙贝格算法求xxI例4例4.54见表作业作业 P159,8(2).5 5 高斯求积公式高斯求积公式一、一般理论一、一般理论机械求积公式)(d)(0niiibaxfwxxf .).,1,0(,22次的代数精度至少插值型求积公式个待定参数含有nniwxnii!12),1,0(次有使求积公式代数精度具有可能如果适当选取n

17、nixi(5.1),)(d)()(,0niiibaxfwxxfx如下研究数值计算带权积分一般地.,12)1.5(,10 高斯求积公式高斯求积公式高斯点高斯点定义4定义4并称此求积公式为则称此组节点为次代数精度具有公式使插值型求积若一组节点nbxxxan？但是如何确定节点iiixniwx ).,1,0(,(5.2).12,1,0 ,d)(0nmxwxxxnimiibam只要求解.)()(d)(111100 xfwxfwxxf试构造高斯求积公式 练习练习.0,32,0,2311300211200110010 xwxwxwxwxwxwww.)31()31(d)(11ffxxf5P140例教材(5.5

18、)0.d)()()(,)()()()()(5.1)5110110bannnnxxPxxxxPnxxxxxxxbxxxa即正交带权的多项式与任何次数不超过是高斯点的节点插值型求积公式 定理定理).,1,0(,1,niwxxxini解方程组只需由后确定了节点则高斯求积公式的余项上连续在区间若,)()22(baxfnniiibanxfwxxfxfR0)(d)()(5.8).,d)()()!22()(21)22(baxxxnfbann.)1.5(6的求积系数全是正的高斯求积公式定理定理 ),1,0(,d)()()(202nixxlxxlwwbainkkiki且.)1.5(是稳定的高斯求积公式 推论推论

19、.)1.5(,)(7是收敛的则高斯求积公式若baCxf定理定理.11,212 )1(个零点次正交多项式的上的节点是区间）（次；代数精度达到最高高斯求积公式的特点：nnban0d)()(21banxxx0)(021nkknkxw而二、高斯勒让德求积公式二、高斯勒让德求积公式(5.9),)(d)(1)(1,1011niiixfwxxfx的高斯求积公式上带权在勒让德求积公式.勒让德求积公式.高斯高斯 故称为的零点就是高斯点因勒让德多项式,)(1xPn.1)(1勒让德求积公式个零点构造高斯的下面根据nxPn一个节点时 )1(.)0(2d)(11fxxf两个节点时）（2.)31()31(d)(11ffx

20、xf三个节点时）（3.)53(95)0(98)53(95d)(11fffxxf7)-4(见表(5.10).)1,1(,)()!22)(32()!1(2 d)()!22()()(d)(,1,1)()22(34321121)22(5.8)01122nnnnniiinnfnnnxxPnfxfxxffRCxf勒让德求积公式的余项则高斯若 .122)!2()!(2)!2()!(2,)!2()!(2(),.,122,0d)()(.)1(dd)!2(!)(,)1(dd!21)(P71 242221122nnnPnnPnnPPnmnnmxxPxPxxnnxPxxnxPnnnnnnnnmnnnnnnnnn(正交

21、性：.135)(1n)4(1ffR 时，当.,90)()4(1且节点少一个小比辛普森公式余项ffR.),1,0(0,d)(,112收敛性且性勒让德求积公式的稳定高斯nixxlwii.)22(2d)(d)22(2d)(,22 ,011niiibabatabbafwabxxfttabbafabxxftabbaxba，得到勒让德求积公式来计算然后用高斯，得到先作变量替换上，在一般区间.dcos )3(2/02xxxIn勒让德求积公式计算高斯利用四点例6例6)467401.0(.467402.0)(d)1(4cos)1(4 301123准确值iiitfwtttI三、高斯切比雪夫求积公式三、高斯切比雪夫

22、求积公式的高斯求积公式上带权在211)(1,1xx(5.12),)(d1)(0112niiixfwxxxf切比雪夫求积公式.切比雪夫求积公式.高斯高斯 称为(2.12).0 ,0 ,2/,0d)()(11 )2(112nmnmnmxxTxTxnm正交性),2,1(,2)12(cos n 1,1)()4(nknkxxTkn个不同的零点上有在).,1,0(,22)12(cos )(11nknkxxTnkn的零点，即次切比雪夫多项式高斯点是.1nwk求积系数(5.13).212cosd1)(11112ninifnxxxfnn切比雪夫求积公式为个节点，高斯个节点改为将1122)2()8.5(d1)()

23、!2()(xxxTnffRnnn余项.0,0),(2nnTTnn，(5.14).)()!2(22)21,21()!2()()2(211)2(nnnnnnnfnTTnf.)()(d1)(1111002求积公式的两点高斯型求形如xfxfxxxf练习练习,212cosd1)(11112ninifnxxxf切比雪夫求积公式：由高斯解法。得到112222222)()(d1)(ffxxxf0.,12)(212202210221,022wwwwxxxT以及：解法112222222)()(d1)(ffxxxf.d1 )5(7112xxeInx积分切比雪夫求积公式计算高斯利用五点例例3.977463,5d1 )

24、13.5(1212cos112ninixexxe得到切比雪夫求积公式解：由高斯.106.4!102)()!2(22 )41.5(99)2(25efnfRnn得到误差估计由余项作业作业 P159,9.6 数值微分数值微分一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析.导数值在某点的值的线性组合近似函数数值微分就是要用函数得到数值微分公式差商近似导数由导数定义,(6.1).2)()()(,)()()(,)()()(（中点公式）hhafhafafhhafafafhafhafaf,)(!5 )(!4)(!3)(!2)()()()5(5)4(432 afhafhafhafhaf hafhaf.)(!5)(

25、!3)(2)()()()5(42 afhafhafhhafhafhG.)(max(6.2),6)()(2xfMMhafhGhax 其中误差估计).84?()2(,)(.表见教材：不能太小差角度考虑，越小越好，但从舍入误表面上看fxxfhh.2)(,max,)()(212121hhhGhafhaf的舍入误差，则计算记和分别有舍入误差和设计算.6)()(2hMhhEaf的误差上界为计算./33Mh最优步长?),84)(2(,)(hfxxf表四位数字计算设.1339.01024)2(4105.033432/34hh二、插值型的求导公式二、插值型的求导公式).(),1,0()()(xPnixfyxfy

26、ii建立插值多项式，的节点上的函数值已知函数.(6.3)()(插值型求导公式插值型求导公式统称为，取xPxf余项 ,)(dd)!1()()()!1()()()()1(11)1(nnnnnfxnxxnfxPxf.)()(),(01njjnxxxba其中(6.4).()!1()()()(1)1(knnknkxnfxPxf.节点上的导数值下面考虑在等距节点时两点公式 .1,)()()(101001011xfxxxxxfxxxxxP,)()(1)(101xfxfhxP.)()(1)(,)()(1)(01110101xfxfhxPxfxfhxP ),(2)()(1)(010fhxfxfhxf ).(2)

27、()(1)(011fhxfxfhxf)()!1()(1)1(knnxnf三点公式 .2.)()()()()()()()()()(2120210121012002010212xfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxP.)()1(21)()2()()2)(1(21)(21002xfttxfttxfttthxP.)()12()()44()()32(21)(21002xftxftxfththxP,)()(4)(321)(21002xfxfxfhxP,)()(21)(2012xfxfhxP.)(3)(4)(21)(21022xfxfxfhxP)()!1()(1)1(knnxnf),

28、(3)()(4)(321)(22100fhxfxfxfhxf ),(6)()(21)(2201fhxfxfhxf ).(3)(3)(4)(21)(22102fhxfxfxfhxf .1,2,)()()()(kxPxfknk，高阶导数公式,)()(2)(1)(210202xfxfxfhthxP 如：(6.7).(12)()(2)(1)()4(221021fhxfxfxfhxf),(3)()(4)(321)(22100fhxfxfxfhxf ),(6)()(21)(2201fhxfxfhxf 三、利用数值积分求导三、利用数值积分求导,1,0,),()(,)(nabhniihaxxfxxfi充分光滑

29、设(6.8),1,1 ,d)()()(1111nixxxfxfiixxii.微分公式同的数值值积分计算，就得到不右边积分采用不同的数).,(,)(31)(2d)(11311 iiiiixxxxhxhxxii例如，由 ，),(),(!2)()()()(112 iiiiiiiixxxxxxxxx:)8.6(式，整理得到中点微分公代入得到中矩形公式.)(612)()()(311iiiihhxfxfxf).,(,)(901)()(4)(3d)(11451111iiiiiiixxxxhxxxhxxii）（将辛普森公式得到，记略去余项代入),()()8.6(iiixfxm.1,2,1 ,)()(34 11

30、11nixfxfhmmmiiiii)6.9(,)()()()(41141141142331313300231221nnnhnnhhhnnffffffffffmmmm,)()(21,)()(21 21021nnnxfxfhmxfxfhm或者取)6.9(,)()()()(4114114114131342324311332332nnnhnnhhhnnmffffffmffmmmm).(下一章可利用追赶法求解.104,103,102,101)()105()100(9),-4()(8上的一阶导数在求和并已知表的数表给定xxfffxxf例例四、利用三次样条求导四、利用三次样条求导),57,53(P根据三次样

31、条理论,|)(|max|)()(|max4)4()()(kbxakkkbxahxfCxsxf,63)0()(11jjjjjjjjjhyyMhMhxsxf.)(jjMxf,|241|3)4(hfsf.|83|2)4(hfsf 五、利用外推方法求数值微分五、利用外推方法求数值微分.2)()()()(:hhafhafhGaf中点公式.),2,1(,)()(:24221无关与其中系数公式由hlhhhafhGTaylorlll .3)()2(4 )(62411hhIhGhGhG).()(6.11).1,2,(,14)()2(4 )(011hGhGmhGhGhGmmmmm.104见表).()()()1(2mmhOafhG.5.0)(92的导数在用外推法计算xexxfx例例作业作业 P159,13.