CH+9-2+二重积分的计算课件.ppt

1、一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结三、小结 第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()

2、()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdxdyyxfD Dyxfdxdyyxf.0),(.),(假定假定计算问题计算问题先从几何上讨论先从几何上讨论.21,dd1.所所围围及及由由其其中中计计算算例例 yxxyDyxxyD解解 Dxydxdy 212xxydydxdxxx 212)4(21.89.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf )(2xy abD)(1xy x型区域的特点型区域的特点：从下往上看，入口曲线从下往上看，入口曲线 和出口曲线均只有一

3、条曲线或直线组成和出口曲线均只有一条曲线或直线组成x型区域先定型区域先定x 的限的限!)(2yx )(1yx Dcd.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型cd)(2yx )(1yx D.21,dd1所所围围及及由由其其中中计计算算例例 yxxyDyxxyD X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于x x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于y y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点

4、线与区域边界相交不多于两个交点.)(轴轴投投影影向向 X )()(21xyxbxaD )(轴轴投投影影向向Y )()(21yxydycD 如果积分区域如果积分区域 D 可表示为可表示为x型型区域又可表示为区域又可表示为y型型区域区域,且且 f(x,y)在在D 上连续，则有：上连续，则有：Dbaxxyyxfxyxf)()(21d),(dd),(.d),(d)()(21 dcyyxyxfy 采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 原原式式 102112),(y

5、ydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图解解两两曲曲线线的的交交点点),1,1(,)0,0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx .162,52所所围围成成的的闭闭区区域域与与直直线线是是由由抛抛物物线线其其中中化化为为累累次次积积分分将将例例 xyxyDxydxdyID解解两两曲曲线线的的交交点点),4,5(,)2,1(1622 xyxy Dxydxdy 421262yyxydxdy dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 D

6、ydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e .,ddsin2所围所围由由其中其中又如：计算又如：计算xyxyDyxyyD 如果积分区域如果积分区域 D 不是不是 x型型 区域也不是区域也不是 y型型 区区域域，可用平行坐标轴的直线段分割，把，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标在各个标准区域上的积分之和就是准区域上的积分之和就是D 上的二重积分上的二重积分.若区

7、域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.围围成成的的区区域域。，由由其其中中：计计算算例例xyxyxyDxdxdyD 1221,2,8y=2xx+y=12y=x/21D2D:1Dxyxx22,40 :2Dxyxx 122,84 Dxdxdy 841224022xxxxdyxdxdyxdx 8440)212()22(dxxxxdxxxx96|)216(|)6132(84324033 xxxx)4,8()8,4(:和和两两交交点点解解计算二重积分的几点说明：计算二重积分的几点说明：1)化二重积分

8、为二次积分的关键是：确定二次积化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应的几何形状确定的，因此计算二重积分应先先画出积分区域画出积分区域 D 的图形的图形.2)第一次积分的上、下限是第一次积分的上、下限是函数或常数函数或常数，而第二，而第二次积分中的上、下限一定是次积分中的上、下限一定是常数常数，且下限要小于，且下限要小于上限上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单且区域的划分要尽量地简

9、单.例例9 9解解.10,11:.d|2 yxDxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 d)(d)(d321222 DDDDxyyxxy 1211021122d)(dd)(dxxyxyxyyxx.1511.,2ln161525,0)1(2tstyxtxyst求求已已知知所所围围成成区区域域的的面面积积，与与是是由由设设 dydxdxdysDttxtxt 221252解解：)2,21(tt)21,2(ttttttxtxtxdxxtxt22222212)ln2125()25(22)2ln1615(t 利用二重积分可以计算平面图形的面积利用二重积分可以计算平

10、面图形的面积.D2ln1615 22,212 tt.454cossin围围成成图图形形面面积积在在和和求求曲曲线线又又例例：xxyxy利用二重积分可以计算空间立体的体积利用二重积分可以计算空间立体的体积.为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为侧侧面面，抛抛物物面面为为底底，圆圆柱柱面面面面上上的的圆圆域域：求求以以222222211|),()2(yxzyxyxyxDxoy .322所围成立体的体积所围成立体的体积与平面与平面求由曲面求由曲面如：如：zyxz DDDDdxdyyxfI21),(轴轴对对称称关关于于xD)1(1),(),(2),(0DyyxfdxdyyxfyyxfI为为偶偶函

11、函数数关关于于为为奇奇函函数数关关于于轴对称轴对称关于关于yD)2(1),(),(2),(0DxyxfdxdyyxfxyxfI为为偶偶函函数数关关于于为为奇奇函函数数关关于于利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分关关于于原原点点对对称称D)3(1),(),(),(2),(),(0DyxfyxfdxdyyxfyxfyxfI1:yxDdxdyxyID，其中，其中例：例：1D2D3D4D为为偶偶函函数数关关于于关关于于原原点点对对称称，yxxyDD,21 314321,DDDDDD为为偶偶函函数数关关于于关关于于原原点点对对称称，yxxyDD,43为偶函数为

12、偶函数关于关于轴对称，轴对称，关于关于xxyyDD13614411010 DxxydydxxydxdyI0)(;dd)sincos(4)(;dd2)(;ddsincos2)()(dd)sincos()1,1()1,1(),1,1(1111DyxyxxyCyxxyByxyxAyxyxxyDDxOyDDDDD 则则在在第第一一象象限限部部分分，是是为为顶顶点点的的三三角角形形域域，和和平平面面上上以以是是：设设例例A AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDrdrdrrfdx

13、dyyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).()(21 r的的外外部部在在积积分分区区域域极极点点DO)1AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(的的边边界界上上在在积积分分区区域域极极点点DO)2 Drdrdrrf )s

14、in,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0的的内内部部在在积积分分区区域域极极点点DO)3为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为侧侧面面，抛抛物物面面为为底底，圆圆柱柱面面面面上上的的圆圆域域例例：求求以以222222211|),(yxzyxyxyxDxoy DxyxDdyxI2:,12222：计计算算例例cos20,22|),(:rrD解解 22cos202 drrd原原式式 223cos38 d93

15、2.),(,)(22的的一一部部分分时时用用极极坐坐标标或或积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆为为一一般般情情况况下下，被被积积函函数数xyfyxf DxyxDdxdyxy21:,322：求：求例例 2104:rdrdI 解解2643 )23,21(A)23,21(B 3432cos21:rdrdtg原原式式解解=0法二法二:积分区域关于积分区域关于x轴对称轴对称,为奇函数为奇函数关于关于yxy0 原式原式.0,0,1,4,darctan 22222围成围成由由其中其中求求例例 xxyyyxyxDxyID 解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred

16、0202).1(2ae|),(2221RyxyxD 2|),(2222RyxyxD 0,0 yx0,0|),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2);1(4)()1(4222220RRxRedxee 所求广义积分所求广义积分 02dxex2.0,0,:,.122222 yxayxaxDyxdxdyD求求的的累累次次积积分分为为极极坐坐标标下下化化 1011222)(.2xxdyyxfdxI.)sin,cos(.30sin20直直角角坐坐标标下下的的累累次次积积分分为为化化 r

17、drrrfdI为为极极坐坐标标下下的的累累次次积积分分化化练练习习 1011222)(2xxdyyxfdxI sincos10,02:1 rD解解：10,20:2 rD 201002sincos10)()(rdrrfdrdrrfdIxy1D2D1 r sincos1 r.10,10:,)2(.42322 yxDdyxyID 求求 yydxyxfdydxyxfdyI1224221),(),(.5 化化简简.sin.6102arcsindyyxdxx 求求.1:),(),(81),(.72222 yxDdxdyyxfdxdyyxfyxyxfDD，其中，其中求求，设设.:),()(,0,10,10,

18、2),(.9tyxDdxdyyxftFyxyxfD ，其中，其中求函数求函数其他其他设设.)(,)(.81012dxxfdtexfxt 求求二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd

19、.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 设设)(xf在在1,0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序.令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 交交换换积积分分次

20、次序序:).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题,cos022:arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、填空题填空题:1 1、Ddyyxx)3(323_._.其中其中 .10,10:yxD 2 2、Ddyxx)cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域的三角形闭区域.3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域,化为先

21、对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分,应为应为_._.练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由直线是由直线 2,xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分,应为应为 _._.5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),(改改换换积积分分次次序序,应

22、应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、画出积分区域二、画出积分区域,并计算下列二重积分并计算下列二重积分:1 1、Dyxde,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域.2 2、Ddxyx)(22其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2,2 及及所围成的闭区域所围成

23、的闭区域.3 3、xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),(。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D:20,11 yx.三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线,2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成,它的面密度它的面密度22),(yxyx ,求该求该薄片的质量薄片的质量.四、四、求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积.一、一、1 1、1 1；2 2、23 ；3 3、220),(xrrrdyyxfdx；4 4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、211210),(yydxyxfdy；6 6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7 7、21120),(xexdyyxfdx.练习题答案练习题答案二、二、1 1、1 ee；2 2、613；3 3、；4 4、235 .三、三、34.四、四、6.