52二次型及其标准形课件.ppt

1、一、二次型及其标准形的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,称为二次型称为二次型.的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn,121;,称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型.,称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为二次型都为二次型；23222132144,xxxxxxf 为

2、二次型的标准形为二次型的标准形.323121321,xxxxxxxxxf 1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222

3、221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(.,为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,例例1、将二次型、将二次型 yzxyzxf4322用矩阵表示。用矩阵表示。zyxzyxf

4、32102102021),(三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系;的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA;的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af.的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa0

5、3113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例2 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx AxxfT 证明证明于于是是即即有有为为对对称称矩矩阵阵,TAAA TTTACCB 有有将其代入将其代入,A

6、xxfT .yACCyTT CyACyT .,1ARBRBAACCBCT 且且也也为为对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵定定理理CACTT,BACCT ,ACCBT),()(C ACCRART为可逆矩阵，所以又 .BRAR 即即 为对称矩阵为对称矩阵.B定义定义5.2.2 对于对于n阶矩阵阶矩阵A和和B,如果存在如果存在n阶可逆阶可逆矩阵矩阵C,使得使得B=CTAC,就称就称A合同于合同于B,记作记作A B对进行运算称为对进行合同变换对进行运算称为对进行合同变换.矩阵间的合同关系具有反身性矩阵间的合同关系具有反身性,对称性对称性,和和传递性传递性.说明

7、说明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型,2 Cyxf.,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT;,1 ACCBAfCyx.T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxaf

8、jiijnjijiij,21,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应

9、的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A144241422217AE 9182.,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例3 3从而得特征值从而得特征值.18,9321 得基础解系代入将,091xAE2 2求特征向量求特征向量得基础解系代入将,01832xAE,)0,1,2(2 T.)1,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.11211,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1,54,52(3 T,)0,1,2(2 T,)1,1,21(1T

10、,3,2,1,iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有利用配方法化二次型为标准型利用配方法化二次型为标准型 32233122212165222xxxxxxxxxf例例5、化二次型为标准型、化二次型为标准型 1x解：将解：将 的项归并起来，得的项归并起来，得23223213223222321)2

11、()(44)(xxxxxxxxxxxxf33322321133322321122yxyyxyyyxxyxxyxxxy令令321100210111yyyCYX2221yyf经过可逆线性变换经过可逆线性变换 将二次型化为标准型：将二次型化为标准型：323121622xxxxxxf33212211yxyyxyyx3213212121)(6)(2)(2yyyyyyyyyyf323122218422yyyyyy例例5、化二次型为标准型、化二次型为标准型 f21,xx解：解：不含有平方项，含有不含有平方项，含有 乘积乘积项，因 此 用 代 换 产 生 平 方 项，项，因 此 用 代 换 产 生 平 方 项

12、，令令则则232322316)2(2)(2yyyyyf333223113332231122zyzzyzzyyzyyzyyz23222162zzzf100210101100011011C再配方，得再配方，得 则有则有 令令 所求得可逆变换矩阵为所求得可逆变换矩阵为 说明：用配方的方法化二次型为标准型方法：说明：用配方的方法化二次型为标准型方法：1）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换产生平方项后，再配方；换产生平方项后，再配方；2）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所有项的平方，对余下的变

13、量同样进行配方作变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。平方和。注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是特征值。特征值。化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面曲面.323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题思考题解答思考题解答,333351315 A二次型的矩阵为二次型的矩阵为解解),9)(4()det(AE可求得,9,4,0321 的特征值为的特征值为于是于是A.111,011,211 321 ppp对应特征向量为对应特征向量为将其单位化得将其单位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq故正交变换为故正交变换为,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化二次型为化二次型为.1),(321表示椭圆柱面表示椭圆柱面可知可知 xxxf