24n维向量组及其线性相关性课件.ppt

1、1.1.n n维向量的定义维向量的定义.),(,21我们只讨论实向量称为实向量分量全为实数的向量或坐标个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的有序数个有次序的数iainnnaaanin例如例如),3,2,1(nn维实向量维实向量2.4.1 n维向量的概念),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：,ban 维向量的表示

2、方法n注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.此外，代数中的向量此外，代数中的向量、书写时，上方不带书写时，上方不带箭头箭头.与空间向量书与空间向量书写方式写方式不同。不同。若干个同维数（每个向量的分量均为若干个同维数（每个向量的分量均为n n个）的列个）的列向量向量 （或同维数的行向量）所组成（或同维数的行向量）所组成的集合，叫做的集合，叫做n n维向量组维向量组

3、m,21miaaainiiTi,2,1),(21其中例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211.,21的列向量组称为矩阵向量组An1:矩阵与向量组的关系2jn维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个

4、矩阵成一个矩阵.矩阵矩阵构成一个构成一个组组维列向量所组成的向量维列向量所组成的向量个个nmnmm,21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21),(21mA 2.4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性维向量组一个4TTT)3,1,1,4()1,1,3,2()1,1,2,1(3212132易知.01,1,2332211321成立使得数即存在一组不全为零的kkkkkkTTT)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(3321维向量组又如一个?0,0:332211321成立使得的数是否存在一组不全为问kkkkkk0,

5、0,00001000100010321321332211kkkkkkkkk.0,0,0,0,.0,332211321332211321才成立时只有当就是换种说法成立使的数即不存在一组不全为零kkkkkkkkkkkk0 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0,1.2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn .,2.线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组1.1.向量组的线性相关性的定义向量组的线性相关性的定义则称向量组则称向量组 是线

6、性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A.,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组 bbbbbb例例1 10 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证0AX即02110011101 A 列式由于此方程组的系数行.,0 ,0,3213211线性无关向量组，所以方程组只有零解得两边左乘对可逆知bbbxxxAAXA.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向

7、量组只包含一个向量.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量是两向量共线义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向,.5 注意注意2例.,10000,00010,00001212121维向量为任一其中的线性相关性及向量组试讨论向量组维基本单位向量组nnnnn相关性的方法判断一个向量组的线性小结:.,0,0,.1212211否则线性无关相关则向量组线性时当它们不全为对应的成立即求解使用定义方法mmmkkkkkk.53.2特殊情况来判断用方法mmb 221112122.4.3 :,mmAb 定义给定向量组和向量 如果存在一组数，使.2211有解有解即线性方程组即线

8、性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中中至少有一个至少有一个向向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 2.线性相关性定理线性相关性定理注意：不是注意：不是任一个任一个故故 01112211 mmm

9、a 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk.02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.,),(3.4.22121线性无关证明其列向量组阶可逆矩阵为设例nnnA.,:111且表示式惟一线性表示能由则线性无关而线性相关若定理mmm:补充.,:111也线性相关则线性相关若定理mrrr.,;,

10、5.4.2等价与向量组表示则称向量组由向量组能且向量组中的向量线性表示向量都可由中每个如果表示能由向量组则称向量组中的向量线性表示中每个向量都可由如果维向量组设两个定义BABAABBABAnsrBA,:,:21212.4.3向量组间的关系向量组间的关系TTTTTTBA)1,0,0(,)1,1,0(,)1,1,1(:)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(:321321向量组向量组;,00,0,321332123211线性表示可由即知AB.,00,0,321332123211线性表示可由即反之BA.等价与所以向量组BA:如传递性对称性反身性的性质向量组之间的等价关系)3(,)2(,)1(:

11、.,:,:6.4.22121srsBrAABABAsr即所含向量的个数不大于向量个数组所含的则组线性无关线性表示且组组能由如果向量组和设有向量组定理.,:,:7.4.22121线性相关则向量组线性表示且向量组能由若向量组推论AsrBAsr.8.4.2的向量相同个数等价的线性无关组含有推论.)1(9.4.2线性相关维向量一定个任意推论nkkn:,.21，如果满足个向量中选取在维向量所组成的向量组是设rrTnT定义定义2.4.102.4.10线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（1

12、12 rArA;0）（简简称称的的一一个个向向量量组组是是那那末末称称向向量量组组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组.)3(的秩称为向量组数最大无关组所含向量个r.,)1(:21无关组的一个最大维向量所组成的集合全体是维基本单位向量组说明nnRnn.)2(所含的向量个数相同最大无关组一个向量组的任意两个组不惟一一个向量组的最大无关0.)4(规定它的秩为有最大无关组，只含零向量的向量组没.)5(是其本身的最大无关组一个线性无关的向量组2.4.4向量组的秩与矩阵的秩2.4.12,().TrTrank Tr定义向量组 的最大无关组所含向量的个数 叫做向量组 的秩 记作2.4

13、.13.定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩的秩也记作的秩也记作向量组向量组maaa,21;1）最大无关组不唯一）最大无关组不唯一（),(21maaaR说明说明.2关组是等价的关组是等价的）向量组与它的最大无）向量组与它的最大无（97963422644121121112 A设矩阵设矩阵 例2例2.用最大无关组线性表示用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量属最大无关组的列向量无关组，并把不无关组，并把不的列向量组的一个最大的列向量组的一个最大求矩阵求矩阵A行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解，知知3)(ARA，00000310000111

14、041211初等行变换初等行变换.3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首421.,421无关组无关组为列向量组的一个最大为列向量组的一个最大故故aaa线性无关线性无关，故，故知知421421,3),(aaaaaaR.,42153成行最简形矩阵成行最简形矩阵再变再变线性表示，必须将线性表示，必须将用用要把要把Aaaaaa),421aaa（事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 00000310003011040101 初等行变换初等行变换A 4215213334,aaaaaaa 即得即得