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1、古代希腊数学古代希腊数学2古希腊的变迁古希腊的变迁雅典时期：公元前6前3世纪公元前11世纪前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9前6世纪：希腊各城邦先后形成亚历山大后期：公元前30年公元640年西罗马帝国：公元395年公元476年东罗马帝国：公元395年公元1453年（610年改称拜占廷帝国）爱奥尼亚时期：公元前11世纪前6世纪亚历山大时期：公元前323年前30年罗马帝国：公元前27年公元395年希腊时期希腊化时期波希战争（前499前449）伯罗奔尼撒战争（前431前404）马其顿帝国：前6世纪前323年（前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位，前334前323亚历山大东征）前48前30年

2、凯撒、屋大维侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的。说，在古希腊学者登场之前是不存在的。-M-M克莱克莱因因 柏拉图学派诡辩学派埃利亚学派欧多克斯学派亚里士多德学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派一、古希腊数学的先行者一、古希腊数学的先行者伊奥尼亚学派创始人古希腊最早的数学家、哲学家“希腊七贤”之首泰勒斯最先证明了如下的定理泰勒斯最先证明了如下的定理:1.1.两直线相交，对顶角相等。两直线相交，对顶角相等。2.2.等腰三角形两底角相等。等腰三角形两

3、底角相等。3.3.圆被直径二等分。圆被直径二等分。4.4.半圆上的圆周角是直角。半圆上的圆周角是直角。-泰勒斯定理泰勒斯定理5.5.两个三角形全等的边角边定理。两个三角形全等的边角边定理。从泰勒斯开始，命题证明成为从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。希腊数学的基本精神。泰勒斯泰勒斯(BC625BC547)精于哲学、数学、天文学精于哲学、数学、天文学 和音乐理论和音乐理论二、毕达哥拉斯二、毕达哥拉斯（Pythagoras）约公元前约公元前580前前500年年 希腊论证数学的另一位祖师希腊论证数学的另一位祖师 毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉斯学派创始人 信奉信奉“万物皆数万物皆数”费洛罗斯

4、曾说费洛罗斯曾说:“:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（Pythagoras）毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就1勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理（毕达哥拉斯定理）毕达哥拉斯学派的主要成就：毕达哥拉斯学派的主要成就：222bac毕氏学派百牛大祭毕氏学派百牛大祭法法 国国驴桥问题驴桥问题 中中 国国-商高定理商高定理毕达哥拉斯定理（希腊，毕达哥拉斯定理（希腊，1955）.2002.8 国际数国际数学家大会会徽学家大会会徽

5、1972年星际飞年星际飞船船“先锋先锋10号号”带着带着“出入出入相补图相补图”飞向飞向太空太空欧几里得的证明原图赵爽的“弦图”刘徽的“青朱出入图”321一三二bcaa毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就2.勾股数（勾股数（Pythagorean triple）22222222222222222212211122211nnnnnmmmmnnn 它等价于，为奇数，柏拉图毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就：全段大段大段小段23Prof.Dr.rer.nat.Klaus-Dieter Graf ba18.1bababba 618.12.0bajthe

6、 divine rectangle24Prof.Dr.rer.nat.Klaus-Dieter Graf divina proportione(divine proportion).61803.1215bababbagolden sectionV I P jsolution:baa-bthe golden section of a:babbaabba2condition:bba32Prof.Dr.rer.nat.Klaus-Dieter Graf e eb b e eb b=j j2009年高考数学湖北卷文科第年高考数学湖北卷文科第9题题2009年高考数学湖北卷文科第年高考数学湖北卷文科第9题

7、题 解析解析毕达哥拉斯学派的主要成就：毕达哥拉斯学派的主要成就：n形数形数毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就毕达哥拉斯学派的主要成就5.数的数的“理论理论”（2）完全数）完全数 尼科马霍斯（尼科马霍斯（AD100，约旦，其深，约旦，其深受毕派影响）发现：受毕派影响）发现：211 22221nnnnmm 若 是素数，则 2 就是完全数，即 2是完全数毕达哥拉斯学派的主要成就5.数的数的“理论理论”（2）完全数）完全数 事实上，现有定理：事实上，现有定理：12211.11pppppaapp 是偶完全数的充要条件是，其中 与 2均为素数定

8、理的充分性由欧几里得证，必要性由欧拉证明.与 2均为素数，称 2 为Mersenn素数.定理说明：有一个M素数就有一个偶完全数，反之亦然.毕达哥拉斯学派的主要成就43 112 60843 112 609221，毕达哥拉斯学派的主要成就5.数的数的“理论理论”（3）亲和数）亲和数 若若 a 的真因数之和等于的真因数之和等于 b，且，且 b 的真的真因数之和又等于因数之和又等于 a，则称，则称a，b为一对为一对亲和数亲和数.换言之：换言之：a 的所有因数之和的所有因数之和 =b的所有因数之和的所有因数之和 =a+b 毕达哥拉斯学派的主要成就5.数的数的“理论理论”（3）亲和数）亲和数 亲和数的一个

9、公式：亲和数的一个公式：1213 213 219 21.1.nnnnnabcna b cabc 设，若，且，均为素数，则 2 与 2 是一对亲和数毕达哥拉斯学派的主要成就：5.数的数的“理论理论”（4 4）形数形数多边形数多边形数多面体数多面体数?应用之妙应用之妙精神之美精神之美毕达哥拉斯学派的主要成就：毕达哥拉斯学派的主要成就：（4）形数）形数 形数（形数（figured numbersfigured numbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagoras,569 B.C.Pythagoras,569 B.C.500 B.C.500 B.C.）本人。用一点）

10、本人。用一点（或一个小石子）代表（或一个小石子）代表1 1，两点（或两个小石子）代表，两点（或两个小石子）代表2 2，三点（或三个小石子）代表三点（或三个小石子）代表3 3，等等，毕达哥拉斯学派，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（NicomachusNicomachus,60?,60?120?120?）以及稍后的泰恩（）以

11、及稍后的泰恩（TheonTheon,约约2 2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。体数（包括立方数、棱锥数等等）。（4 4）形数）形数后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10（4 4）形数）形数第第n n个三棱锥数为个三棱锥数为(1)(1)(2)1 3626n nn nn （Nicomachus,1世纪）（4）形数）形数前四个四

12、棱锥数为前四个四棱锥数为 1 1+4 1+4+9 1+4+91 1+4 1+4+9 1+4+9=16=16 第第n n个四棱锥数为个四棱锥数为2(1)(21)1496n nnnn2006年广东数学高考题年广东数学高考题 在德国不莱梅举行的第在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥正三棱锥”形的展品，形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然

13、垒放在下一层之上，第开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第堆第 n 层就放一个乒乓球，以层就放一个乒乓球，以 f(n)表示第表示第 n堆的乒乓球总堆的乒乓球总数，则数，则 f(3)=_，f(n)=_。2009年高考数学试题湖北卷 文理 10 解析解析2009年高考数学试题湖北卷 文理 10 数论背数论背景景2012年高考数学湖北卷文科年高考数学湖北卷文科17题：题：2012年高考数学湖北卷文科年高考数学湖北卷文科17题解析题解析 毕达哥拉斯学派的主要成就：毕达哥拉斯学派的主要成就：6.不可公度量不可公度量万物皆数万物皆数可公度可公度第一次数学危机第一次数学危机不可公度不可公度希帕苏

14、斯发现阿基米德证明毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派伊奥尼亚学派兴趣和实际应用兴趣和实际应用把数学当作思想把数学当作思想追求永恒的真理追求永恒的真理命题证明命题证明若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。H彭加勒彭加勒无理数的发现无理数的发现第一次数学危机第一次数学危机 大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量

15、不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，直觉和经验不一定靠得住，.并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？无穷小是零吗？第二次数学危机第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功

16、的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。贝克莱悖论。他指出：大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求牛顿在求xn的导数时，采取了先给的导数时，采取了先给x以增量，应用二项式（以增量，应用二项式（x+0）n，从中减，从中减去去xn以求得增量，并除以以求出以求得增量，并除以以求出xn的增量与的增量与x的增量之比，然后又让消逝的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设先设x有增量有增量，又令增量为零，也即假设，又令增量为零，也即假设x没有增量。没有增量。”他认为无穷

17、小他认为无穷小dx既等于零又不等既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂为逝去量的灵魂”。无穷小量。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。悖论的产生悖论的产生-第三次数学危机第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，

18、还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。的整个基本结构的有效性的怀疑。帕提农神庙(前447前432年）代表人物代表人物n德谟克利特（约公元前德谟克利特（约公元前460-460-前前370370）“原子论原子论”圆

19、锥的体积公式，圆锥的体积公式，1717世纪世纪“不不 可分量理论可分量理论”n芝诺（约公元前芝诺（约公元前490-490-前前425425）“阿基里斯追不上乌龟阿基里斯追不上乌龟”的悖论的悖论,极限、极限、连续和无穷集合的概念连续和无穷集合的概念伊利亚学派伊利亚学派芝诺芝诺(约公元前约公元前490-前前430年年)芝诺悖论：芝诺悖论：1 两分法：两分法：运动不存在运动不存在位移事物在达到目的位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半地之前必须先抵达一半处，即不可能在有限的处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点。时间内通过无限多个点。芝诺悖论芝诺悖论1.二分法二分法一物从甲地到乙地，永远不能到达。

20、一物从甲地到乙地，永远不能到达。庄子庄子：“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”在有限的时间里，走完无限多个区在有限的时间里，走完无限多个区间，这是不可能的。间，这是不可能的。芝诺悖论芝诺悖论 2:阿基里斯：阿基里斯：阿基里斯永远追不上一只乌龟阿基里斯永远追不上一只乌龟伊利亚学派伊利亚学派阿基里斯阿基里斯2 阿基里斯追龟说阿基里斯追龟说：善跑的希腊名将阿基里斯永远追不上：善跑的希腊名将阿基里斯永远追不上一只乌龟。一只乌龟。假设阿基里斯速度为假设阿基里斯速度为v，且乌龟的速度为，且乌龟的速度为 ，某时，某时刻乌龟领先阿基里斯刻乌龟领先阿基里斯100米。米。t1时刻：时刻

21、：t2时刻：时刻：乌龟乌龟阿基里斯阿基里斯乌龟乌龟10v 阿基里斯追到乌龟出发点时，阿基里斯追到乌龟出发点时，阿基里斯所用的时间是：阿基里斯所用的时间是：230TTTT110TTT10101010109nnn 这是收敛的无穷级数的和。这是收敛的无穷级数的和。在这个时间里，乌龟向前走了在这个时间里，乌龟向前走了 ,10VT 100TV 他他所所用用的的时间时间为为 ，芝诺悖论芝诺悖论 3:飞箭：飞箭：飞着的箭是静止的飞着的箭是静止的芝诺悖论芝诺悖论:飞矢不动飞矢不动芝诺悖论芝诺悖论3.飞着的箭是静止的飞着的箭是静止的庄子庄子：飞鸟之影未常动也。：飞鸟之影未常动也。飞箭在每一瞬间总停留在确定的位置

22、上，因此它是飞箭在每一瞬间总停留在确定的位置上，因此它是不动的。不动的。如果用如果用x(t)表示物体的位置，则在两个不同瞬间表示物体的位置，则在两个不同瞬间t1与与t2，有速度就是假设了：，有速度就是假设了：因此，因此，就必然有运动。，就必然有运动。有位置有位置 x(t)有确定的值，要静止，需要有确定的值，要静止，需要 。2121()()0 x tx tvtt 21()()0 xtxt ()0 x t 芝诺悖论芝诺悖论4 运动场问题：运动场问题：一半的时间可以等于整一半的时间可以等于整个的时间个的时间 三行物体：三行物体：位置一位置二位置一位置二(A)o o o o(A)o o o o(B)o

23、 o o o(B)o o o o(C)o o o o(C)o o o o柏拉图柏拉图(约公元前约公元前427-前前347年年)柏拉图学派柏拉图学派打开宇宙之迷的钥匙是打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形数与几何图形雅典学院雅典学院(公元前公元前387387公元公元529529年年)柏拉图学派柏拉图学派亚里士多德亚里士多德(公元前公元前384384前前322322年年)（乌拉圭（乌拉圭,1996,1996）古希腊最著名的哲学家、科学家古希腊最著名的哲学家、科学家 亚里士多德亚里士多德(公元前公元前384-前前322年年)亚里士多德学派亚里士多德学派(吕园学派吕园学派)形式逻辑方法用形式逻辑方法用于数

24、学推理于数学推理矛盾律、排中律矛盾律、排中律“吾爱吾师，吾尤吾爱吾师，吾尤爱真理爱真理”在中学我们就知道，几何在中学我们就知道，几何作图严格局限于圆规和无尺度作图严格局限于圆规和无尺度直尺。这种限制从古希腊一直直尺。这种限制从古希腊一直延续至今。延续至今。为什么？为什么？古希腊人认为，所有图形都古希腊人认为，所有图形都是由直线和圆弧构成的，圆是最是由直线和圆弧构成的，圆是最完美的图形。他们确信仅靠圆规完美的图形。他们确信仅靠圆规和直尺就可以绘出图形来。他们和直尺就可以绘出图形来。他们还认为，依据少量假设，通过逻还认为，依据少量假设，通过逻辑把握的东西最可靠。辑把握的东西最可靠。古希腊流传下来的

25、有三大几何作图难题：1、化圆为方：=2、倍立方问题：=3、三等分角问题。它们的解决实际上都促进了它们的解决实际上都促进了几何与代数，也就是现在的解析几何与代数，也就是现在的解析几何的产生与发展。上述三个问几何的产生与发展。上述三个问题都是不可能的！题都是不可能的！1 1、化圆为方，因为、化圆为方，因为是超越无理是超越无理数。是不可作几何量。数。是不可作几何量。2、倍立方问题。因为、倍立方问题。因为 是不可作几何是不可作几何量。量。3、三等分角问题。、三等分角问题。以以60度角为例，度角为例，可得到代数方程可得到代数方程3231430,2yyy是不可作几何量。What does a proof“

26、prove”?What does it tell us?欧几里得的证明原图Henry Perigal(1801-1898)A particularly neat transformation of a2 and b2 into c2 This really shows the two squares on thesides becoming the square on the hypotenuse，20 的证明的证明欧几里得证明的现代叙述欧几里得证明的现代叙述 库默尔（库默尔（Kummer，1810-1893）在在1878年给出欧几里得证明的一个巧妙变形：年给出欧几里得证明的一个巧妙变形：美国

27、数学月刊美国数学月刊2006年年10期发表了期发表了一个关于素数无限性简短证明一个关于素数无限性简短证明 ab2.2.2 阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就2.2.2 阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就 公元前公元前287287年，阿基米德诞生于年，阿基米德诞生于西西里岛西西里岛的的叙拉古叙拉古(今意大利今意大利锡拉库萨锡拉库萨)。他出生于贵族，与。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是基米德的父亲是天文学家天文学家兼数学家，学识渊博，兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被为人谦逊。他十一岁

28、时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心送到古希腊文化中心亚历山大亚历山大 里亚城跟随欧几里得的学生学习、里亚城跟随欧几里得的学生学习、以后与亚历山大的学者保持密切以后与亚历山大的学者保持密切 联系。后世流传大量关于阿基米联系。后世流传大量关于阿基米 德的传说，后人称他为有史以来德的传说，后人称他为有史以来 最伟大的三位数学家之首。最伟大的三位数学家之首。阿基米德阿基米德数学之神“给我一个支点，我给我一个支点，我就可以移动地球。就可以移动地球。”阿基米德之死阿基米德之死圆的度量圆的度量 一个直角三角形的两条直角边分别等于一个直角三角形的两条直角边分别等于一个圆的半径和周长，则这个圆的面积一个

29、圆的半径和周长，则这个圆的面积和直角三角形的面积相等和直角三角形的面积相等.一个圆的面积与以圆的直径为边长的正一个圆的面积与以圆的直径为边长的正方形的面积的比值恰好接近方形的面积的比值恰好接近11：14.圆的周长小于它的直径与圆的周长小于它的直径与 的乘积但大的乘积但大于它的直径乘以于它的直径乘以 的乘积的乘积.13710371n平衡法平衡法n穷竭法穷竭法n阿基米德螺线阿基米德螺线平衡法平衡法 为了求得一图形的面积或体积，首先将这为了求得一图形的面积或体积，首先将这个图形分成平行窄条或平行薄片，把分成个图形分成平行窄条或平行薄片，把分成的这些部分吊在一个给定的杠杆一端，使的这些部分吊在一个给定

30、的杠杆一端，使之同一个面积（或体积）和重心己知的图之同一个面积（或体积）和重心己知的图形相平衡形相平衡.例例 “平衡法平衡法”推导球的体积公式推导球的体积公式阿基米德阿基米德案例案例 球体积公式球体积公式OBDACVXYWEFHLGMNPQRST案例案例 球体积公式球体积公式 AH:AT=圆柱截面:（圆锥截面球截面）(圆锥截面球截面)=圆柱截面 (圆锥AEF球)=圆柱EG，222:APACATACACATACATAH222:PTATMT222:PTRTMTAHATAHAO案例案例 球体积公式球体积公式 球=4 圆锥ABD 336134DRV 24RS案例案例 球体积公式球体积公式1A2A3A1

31、2 nA12 nA14 nAnA41A2A3AnA41B1C12 nB22 nC14 nAnA2nA2TO案例案例 球体积公式球体积公式 球外切圆柱之表面积 1221214nnnAAAAS1221214nnnAAAAS24RS32S 案例案例 球体积公式球体积公式nnnnpSVVVV44221431RSVnn4431334RV 2r2r2r2r2r2r2 r22rr2006年高考数学湖北卷文年高考数学湖北卷文9题题 试题分析试题分析 R t2009年高考数学湖北卷理年高考数学湖北卷理9题题 解析解析2010年高考数学湖北卷理年高考数学湖北卷理13文文14题题2012年高考数学湖北卷理科年高考数

32、学湖北卷理科10题题 穷竭法穷竭法 阿基米德用平衡法求出一个面积或体积后，阿基米德用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法给以严格的证明必再用穷竭法给以严格的证明.这种发现与这种发现与求证的双重方法，是阿基米德独特的思维求证的双重方法，是阿基米德独特的思维方式方式.这方面典型例子是抛物线弓形的求积这方面典型例子是抛物线弓形的求积.用穷竭法计算平面图形面积用穷竭法计算平面图形面积阿基米德螺线阿基米德螺线 一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线么这动点就描绘出一条平面

33、螺线.阿基米德探讨了螺线所围的面积，也研究阿基米德探讨了螺线所围的面积，也研究了螺线的切线，给出作图方法及种种性质了螺线的切线，给出作图方法及种种性质.阿基米德螺线阿基米德螺线阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯圆锥曲线论 克莱因（美，克莱因（美，19081992）：它）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。之作。贝尔纳（英，贝尔纳（英，19011971）：他）：他的工作如此的完备，所以几乎二千的

34、工作如此的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可以原封不动年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质地搬用，来推导行星轨道的性质。.古罗马斗兽场古罗马斗兽场 (建于公元建于公元70-8270-82年年)2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰弱BC 30-AD 600一一 海伦的海伦的量度量度 亚历山大后期的几何己失去前期的光辉，这一亚历山大后期的几何己失去前期的光辉，这一时期开始阶段唯一值得一提的是海伦（时期开始阶段唯一值得一提的是海伦（HeronHeron，约公元一世纪），其代表作约公元一世纪），其代表作量度量度，主要讨论，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，其中包括后各种几

35、何图形的面积和体积的计算，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式来以他的名字命名的三角形面积公式2ssasbscabcabcs 为 三 角 形 面 积，、为 边 长托勒密（埃及，托勒密（埃及，90165年）年）天文学大成天文学大成l 第一、二卷：地心体系的基本第一、二卷：地心体系的基本轮廓轮廓l 第三卷：太阳运动第三卷：太阳运动l 第四卷：月亮运动第四卷：月亮运动l 第五卷：计算月地距离和日地第五卷：计算月地距离和日地距离距离l 第六卷：日食和月食的计算第六卷：日食和月食的计算l 第七、八卷：恒星和岁差现象第七、八卷：恒星和岁差现象l 第九十三卷：分别讨论五大第九十三卷：分别讨论五大行星的

36、运动，本轮和均轮的组合行星的运动，本轮和均轮的组合在这里得到运用在这里得到运用丢番图的丢番图的算术算术丢番图的墓志铭丢番图的墓志铭 上帝给予的童年是六分之一，上帝给予的童年是六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进冰冷儿，享年仅及其父之半，便进冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完人生的旅补，又过四年，他也走完人生的旅途。途。四四 丢番图的丢番图的算术算术卷卷，8 将一个己

37、知平方数分成两个平方数将一个己知平方数分成两个平方数.用现代符号表达：用现代符号表达：22222.16.zxyxyzxyz己知平方数 ，求 和，使，这里、是正有理数丢番图以z为例说明其解法2010年高考数学湖北卷理科年高考数学湖北卷理科15题题 设设 ，称，称 为为 的的 调和平均数如图，调和平均数如图，C为线段为线段AB上上的点，且的点，且 ，O 为为AB中点，以中点，以AB为直径作半圆过为直径作半圆过点点C作作AB的垂线交半圆于的垂线交半圆于D，连结，连结OD,AD,BD 过点过点C作作OD的垂线，垂足为的垂线，垂足为E则图中线段则图中线段OD的长度是的长度是 的算的算术平均数，线段术平均

38、数，线段 的长度是的长度是 的几何平均数，线段的几何平均数，线段 的长度是的长度是 的调和平均数的调和平均数00ab，2 a babAC aCBba b，ab，AEDCBOa b，a b，2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴

39、题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2011年高考湖北卷理科压轴题的背景年高考湖北卷理科压轴题的背景2012年高考湖北卷理科压轴题年高考湖北卷理科压轴题 2011年高考湖北卷理科压轴题年高考湖北卷理科压轴题古希腊数学落幕古希腊数学落幕古希腊数学落幕古希腊数学落幕柏拉图学园被封闭 公元公元529529年东罗马皇帝查士丁尼（年东罗马皇帝查士丁尼（527527565565）下令封闭）下令封闭了雅典的所有学校了雅典的所有学校亚历山大图书三劫n 亚历山大图书馆：当时世界上藏书最多的图书馆亚历山大图书馆：当时世界上藏书最多的图书馆n 第第1 1次劫难：前次劫难：前4747年，罗马凯撒烧毁了亚历山大港的舰队，大火殃及亚历年，罗马凯撒烧毁了亚历山大港的舰队，大火殃及亚历山大图书馆，山大图书馆，7070万卷图书付之一炬万卷图书付之一炬n 第第2 2次劫难：公元次劫难：公元392392年罗马狄奥多修下令拆毁塞拉皮斯希腊神庙，年罗马狄奥多修下令拆毁塞拉皮斯希腊神庙，3030多万多万件希腊文手稿被毁件希腊文手稿被毁n 第第3 3次劫难：公元次劫难：公元640640年阿拉伯奥马尔一世下令收缴亚历山大城全部希腊书年阿拉伯奥马尔一世下令收缴亚历山大城全部希腊书籍予以焚毁籍予以焚毁作业作业2249xy用丢番图的方法求出 的两组正有理数解