1208一般周期函数的傅里叶级数课件.ppt

1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 以以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为周期为 2l 函数函数 f(x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换lxz 将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 10sincos2)(nnnl

2、xnblxnaaxf (在在 f(x)的连续点处的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1 其中其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:令令lxz ,则则,llx ,z令令)(zF,)(z lf 则)2()2(zlfzF)2(lz lf )(z lf)(zF 所以所以)(zF且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件,将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF(在在 F(z)的连续点处的连续点处)(xf变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数,机动

3、 目录 上页 下页 返回 结束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxz lan1xlxnxflbllndsin)(1),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(nxlxnxflldcos)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 lxnblxnaaxfnnn sincos2)(10 (在在 f(x)的的 连续点处连续点处)证毕证毕 10sincos2)(nnnznbznaazF(在在 F(z)的连续点处的连续点处)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)(nnbxf),2,1(dsin)(nxlxnxfbn 其中其中(在在 f(x)

4、的连续点处的连续点处)lxn sinl20l如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)2)(0axf),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan 其中其中1nnalxn cosl20l如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:无论哪种情况无论哪种情况,).0()0(21 xfxf在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,收敛于收敛于傅里叶级数傅里叶级数例例1.把把展开成展开成)20()(xxxf(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作

5、奇奇周期延拓周期延拓,则有则有2oyx),2,1,0(0 nan2022xbnxxnd2sin 0222sin22cos2xnnxnxn nncos4 ),2,1()1(41 nnn 在 x=2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 14)(nxf 2sin)1(1xnnn )20(x2oyx(2)将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf),2,1(0 nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nn200d22xxa2kn2,0,)12(822k),2,1(k则有则有12 kn机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxf)(12

6、22)12(cos)12(181kxkk )20(x说明说明:此式对0 x也成立,8)12(1212 kk由此还可导出由此还可导出121nn8212141nn61212 nn12)2(1kk 1222)12(cos)12(181)(kxkkxxf )20(x12)12(1kk据此有据此有2oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,)(baxxf 令令,2abzx 即即2abxz zabzfxfzF,)2()()(2,2abab在在 2,2abab 上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数)(zF周期延拓周期延拓将将2abxz )(xf在在,ba

7、代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束)(zFz55例例3.将函数将函数 2abxz )155(10)(xxxf展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:令令,10 xz设设)55()10()()(zzzfxfzF将将F(z)延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数,理条件理条件.由于由于F(z)是奇函数是奇函数,故故),2,1,0(0 nan 5052zbnzznd5sin nn10)1(),2,1(n则它满足收敛定则它满足收敛定机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,2abab 5sin)1(10)(1z

8、nnzFnn )55(z5sin)1(10101xnnxnn )155(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 为正弦为正弦 级数级数.内容小结内容小结1.周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a lxnblxnannn sincos1 (x 间断点间断点)其中其中 naxlxnxfllldcos)(1 nbxlxnxfllldsin)(1 ),1,0(n),2,1(n当当f(x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与

9、练习思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形图形?答答:易看出奇偶性及间断点易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答答:用系数公式计算用系数公式计算如分母中出现因子如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出从而便于计算系数和写出收敛域收敛域.,时时nnbakkba 或则则必须单独计算必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题)11(2)(xxxf将期的傅立叶级数,并由此求级数121nn(91 考研)解解:y1ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101)1(222nn因 f(x)偶延拓后在,),(上连续 x225,)12cos()12(14122kkk展开成以2为周1,1x的和.故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束,0 x令得122)12(14252kk故8)12(1212kk121nn12)12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12)12(134nn62机动 目录 上页 下页 返回 结束