领导与竞争优势专题帝国传奇郭台铭的领导特质组别:第五组课件.ppt
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1、1第5章 静电场边值问题的解法 5.1 边值问题分类边值问题分类5.2 积分法积分法5.3 唯一性定理唯一性定理5.4 分离变量法分离变量法5.5 镜像法镜像法5.6 有限差分法有限差分法习题习题第5章 静电场边值问题的解法2第5章 静电场边值问题的解法本章提要l边值问题分类l唯一性定理l分离变量法l镜像法l有限差分法3第5章 静电场边值问题的解法前面我们讨论了基于库仑定律与叠加原理或高斯定理计算电场的方法,这些方法只能适用于已知电荷分布十分简单的问题。实际上在电工中经常遇到的是这样一类问题:给定空间某一区域内的电荷分布(可以是零),同时给定该区域边界上的电位或电场(即边值,或称边界条件),在
2、这种条件下求解该区域内的电位函数或电场强度分布。从数学上来讲,这些问题都是在给定的定解条件边界条件下,求解泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题,称为边值问题。4第5章 静电场边值问题的解法静电场边值问题的解法分为解析法和数值法两大类。用解析法得到的场量表达式是准确值,但是它只能解决规则边界的边值问题。本章主要介绍解析法,包括积分法、分离变量法、镜像法。数值解属于近似计算,但对于不规则边界等复杂的静电场问题是非常有用的方法。随着计算机的广泛使用,数值法已成为边值问题求解的主要方法。由于篇幅所限,因而本章只简单介绍数值法中的一种有限差分法。5第5章 静电场边值问题的解法根据给定求解区域边界条件的不同,
3、边值问题分为以下三类。第一类边界条件又称狄利赫莱(Dirichlet)条件:场域边界S上的电位分布已知,即(51)式中rb为相应边界点的位置矢量。5.1 边值问题分类边值问题分类 1bSfrr6第5章 静电场边值问题的解法第二类边界条件又称纽曼条件:场域边界S上电位的法向导数分布已知,即(52)当f2(rb)取零时,称为第二类齐次边界条件。2bSfnrr7第5章 静电场边值问题的解法第三类边界条件又称混合条件:场域边界S上电位及其法向导数的线性组合已知,即(53)在实际问题中,除了给定边界条件外,有时还需要引入某些补充的物理约束条件,称为自然边界条件。在求解边值问题中,自然边界条件非常重要,但
4、它又不是事先给定的,必须根据问题自行确定,举例如下。34bSffnrrrr8第5章 静电场边值问题的解法无限远边界条件:对于电荷分布在有限域的无边界电场问题,在无限远处有(r)|r0,即电位在无限远处趋于零。介质分界面条件:当场域中存在多种媒质时,还必须引入不同介质分界面上的边界条件,即用电位表示的边界条件和 1 2,此边界条件又称为辅助的边界条件。2122snn9第5章 静电场边值问题的解法对于一些具有对称结构的静电场问题,电位函数仅是一个坐标变量的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题,这时可以直接积分求解电位函数。【例5-1】求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布,
5、设电荷体密度为5.2 积积 分分 法法ararr 00 110第5章 静电场边值问题的解法解解 设球状电荷分布内、外的电位分别为1和 2。显然,1满足泊松方程,2满足拉普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性,选取球坐标系,因而有221120022222d1 d1ddd1 d0ddrrrrrrrrr (0ra)(ra)11第5章 静电场边值问题的解法边界条件为可解得1和 2的通解为112012002d0ddd0ddr ar arrr ar arrr,11203242CrCrCCr 12第5章 静电场边值问题的解法代入边界条件,得最终得到电位函数的解为21423000,0,2aaCCCC 100()2
6、rara 13第5章 静电场边值问题的解法利用球坐标系中的梯度表达式,求得可以证明,以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。111022222012()2rrrrdradrdaradrr EeeEee()14第5章 静电场边值问题的解法直接积分法只能求解比较简单的问题,在比较复杂的情况下,必须用其他方法求解。在讨论这些方法之前,了解静态场解的唯一性定理非常重要。静态场解的唯一性定理:满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。5.3 唯一性定理唯一性定理15第5章 静电场边值问题的解法图51 包围含有导体的场域16第5章 静电场边值问题的解法【例5-2】证明:唯一性定理。证明 图5
7、1所示为充满均匀介质和置有n个导体的场域。场域空间V的边界为S1,S2,Sn及外边界面S0。设V中存在两个电位函数1和 2,对于给定第一类或第二类边界条件,均满足泊松方程,即(54)2212,17第5章 静电场边值问题的解法令d 1 2,因此有 2 d0(55)利用格林公式可得(56)令 d,代入上式得(57)2dVSVdSn 2ddddVSVdSn 18第5章 静电场边值问题的解法式(57)中场域V的边界面SS0S1S2Sn。如果所设的这两个不同的电位函数的解1和 2,在全部边界面上都应有相同的第一类边界条件或第二类边界条件,则它们在相应边界面Si上的差值 将其代入式(57),有(58)dd
8、00iiSSn或,2dd0VV19第5章 静电场边值问题的解法这说明,场域V内d的梯度处处为零,即V内所有场点上的 d值与其在各导体表面S1,S2,Sn上的值是相同的。对于第一类边值问题,由于在导体表面上已知 d0,因此整个场域内必有d0,由此得证 1 2,即解是唯一的。对于第二类边值问题而言,即已知各导体表面上的面电荷分布,此时 dC,即电位 1和 2之间可能相差一个常数,但采用相同的电位参考点将导致C0,所以解仍是唯一的。20第5章 静电场边值问题的解法静电场唯一性定理的重要意义在于,求解静电场问题时,不论采用哪一种解法,只要在场域内满足相同的偏微分方程,在边界上满足相同的给定边界条件,就
9、可确信其解答是正确的。21第5章 静电场边值问题的解法当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时,分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。对于拉普拉斯方程对应的边值问题,其求解步骤是:根据问题中场域边界的几何形状,选用适当的坐标系;设待求电位函数由两个或三个各自仅含一个坐标变量的函数乘积组成,并代入拉普拉斯方程,借助于“分离”常数,将拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程;解这些常微分方程并以给定的定解条件决定其中的待定常数和函数后,即可解得待求的电位函数。5.4 分离变量法分离变量法22第5章 静电场边值问题的解法一般而言,当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时,分离变
10、量法往往是一种简便而有效的方法。下面以直角坐标系和圆柱坐标系中的二维场为例说明分离变量法的应用。23第5章 静电场边值问题的解法5.4.1 直角坐标系中的二维场问题直角坐标系中的二维场问题设电位函数为(x,y),其满足拉普拉斯方程:(59)设电位函数可写成分离变量形式,即(x,y)X(x)Y(y)(510)代入拉普拉斯方程,整理得(511)22222,0 x yxy22221 d1 d0ddXYXxYy24第5章 静电场边值问题的解法令或写成(512)2222221 d1 dddxyXYkkXxYy ,2222221 d0d1 d0dxyXkXxYkYy25第5章 静电场边值问题的解法kx、k
11、y称为分离常数,且满足(513)由式(513)可知,二维拉普拉斯方程在分离变量时只有一个独立的分离常数,即kx或ky,而且它们不能同为实数或虚数,但二者可以同为零。现以方程为例进行说明。220 xykk2221 ddxXkXx 26第5章 静电场边值问题的解法(1)若,解为X(x)a0 xb0(514a)(2)若,解为(514b)20 xk20 xk 1122chshxxxxk xk xX xak xbk xX xa eb e或27第5章 静电场边值问题的解法(3)若,解为X(x)a3coskxxb3sinkxx(514c)以上各式a0、b0、a1、b1、a2、b2、a3、b3均为待定常数。Y
12、(y)的解形式与X(x)完全相同,只是分离常数必须满足式(513)要求。20 xk28第5章 静电场边值问题的解法当kx、ky取不同值时,上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解,即(515)最后,可根据给定的边界条件,通过傅里叶级数展开方法,确定各个待定常数。00001111222213333,()()chshchshcossincossinynynxnxnnynnynnxnnxnkxkxkxkxnnnnnnxnnxnnynnynx ya xbc ydck xdk xak xbk xa eb ec ed eak xbk xck xdk x29第5章 静电场边值问题的解法【例5-3】长直接地
13、金属槽的横截面如图52所示,其侧壁与底面电位均为零,顶盖电位为U0。求槽内电位分布。解解 依题意,本问题为第一类边值问题,即在区域0 xa,0y0)的区域中每一点的电位。通常的求解方法是在直角坐标中解拉普拉斯方程:(536)此方程适用于除了点电荷以外的整个z0区域。解(x,y,z)应满足下列条件:22222220 xyz48第5章 静电场边值问题的解法(1)在接地平面的所有点上,电位为零,即(x,y,z)0(2)在很靠近q的点上,其电位趋近于单个点电荷的电位,即其中r是该点与q之间的距离。(3)在离q非常远的点(x,y或z)上,电位趋于零。(4)电位函数是x和y坐标的偶函数,即 由此看来,构造
14、一个满足所有这些条件的解,确实是很困难的。04qr,x y zx y zx y zx yz49第5章 静电场边值问题的解法从另一个观点来看,在zd处存在正电荷q,它将在导体平面的表面感应出负电荷,产生面电荷密度S。因此,导体平面上方各点的电位将是其中r为从dS到所考察点的距离,而S为整个导体平面的表面。这里的问题在于,必须首先根据边界条件(x,y,0)0求出S。而且,即使求出了导体平面每一点的S,计算上式的面积分也是困难的。下面我们通过例题说明使用镜像法如何大大地简化这些问题。222001,d44Ssqx y zSrxyzd50第5章 静电场边值问题的解法5.5.1 对无限大接地导电平面的镜像
15、对无限大接地导电平面的镜像1点电荷和导体平面点电荷和导体平面【例5-5】设有一点电荷q位于距无限大接地导电平面上方h处,其周围介质的介电常数为,如图54所示。求导体平面上方区域空间点的电位。解解 根据题意可知,电位函数在场域内满足如下边值问题:2 0(除去点电荷所在点)边界条件为|z0051第5章 静电场边值问题的解法图54 点电荷对无限大接地导电平面的镜像(a)无限大接地导电平面上的点电荷;(b)点电荷的镜像52第5章 静电场边值问题的解法可以设想,在场域边界外引入一个与点电荷q呈镜像对称的点电荷qq,并将原来的导体场域用介电常数为的介质所替换。这样,原场域边界面(z0)上的边界条件0保持不
16、变,而对应的边值问题被简化为同一均匀介质空间内两个点电荷的电场计算问题。根据唯一性定理可知,其解的有效区域仅限于图54(b)所示上半部分介质场域。应用镜像法,得待求电位为53第5章 静电场边值问题的解法(537)用直接代入法,很容易证明式(537)的(x,y,z)满足式(536)的拉普拉斯方程。显然,它也满足列于式(536)后面的所有四个条件,因此式(537)是原问题的解,而且鉴于唯一性定理,它是唯一的解。222222121111,44qqzrrxyzhxyzh 54第5章 静电场边值问题的解法无限大接地导电平面上感应电荷的面密度分布为式中负号表示感应电荷与点电荷q的极性相反。对感应电荷作面积
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