量子信息与量子计算课件.ppt

1、12010203概况三点击此处输入相关文本内容整体概况概况一点击此处输入相关文本内容概况二点击此处输入相关文本内容3通信系统的理论模型研究信息的产生、存储、加工、传播等行为的科学理论4信源 产生消息和消息序列的源编码器 把信息转化为信号的设备 （1 1）信源编码器：提高信息传输的效率 （2 2）信道编码器：提高信息传输的可靠性3.3.信道 通信系统把载荷消息的信号从甲地传输到乙地的媒介译码器 对信道输出的编码信号进行逆变换的设备信宿 消息传送的对象5？信息是什么？衡量通信的有效程度和可靠程度的标准是什么？怎样判断通信方法的优和劣？6！7 一门新兴的、以量子力学与经典信息学理论为主干的 交叉性学

2、科。信息学量子力学量子隐形传态量子密钥分发量子计算机量子算法8 1.1 量子信息 1.2 经典解读 1.3 量子逻辑门（量子逻辑电路）简介 1.4 图灵机、经典计算机与量子计算机 1.5 有关量子信息编码的基本概念9 现代物理将微观世界中所有的微观粒子（光子、电子、原子等）统称为量子。量子假说：对于一定频率 的电磁辐射，物体只能以此最小单位吸收或发射它，换言之，吸收和发射电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个“量子”的能量可以表示为:h 1.1 量子信息一、量子力学基础式中 为普朗克常数。h(1.1-1)10描述微观粒子在三维空间运动的波函数可以用坐标矢量 r=(x,y,z)和时间t的复函数（r

3、,t）来表示。粒子的波函数也叫做几率幅，其模的平方表示在时刻t粒子出现在位置r上的几率密度。2*(,)(,)(,)r tr tr t微观粒子的波函数也可用Dirac符号表示，即复矢量空间的右矢 也可用于表示波函数。叫做态矢量，它可以用n维复矢量空间的列矢量表示:12naaa12,na aa为坐标矢量r,时间t和自旋S的函数(1.1-2)(1.1-3)11利用Dirac符号，两个量子态 和 的叠加态可以表示为：12cc右矢量的复共轭矢量叫做左矢量，n维左矢量可以表示为：*12,na aa波函数满足归一化条件：1 n维矢量空间中单位矩阵可以用任意的、构成完备系的基矢 表示：iiIii(1.1-4)

4、(1.1-5)(1.1-6)(1.1-7)12从而，态矢量 可以表示成基矢 的线性组合iiii其中，基矢 满足正交、归一条件iiji j各种可观测量叫做作用于波函数上的算符。任何一个物理量算符A的期待值或平均值为：*,AAr t Ar t dr物理量A的测量值必须为实数(1.1-8)(1.1-9)(1.1-10)13自旋 的粒子在z轴方向的投影只有自旋向上和向下两种可能，因此可自旋 的粒子的状态可用二分量矢量来表示。朝z轴正向的自旋（自旋向上）态 和朝z轴负向的自旋（自旋向下）态 可用列矢量表示:121201 10 (1.1-11)自旋 的粒子的自旋角动量算符可以表示为：1212S(1.1-1

5、2)14因为态矢量 和 均为二分量，自旋角动量算符应为22矩阵。式（1.1-12）中22矩阵 的x,y,z的分量分别为:0110 x00yii1001z(1.1-13)Pauli 自旋矩阵【例 1.1-1】试用自旋算符 ，的本征态 和 表示 的本征态。2Szsxs解 设 的本征值为 和 的本征态分别记作 和 ，的本征值为 和 的本征态分别记作 和 。将 用 的本征态 和 展开，则xsxxzszz12121212xzszzxzzaabb (1.1-14)15由 的归一化条件可得x221xxab(1.1-15)由 Pauli 矩阵 的本征值方程xxxx(1.1-16)即0110ababab (1.

6、1-17)得到ab(1.1-18)再利用式（1.1-15）得到 ，因此最后得到 的自旋向上的本征态：12abxs1()2xzz(1.1-19)16对于 ，利用xxxx (1.1-20)或者0110ababab(1.1-21)得到ab(1.1-22)从而有(1.1-23)由式(1.1-19)和式(1.1-23)很容易验证两个本征矢的正交性0 xx(1.1-24)作业：试用自旋算符 ，的本征态 和 表示 的本征态。2Szsys1()2xzz 17二、量子信息量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。图1.11 具有两个电子层面的原子可以表示量子信息 Quantum represented by

7、two electronic levels in an atom 光子具有两个不同的线偏振态或 椭圆偏振态；恒定磁场中原子核的自旋；具有二能级的原子、分子或离子；围绕单一原子自旋的电子的两个状态（如图1.1-1）等。18三、量子信息的基本存储单元及其特性经典信息的基本存储单元，可以由经典状态1和0（如电压的高低）表示。量子信息的基本存储单元，一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量，它的两个极化状态 和 对应于经典状态的0和1。01100 011 (1.1-25)a 01b(1.1-26)n个量子比特的状态：121,2,nn(1.1-27)一个量子比特能够处于既不是 又不是 的状态上，而是处

8、于 和 的一个线性组合的所谓中间状态之上，即处于 和 的叠加态上。00011119由于信息载体（量子）的微观特性，量子信息就变的多姿多彩。这些微观特性主要表现在：量子态相干性：微观系统中量子间相互干涉的现象成为量子信息诸多不可思议特性的重要物理基础；量子态纠缠性：N(大于1)个量子在特定的(温度、磁场)环境下可以处于较稳定的量子纠缠状态，对其中某个子系统的局域操作会影响到其余子系统的状态；量子态叠加性：量子状态可以叠加，因此量子信息也是可以叠加的，所以可以同时输入和操作N个量子比特的叠加态；量子不可克隆定律：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确的复制，量子不可克隆定律和测不准原理构成

9、量子密码术的物理基础。20 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。量子力学理论描述量子信息演绎的行为。薛定谔方程制约着量子态信息的每一步演变，线性代数的幺正变换约束着可逆的量子态信息计算；量子信息的传输是由量子通道端点上量子纠缠集合状态的变化（微观客体的关联具有非局域的性质，且可以延伸到很远的距离），结果信息的获取便是在得到输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。21四、线性代数中的量子符号及其运算的简介量子力学理论是线性的。我们已知在量子力学态矢空间中使用标准符号 描述

10、向量，且用 0 表示该向量空间的零向量，因此对于任意的 ，下列等式成立：v0vv(1.1-28)一个向量空间的生成集合是一个向量集合 ，该向量空间中的任意向量 都能够写成这个生成集合的线性组合 。1,nvvviiiva v2C例 向量空间 的生成集合是110v 201v (1.1-29)2C中的任意向量12ava(1.1-30)能够写成 和 的线性组合 。我们说 和 生成向量空间 。v1v2v1122va va v1v2v2C22张量乘积是线性代数的基本运算1 1111222 12nnnmmnababababa ba baba b(1.1-31)23表1.11给出了线性代数中表述量子力学中量的

11、标准符号及其简要说明。表1.11 线性代数中一些量子力学标准符号及其简要说明24四、量子态叠加与量子态纠缠（纠缠态）量子态的叠加性源于微观粒子“波粒二象性”的波动“相干叠加性”（一个以上的信息状态累加在同一个微观粒子上的现象）。量子纠缠状态（entangled state）指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性（一个以上的微观粒子因微观系统的特性相互交缠在一起的现象）。量子态可以叠加的物理特性是实现量子并行计算的基础。量子态能够纠缠是实现信息高速的不可破译通信的理论基础，它们都是量子信息理论中特有的概念。25（A）量子态的矩阵表示

12、例：一对量子比特 100 011 (1.1-32)能够组成四个不重复的量子比特对 ，求出它们张量积的矩阵表示。00011110(1.1-33)很显然集合 是四维向量空间的生成集合。00,01,10,11 26（B）量子态叠加与量子态纠缠当量子比特列的叠加状态无法用各量子比特的张量乘积表示的话，这种叠加状态就称为量子纠缠状态。例：有一量子叠加状态(1.1-34)0由于其最后一位量子比特位都是 ，因此能够将它写成量子比特 与量子比特 的乘积：0(1/2 01/2 1)(1.1-35)但是，对于下列的量子叠加状态：(1.1-36)无论采用怎样的方法都无法写成两个量子比特的乘积。这个叠加状态就称为量子

13、纠缠状态。返回27量子状态叠加与并行处理的关系用两个简单的例子介绍：例：十进制数 10 和 5，若用量子比特来表示，则可分别写成 10101010101010501010101(1.1-37)取它们的叠加态 10101051010010110100101(1.1-38)2811122()()()()ninnxf xxf xxf xxf x(1.1-39)例：同时计算一个函数 f(x)在 一系列位置上的取12,nxxxxx()f x值，我们也可以取更复杂的纠缠态。如设置x和 y=f(x)为两个存储器，他们的量子态分别为 和 ，则下列纠缠态就包含了该函数整体上的信息：对它实施各种运算，就如同并行计

14、算一个函数 f(x)在 一系列位置上的函数值。12,nxxxx具体的考虑单量子比特体系0,1x0,1f(1.1-40)29将运算 f(x)作用到具有两个寄存器 的状态 ，其中，第一个寄存器 叫做数据寄存器，第二个寄存器 叫做目标寄存器。设算符 作用于状态 ，给出,xy,x yxyfU,x y,()fUx yx yf x(1.1-41)运算过程如下：如图1.1-2所示，首先将Hadamard们作用到数据存储器的状态 上，接着再作用 ，则可以得到fUx10,0(0,01,0)21(0,(0)1,(1)2ffU HUff(1.1-42)30由此可见图1.1-2 量子并行计算由于并行计算，和 的结果同

15、时以线性组合的形式包括在式（1.1-42）的状态 中(0)f(1)f31 1.2 经典解读一、薛定谔猫和EPR佯谬薛定谔猫的实验装置巧妙地将微观放射源和宏观的猫联系起来32量子力学是否自洽是否完备爱因斯坦(A.Einstein)波多尔斯基(B.Podolsky)罗森(N.Rosen)玻尔33ERP对(A,B)总自旋为0的粒子对粒子A粒子B34这场争论的本质 真实世界是遵从爱因斯坦的居于实在论，还是玻尔的非局域理论？判定这场战争的依据 基于爱因斯坦的隐参数理论推到得到的贝尔不等式35 1.4 图灵机、经典计算机与量子计算机一、图灵机与经典计算机经典计算机实际上就是一个通用图灵机（Turing-m

16、achine，简称TM）图灵机的基本模型记忆单元：可以想象成一条磁带（Tape）处理单元：可以想象成一个读写头（Head）控制单元36TM运算过程 37TM正式定义：M=(Q,)有限状态集转移函数有限带符号集磁带上空白用#或B表示转移函数 :Q Q L,R,N 38图灵机工作原理举例【例 1.4-1】设磁带方格上的字符是0和1。试设计能够反转输入到磁带各方个字符的机器。解 可以设计如下 控制单元的状态设为0；设磁带方格的字符为0或1或B三种；控制规则见表1.4-1 表1.4-1 假定最初读写头在左端 输入：输出：39【例 1.4-2】试设计能够将磁带上整个字符往右平移一个方格的图灵机。最左端方

17、格上的字符设为0。解 控制状态也可以取 和 。控制单元的状态：；设磁带方格的字符为0或1或B三种；控制规则见表1.4-200q 11q 00q 11q 表1.4-2 假定最初读写头在磁带左端，状态为 00q 在这一图灵机中，控制单元起寄存器的作用40控制规则的另一种表示方法：41【例 1.4-3】试设计能够将磁带上整个字符往左平移一个方格的图灵机。最右端方格上的字符设为0，最初读写头在磁带左端解 控制状态也可以取 和 。控制规则见表1.4-300q 11q 表1.4-342【例 1.4-4】试设计能够复制磁带上字符#ab#，使其输出为#ab#ab#。最左端方格上的字符设为#。解 TM的运算过程

18、如下43二、量子计算机 量子信息理论的研究起始于二十世纪七十年代的光量子通信研究。二十世纪八十年代初，计算机科学的研究领域里就出现了量子计算机的概念。在进入九十年代之后由E.Bernstein 和U.Vazirani俩位对量子计算机在数学上给予严格的形式化描述44量子计算机 一类遵循量子力学规律存储量子信息、实现量子计算的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法时，它就是量子计算机。经典计算机特点量子计算机特点（A）量子计算机的输入态和输出态为一般的叠加态，其相互之间通常不正交；（B）量子计算机中的变换为所有可能的幺正变换。得出输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量，

19、给出计算结果。（A）经典计算机输入态和输出态都是经典信号；（B）经典计算机内部的每一步变换都将正交态演化为正交态。45 通用图灵机是不可逆的。但Bennett 证明了，所有经典不可逆的计算机都可以改造为逆计算机，而不影响其计算能力。量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究！图1.4-1 不可逆异或门改进为可逆异或门46 1.5 有关量子信息编码的基本概念一、量子信息编码量子编码的目的就是为了纠正和防止消相干引起的量子错误量子信息编码的困难：（A）量子态不可克隆定理禁止态的复制；（B）在量子情况下，测量会引起态坍缩，从而破坏量子相干性；（C）而量子错误的自由度要大得多对于一种确定的输入态，其输出态

20、可以是二维空间中的任意态。47解决方案：（A）量子编码时，单比特态不是被复制为多比特的直积态，而是编码为一较复杂的纠缠态（B）量子纠错在确定错误图样时，只进行部分测量（C）量子错误的种类虽然为连续统，但它可以表示为 3种基本量子错误(对应于3个Pauli矩阵)的线性组合只要纠正了这 3种基本量子错，所有的量子错误都将得到纠正 48二、量子编码定理量子信源编码定律量子信道编码定律Schumacher 的定理表明，如果所有 均限制为纯态，以 2 为底冯诺伊曼熵 确定了所需的最小量子比特数。Schumacher 的定理后来经 Holevo推广到 为混合态的情况，此时相对冯诺伊曼熵 确定了所需的最小量

21、子比特数。iP2()(log)Str()()iiiSPSi量子信道的经典信息容量已完全确定，它可以用前面引入的相对冯诺伊曼熵表示出来。量子信道的量子信息容量尚未完全解决，但也已经取得重要突破。49三、量子编码方案（A)纠随机错的量子码（B)纠随机错的量子码通常所谓的量子纠错码即指纠随机错的量子码量子比特有可能发生合作消相干，结果导致各个比特出错的概率相互关联，此即合作量子错50 2.1 经典比特、量子比特及其叠加状态 2.2 量子比特的测定 2.3 量子比特对与量子比特列阵 2.4 量子比特的基本操作51 2.1 经典比特、量子比特及其叠加状态 记述经典信息的二进制存储单元称为经典比特(bit

22、)，经典比特由经典状态的1和0表示 记述量子信息的基本存储单元称为量子比特(qubit)，一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量，它的两个极化状态 和 对应于经典状态的0和1。01 qubit可以去无限多个值 bit只能取0和1值52复数向量 和 的长度均为1，且 和 的内积为0。0101100 011 (2.1-1)11012 11112(2.1-2)或无论选择哪一组量子比特对，都是直交的基底53a 01b量子比特除了可以处于 和 以外，还可以处于两个状态的叠加态量子比特与经典比特的本质不同点01(2.1-3)若量子比特用光子的偏振态来表示，即 表示垂直偏振光 ，表示水平偏振光 ，则01

23、对应于偏光 的状态：对应于偏光 的状态：110122（+）=（+）(2.1-4)110122（）=（）(2.1-5)54对应于右旋偏振光的状态：对应于左旋偏振光的状态：11R0122ii（+）=（+）(2.1-6)110122Lii（）=（）(2.1-7)55 2.2 量子比特的测定？a 01b量子比特 将以下列方式被转换，以概率 变换成 bit 0 22200 001aba概率 变换成 bit 1 22211011abb56状态 和 的选择方法不同，所获取的经典比特（即bit 0和bit 1）的发生概率也将不同。10若向量表示的qubit为(2.2-1)选择式（2.1-1）则该状态取bit值

24、的概率分别为：取bit 0的概率 2取bit 1的概率 2选择式（2.1-2）则该状态取bit值的概率分别为：取bit 0的概率 22取bit 1的概率 221111220122 57 2.3 量子比特对与量子比特列阵两个经典比特 00，01，10，11两个量子比特00,01,10,11量子比特对可以表示为：0001101100011011(2.3-1)通过测定取经典比特各种列值的概率测定结果出现概率0001101122000022010122101022111158量子比特对第一位测定的结果：取bit 0的概率 220001取bit 1的概率 221011量子比特对第一位测定后，剩余第二位q

25、ubit的状态将发生变化bit 0的概率 000122000101bit 1的概率 10112210110159【例 2.3-1】试求贝尔态基矢之一的量子比特对 的测量结果00112解 这个量子比特被同时测定时测定结果出现概率0001 010 011220011222211112260测定该量子比特对第一位的结果：取bit 0的概率 11022取bit 1的概率 11022剩余的qubit状态为0剩余的qubit状态为1n个qubit组成量子比特阵列构成 维的复向量2n返回61 2.4 量子比特的基本操作X-Gate称为bit反转演算子X-Gate01X1001X10(2.4-1)即X0110

26、(2.4-2)易见X 01X 10(2.4-3)62*0101X XI1010(2.4-5)X-Gate是幺正矩阵复矩阵U是幺正矩阵的充分必要条件：*U UI(2.4-4)63Z-Gate称为位相反转演算子Z-Gate1001ZZ-Gate作用到状态 和 上状态发生变化011011000100Z 1000110111Z (2.4-6)Z-Gate也是幺正矩阵*1010I0101Z Z(2.4-7)64H-GateH-Gate111112HH-Gate作用到状态 和 上状态发生变化011111011H 0110122 1101011H 1111122 (2.4-8)连续两次作Hadamard变换

27、的演算等于一次恒等变换211111H=HHI11112(2.4-9)65H-Gate也是幺正矩阵*11111H HI11112(2.4-10)量子演算子的组合100101ZX011010(2.4-11)ZX也是幺正矩阵*0101(ZX)(ZX)I1010(2.4-12)66 对于单一qubit的3个常用演算子(量子逻辑门电路)67控制非门（Controlled-Not-Gate）Controlled-Not-Gate10000100C-NOT00010010控制非门电路表示68控制非门的输入、输出关系输入状态输出状态693个控制非门组成的简单量子回路的输入、输出关系a,b输入列b,a输出列70

28、 3.1 量子纠缠状态 3.2 量子高密度编码 3.3 采用量子比特的通信界限 3.4 量子瞬间传递（Teleportation隐形传态）3.5 量子纠缠状态的交换71 3.1 量子纠缠状态量子纠缠态再看如下的叠加状态1(010011100101)21111(0110)(01)2222(3.1-1)(3.1-2)也是纠缠态一、量子纠缠态72Bell基矢（最大纠缠态）()00()01()10()1110(0011)1022101(0110)1122010(0011)1022101(0110)11220(3.1-3)73贝尔基矢是qubit对的一组正规直交基底000000110011200 001

29、1 0000 11111121(3.1-4)001000110011200 0011 0000 11111120(3.1-5)74量子纠缠态的生成法图3.1-1 生成贝尔状态的量子状态变换回路量子纠缠态呈现出特殊的性质75二、量子密钥分配（Quantum key distribution，QKD）Ceaser密码将26个拉丁字母书写的原文按确定的错位规则重新编写成密文的技术。(3.1-6)()mod26f xx编码译码1()mod26fyy(3.1-7)76单时拍密码单时拍密码方案第一步：信息的发送者制备与原文（）同长度 的单时拍密钥（），以便与接收者共用。12,na aa12,nb bb第二

30、步：发送者将原文编成密文发送给接收者modiiicabN第三步：接收者用密钥将密文复原成原文modiiiacbN77公开钥密码RSA密码方案第一步（接收者）：由两个自然数组成的公开钥（e,n）和密钥（d,n）的制作方法如下（必须满足nm）：设原文为m。考虑用RSA编码方法制作相应的公开钥和密钥。(a)选取两个其乘积大于m的大素数p和q，并求出它们的乘积n=pq和欧拉函数()(1)(1)npq(b)选取比n小且满足gcd()=1的数e(),n e(c)寻找满足 和以 为模的同余式1()dn()n1mod()edn1(1mod()den的数d。销毁p、q78RSA密码方案第二步（接收者）：将做成的

31、公开钥（e,n）用网络等公开手段发送给接收者第三步（发送者）：如果nm，则利用公开钥（e,n），由待送的原文m计算modeymn并将密文y发送给接收者第四步（接收者）：根据由发送者传来的密文并利用密钥（d,n）计算moddmyn79ABAB0000112用户A用户B第一位第二位测定结果0011测定自己拥有的qubit80BB84协议利用偏振光进行量子密钥分发的协议。81量子高密度编码能够实现1个qubit传送2bit信息的机能 3.2 量子高密度编码ABAB0000112送信者A收信者B第一位第二位 对应自己想要发送的信息，在自己拥有的qubit上实施操作82送信者A实施如下的操作希望发送的信

32、息对送信者拥有的qubit实施的操作实施操作后的纠缠状态00什么操作也不施加01施加X-Gate演算10施加Z-Gate演算11施加X-Gate演算和Z-Gate演算ZX01X1010Z0100ABAB00ABAB01X 00X 11X210012ABAB00ABAB10Z 00Z 11Z200112ABAB00ABAB11ZX 00ZX 11ZX21001283收信者通过基于贝尔状态的测定，能准确地（即概率为1）知道qubit对的状态是4个状态中的哪一个，并能获得送信者发来的信息。判定结果送信信息0001101100011011实现一个qubitqubit传送两个bitbit值的高密度编码8

33、4【例 3.2-1】借助量子高密度编码原理，考虑送信者希望将bit列10传送给收信者。解 送信者将自己拥有的一位qubit施加Z-Gate演算的结果传送给收信者，则收信者得到 ABAB10ABABZ 00Z 11200112(3.2-1)通过测定可以判定该quibit对是贝尔状态中的某一个。200100201100210101211100传送的bit信息为1085 3.3 采用量子比特的通信界限定理 假设A有n个bit的信息要传送给B。假定A和B不共有纠缠状态，且无论从A到B或是从B到A，双向都可以无误地传送qubit。此时设从A传送到B的qubit总数为 ，从B传送到A的qubit总数为 ，

34、则B能够正确地获得A传送的n个bit的信息的充分必要条件是ABnBAn2ABnnABBAnnn(3.3-1)(3.3-1)上面两式同时成立，而且即使A和B共有无数个纠缠态，式（3.3.-1）依然成立86解 因为n=9，则652ABnn (3.3-3)639ABBAnnn(3.3-4)满足定理条件，因此可以通过传送满足条件个数的qubit就能够实现经典bit 的传送【例 2.3-1】如果A向B传送的qubit数少于等于6bit（），B向A传送qubit数少于等于3bit（），此时考虑A向B传送9个bit经典信息的方法能否实现。ABnABn87但是，当A向B传送9个bit的信息是，送信的qubit

35、 位数不能少于 以及 ，无论哪一方少于这个约定，都会出现6ABn3BAn639ABBAnn(3.3-5)违背定理，不能实现传送88 3.4 量子瞬间传递（Teleportation 隐形传态）量子teleportation与量子高密度编码的比较量子teleportation量子高密度编码共有状态贝尔状态贝尔状态利用的通道经典信道量子信道发送的信息1个qubit2位bit使用信道传送的信息2位bit1个qubit89ABAB0000112送信者A收信者B第一位第二位量子隐形传态 对应自己想要发送的qubit信息，在自己拥有的两个qubit上实施操作90提问与解答环节Questions and answers91结束语 感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边92最后、感谢您的到来 讲师：XXXX 时间：202X.XX.XX