与圆有关的比例线段课件.ppt

1、2.5 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段探究1:如图1,AB是O的直径,CDAB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.D图1RtAPDRtCPB.APCOB探究2:将图中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图），结论（）还成立吗？D图图APOBCPAPB=PCPD(1)D图图APBOC探究3:上面讨论了CDAB的情形进一步地,如果CD 与AB不D图图垂直，如图,AB、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（）还成立吗？D图图D图图BABAPBOAPOCPAPB=PCPD(3)

2、PCOCPAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(1)证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.APDCPB.综上所述，不论AB、CD具有什么样的位置，都有结论（）成立！相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.DBPAOCAB、CD是圆内是圆内,交点为交点为P,PA?PB=PC?PD.几何语言：几何语言：的任意两条相交弦的任意两条相交弦探究4:使圆的两条弦的交点从 圆内（图）运动到圆上（图），再到圆外（图），结论(1)还成立吗？D图图3BD图图4BPOAOC(C,P)A当点当点P在圆外在圆外,连接连接AD、BC,容

3、易证明容易证明:PADPCB,所以所以PA:PC=PD:PB,即即PA?PB=PC?PD 仍成立仍成立.D图图5BOCAP割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.D图图5BOCA应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PPAB,PCD是是O 的割线的割线,PA?PB=PC?PD.CPOA图图3BCD图图5OBP点点P从圆内移动到圆外从圆内移动到圆外DAPA?PB=PC?PDPA?PB=PC?PD探究5:使割线PB绕点P运动到切线位置,结论(1)还成立吗

4、？使割线使割线PB绕绕P点点运动到切线的位运动到切线的位置，是否还有置，是否还有PA?PB=PC?PD？CODPA(B)A(B)APCOD证明：连接AC、AD，PA切O于点A,D=PAC.又 P=P,PAC PDA.PA：PD=PC：PA.PA2=PC?PD.切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PA是是O 的切线的切线,PCD是是O 的割线的割线,PA2=PC?PD.探究6:使割线PD绕点P运动到切线位置

5、，结论(1)还成立C吗？CBPA图图3OD点P从圆内移动到圆外.D图图5OBP相交弦定理PA?PB=PC?PDA割线定理PA?PB=PC?PD使割线PA绕P点运动到切线的位置.C(D)OA(B)P使割线PC绕P点也运动到切线的位置.CODPA(B)切割线定理PA2=PC?PDC(D)OPA(B)易证RtOAPRtOCP.PA=PC,CPO=APO切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PA、PC是是O 的

6、切线的切线,PA=PC,APO=CPO.COBCDOPDACOBPABA割线割线PCD、PAB交交O于点于点C、D和和A、B=PA?PB=PC?PD割线定理PPC切切O于点于点C=PA?PB=PC2切割线定理AB交交CD于点于点P=PA?PB=PC?PD相交弦定理C(D)POA(B)PA、PC分别切分别切O于点于点A、C=PA=PC,APO=CPO切线长定理例例1 (1)如图如图,圆内的两条弦圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点相交于圆内一点P,已知已知PA=PB=4,PC=PD/4.求求CD的长的长.(2)如图：过点如图：过点A作作O的两条割线的两条割线,分别交分别交O于于B、C和和D、E.

7、已知已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求求AB、BD.CBPODDABOEA(1)解：设解：设PC=x,则则PD=4x,CD=5x.由相交弦定理，得由相交弦定理，得PA?PB=PC?PD,44=x?4x,解得解得x=2.CD=2x5=10.C(2)如图：过点如图：过点A作作O的两条割线的两条割线,分别交分别交O于于B、C和和D、E.已知已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求求AB、BD.解：由割线定理得解：由割线定理得 ADAE=ABAC 4x(4+2)=AB2ABAB=2 3DABCOEADB=ACE,CAE=DABABDAECAB:AE=BD:CE2 3:6=BD:5

8、BD=533练习练习1.如图如图,割线割线PAB,PCD分别交圆分别交圆O于于A,B和和C,D；PT是圆的切线是圆的切线(1)已知已知PA=5,PB=8,PC=4,则则PD=,PT=10(2)已知已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径则半径R=3TBODAEPAPB=(7-R)(7+R)PCF例例2 如图如图,E是圆内两弦是圆内两弦AB和和CD的交点，直线的交点，直线EF/CB,交交AD的延长线于点的延长线于点F，FG切圆于点切圆于点G.求证：求证：(1)DFEEFA;(2)EF=FG.证明：证明：(1)EF/CB,DEF=DCB.DCB和和DAB都是都是上的圆周角上的圆周角.DAB=DCB

9、=DEF.(2)由由(1)知知 DFEEFA，OACEDBGFDFE=EFA（公共角）（公共角）,DFEEFA.EF2=FA?FD.又又FG是圆的切线，是圆的切线，FG2=FA?FD.EF2 =FG2,即即FG=EF.例例3如图，两圆相交于如图，两圆相交于A、B两点，两点，P为两圆公共弦为两圆公共弦AB上任意一点，从上任意一点，从P引引两圆的切线两圆的切线PC、PD，求证：，求证：PC=PD.P证明：由切割线定理可得：证明：由切割线定理可得：PC2=PA?PB,PD2=PA?PB.PC2=PD2.即即PC=PDDBAC练习练习3.如图如图,A是是O上一点上一点,过过A的切线交直径的切线交直径C

10、B的延长线的延长线于点于点P,ADBC，D为垂足为垂足.求证：求证：PB:PD=PO:PC.ABDOCP课堂小结课堂小结1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。例例3如图，两圆相交于如图，两圆相交于A、B两点，两点，PPD为两圆公共弦为两圆公共弦AB上任意一点，从上任意一点，从P引引B两圆的切线两圆的切线PC、PD，求证：，求证：PC=PD.证明：由

11、切割线定理可得：证明：由切割线定理可得：APC2=PA?PB,PD2=PA?PB.CPC2=PD2.即即PC=PD例例4如图，如图，AB是是O的直径，过的直径，过A、B引两条弦引两条弦AD和和BE，相交于点相交于点C求证：求证：ACAD+BCBE=AB2证明：连接AE、BD，过C作CFAB,与AB交于FAB是O的直径，AEB=ADB=900.D又又 AFC=900,A、F、C、E四点共圆.EC BC?BE=BF?BA.(1)同理可证F、B、D、C四点共圆.AFO AC?AD=AF?AB.(2)(1)+(2)可得可得 AC?AD+BC?BE=AB(AF+BF)=AB2.B例例5如图，如图，AB、

12、AC是是O的切线，的切线，ADE是是O的割线，连的割线，连接接CD、BD、BE、CE.BEADO图图1C问题问题1:由上述条件能推出哪些结论？探究1:由已知条件可知ACD=AEC,而CAD=EAC,ADCACE.(1)CD:CE=AC:AE,CD?AE=AC?CE.(2)同理可证BD?AE=AC?CE.(3)AC=AB,由由(2)(3)可得可得BE?CD=BD?CE.(4)问题问题2 在图在图1中中,使线段使线段AC绕绕A旋转，得到图旋转，得到图2.其中其中EC交圆于交圆于G,DC交圆于交圆于F.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？BEADCOA图图1BEDFOG图图2探究2:连接FG

13、.与探究1所得到的结论相比较,可以猜想ACDAEC.下面给出证明.AB2=AD?AE,而而AB=AC,AC2=AD?AE,而CAD=EAC,ADCACE.(5)同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四点共圆.CFG=AEC.又又ACF=AEC.CFG=ACF.故FG/AC.(6)C你还能推出其他结论吗？问题问题3 在图在图2中中,使线段使线段AC继续绕继续绕A旋转，使割线旋转，使割线CFD变成切线变成切线CD,得到图得到图3.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？BEABDAQGPO图图3EDFCOG图图2C探究3:可以推出探究1、2中得

14、到的(1)(6)的所有结论.此外，此外，AC/DG.ADCACE.由由(7)(8)(7)(8)两式可得：两式可得：AC?CD=AE?CG.(9)连接连接BDBD、BE,BE,延长延长GCGC到到P,P,延长延长BDBD交交ACAC于于Q,Q,则则PCQ=PGD=DBE,PCQ=PGD=DBE,所以所以C C、E E、B B、Q Q四点共圆四点共圆.(10)(10)你还能推出其他结论吗？课堂小结课堂小结1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。2、要

15、注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与代数、几何等知识的联系及应用代数、几何等知识的联系及应用探究4:使圆的两条弦的交点从 圆内（图）运动到圆上（图），再到圆外（图），结论(1)还成立吗？DP图图3BD图图4BD图图5BOOAOCCA(C,P)A当点当点P在圆上在圆上,PA=PC=0,所以所以PA?PB=PC?PD=0仍成立仍成立.P当点当点P在圆外在圆外,连接连接AD、BC,容易证明容易证明:PADPCB,所以所以PA:PC=PD:PB,即即PA?PB=PC?PD 仍成立仍成立.2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？CCADOBCADB说明了说明了“射影定理射影定理”是是“相交弦定理相交弦定理”和和“切割线定理切割线定理”的的特例！