三垂线定理及逆定理的应用课件.ppt

1、三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及逆定理的应用例一：判断下列命题是否正确例一：判断下列命题是否正确（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在平面上的射影。必垂直于斜线在平面上的射影。()（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行。行。()（3）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在平面上平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在平面上的射影互相垂直。的射影互相垂直。()错误错误正确正确正确

2、正确ABDCCABD1111例二：在正方体例二：在正方体 中：中：猜想猜想 和和 具有什么特殊的位置关系？能否找到与具有什么特殊的位置关系？能否找到与 具具有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。1111DCBAABCD1AC1AC11DB 证明：证明：1111111111111111111DBACDBCADCBAACCADCBAAA上的射影。在平面是平面 变题变题:是是 上一动点，在平面上一动点，在平面 上能否作一条过点上能否作一条过点 的线段与的线段与 垂直垂直？是面是面 内一点，在平面内一点，在平面 上能否作一条过点上能否作一条过点 的线段与的线段

3、与 垂直？垂直？P11BA11CAP1ACF11CA11CAPAFABCABCD1D111P.F分析：第一问：显见分析：第一问：显见 过点过点 作作 的平行线即可。第的平行线即可。第二问：找到二问：找到 在面内的射影在面内的射影 ，过点过点 作射影的垂线段即可。作射影的垂线段即可。111DBAC P11DBAFPFA1.EOAPBCD例三：例三：的距离到直线）求点；（求证：，平面，为直角梯形，PDBCDPCaPAABCDPAaADaBCABABCDABABCD2)1(2,90CDPCABCDPCACABCDPACDACaEDAECEABCECEACEAD上的射影，在平面为，平面是正方形，则，、

4、，连结的中点证明：取.EOAPBCDFaBFaaaAFABBFaAFaABBAFRtPDBBFPDBFPADBFAFPADABBFPDAF5535954552,222222中，在的距离。到是点，即上的射影。在平面是平面。，连结解：作NMPABCD.E 练习：已知，练习：已知，PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面，所在平面，M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点 求证：求证：MN ABABDCCABD1111.PO思考：在正方体思考：在正方体 中，中，是是 的中点，的中点，为底面为底面 的中心。的中心。求证：求证：1111DCBAABCDP1DDOABCDPAOB1分析：分析：与与 异面，

5、异面，、既可为平面的斜线，也可为平面内既可为平面的斜线，也可为平面内直线。关键在于平面的选择直线。关键在于平面的选择,射影的射影的确定。确定。OB1PAOB1PA方法一：以方法一：以 为平面，则为平面，则 是平面的斜线，是平面的斜线，是平面内直线。是平面内直线。由条件可知：由条件可知：平面平面 ，则则 为为 在平面在平面 内的内的射影。根据三垂线定理，问题转化为射影。根据三垂线定理，问题转化为证明证明 即可。即可。DDBB11AOPOOBPO1PAOB1DDBB11PADDBB11ABDCCABD1111.POM方法二：以方法二：以 为平面，为平面，是平面的斜线，是平面的斜线，是平面内直线。是

6、平面内直线。由条件可知：由条件可知：平面平面 ，则则 是是 在平面内的射影，再构造在平面内的射影，再构造出出 平面平面 ，找到，找到 在平在平面内的射影面内的射影 。因此。因此 是是 在在平面平面 内的射影，问题转化内的射影，问题转化为证明为证明 即可。即可。11ADDAPAOB11AOMOMMA1PAMA111AB11ADDA1B11ADDAOB111ADDA1、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造“一面四线一面四线”有难有易。有难有易。2、在空间的任一平面内，平几的公理、定理仍然成立。在解证立几问题时，、在空间的任一平面内，平几的公理、

7、定理仍然成立。在解证立几问题时，灵活运用平几知识是十分重要的。灵活运用平几知识是十分重要的。例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（）1、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则这条直线和这条斜线垂直这条直线和这条斜线垂直 2、如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和斜线在、如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和斜线在这个平面内的射影垂直这个平面内的射影垂直 3、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平面内的射影垂直，那么面内的射影垂

8、直，那么 这条直线在平面内，或者和平面平行这条直线在平面内，或者和平面平行 A.O个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个B判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。ABCEFEFABEFACDABCEFACCEFABACBEFABBCACAEFBCEFAB）（平面）（）（）（下列推理不正确的是，例一：如图，()A引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高10米。利用测角仪米。利用测角仪和皮尺，设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。和皮尺，设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。ABlCD分析：将道路

9、、塔、河岸抽象为线段或直线。塔分析：将道路、塔、河岸抽象为线段或直线。塔顶与道路的距离是点顶与道路的距离是点A到到L的垂线段长，关键是垂的垂线段长，关键是垂足的确定。假设足的确定。假设AC是距离，连结是距离，连结BC，由三垂线，由三垂线定理的逆定理：定理的逆定理：BC l。因此要确定垂足。因此要确定垂足C，用测，用测角仪测定角仪测定BC l 即可。问题转化为在即可。问题转化为在Rt ABC中求中求AC.利用工具构造利用工具构造Rt BCD，求出，求出BC，即得，即得AC.ABCDO例二：四面体例二：四面体 中，中，求证：求证：ABCDCDAB BDAC BCAD 当题中具备了（构造后具备了）定

10、理所需条件当题中具备了（构造后具备了）定理所需条件“一面四线一面四线”可用定理解题。可用定理解题。三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。分析：分析：AD、BC是两条异面直线。即证两条异面是两条异面直线。即证两条异面直线垂直。根据三垂线定理，只需证明直线垂直。根据三垂线定理，只需证明AD在平面在平面BCD内的射影和内的射影和BC垂直。因此可作垂直。因此可作AO 平面平面BCD于于O点，问题转化为证明点，问题转化为证明OD BC。连结。连结BO、CO，根据三垂线定理的逆定理可证：，根据三垂线定理的逆定理可证：BO CD，CO BD，确定，确定O是是 BCD的垂心，则的垂心，则OD BC得以解决。得以解决。三垂线：反映了三垂线：反映了“一面四线一面四线”的三种垂直的三种垂直关系（垂线和平面、平面内的直线和平面关系（垂线和平面、平面内的直线和平面的斜线、平面内的直线和射影）的斜线、平面内的直线和射影）实质：平面的一条斜线或其射影与平面内实质：平面的一条斜线或其射影与平面内的一条直线垂直的判定定理。的一条直线垂直的判定定理。应用：解决垂直问题和空间图形的度量问应用：解决垂直问题和空间图形的度量问题。题。