两阶段最小二乘估计课件.ppt

1、1第第十一十一章章 联立方程组模型联立方程组模型2本章结构第一节 联立方程组模型及其假设第二节 联立方程组模型的识别性第三节 联立方程组模型的参数估计3第一节第一节 联立方程组模型及其假设联立方程组模型及其假设一、联立方程组模型的基本概念 二、联立方程组模型的假设4一、联立方程组模型的基本概念一、联立方程组模型的基本概念n根据变量和方程个数的不同，联立方程组模型有大型模型和小型模型之分；n根据研究的问题是宏观问题还是微观问题的不同，可分为宏观模型和微观模型两类；n根据是否反映经济关系随时间演变的过程，可分为动态模型和静态模型等。n举例：一个简单的微观市场均衡模型。5n这个微观市场均衡模型包括一

2、个供给函数、一个需求函数、以及一个均衡方程，具体形式如下：n其中 和 分别是供给和需求数量，和 分别是当前和前期价格，是反映当前收入的变量。tttStPPQ11321tttDtYPQ2321DtStQQStQDtQtP1tPtY6模型中的方程的特点n前两个方程分别反映人们在生产供给和需求方面的规律，或者说行为特征，称为“行为方程式”。n第三个方程是市场均衡的定义，是市场均衡要求要成立的，称为“会计恒等式”。n通常模型方程可以根据是否包含未知参数，分别归入行为方程式（有未知参数）和会计恒等式（无未知参数）两类。7n这个模型通常是研究市场均衡价格和销售量决定规律的，因此 和 是决定 和 的条件。n

3、我们称被决定的 和 为模型的“内生变量”。n内生变量对应单方程模型中的被解释变量，不称被解释变量而称内生变量的原因，主要是它们在一个方程中可能是被解释变量，但在其他方程中又常常作为解释变量出现。1tPtYtPtQtPtQ8n收入变量 在该模型中是一个外生给定的变量，也就是取值不是由这个模型本身决定的，不能由这个模型预测。n这样的变量称为模型的“外生变量”。外生变量相当于单方程模型中的解释变量。n模型中的另一个变量 是内生变量 的一期滞后变量，称“滞后内生变量”。n虽然滞后内生变量是由模型所决定的，但它是在前期而不是当期决定的，在当期其数值也是给定的。tY1tPtP9n外生变量和滞后内生变量这两

4、种在当期是给定的变量，统称为联立方程组模型的“前定变量”。n区分和明确联立方程组模型的内生变量和前定变量非常重要。n通常一个联立方程组模型的内生变量数量与方程个数相等，而且能够表示成每个内生变量被其他变量（包括外生、滞后内生的前定变量，也包括其他内生变量）决定的标准形式。n本来不是这种形式的也可以通过简单处理转化成这种形式。10n例如原市场均衡模型本来有三个方程，如果考虑到市场均衡时 必须成立，就可以化为一个两方程模型：n整理后给化为：SDtttQQQttttPPQ11321ttttYPQ2321ttttttttYQPPPQ23211132111n其中n这样市场供求均衡模型就化为两个内生变量两

5、个方程，每个方程都是一个内生变量被其他变量决定的形式。n这种形式的好处是内生变量和前定变量一目了然，分析处理比较方便。11222332222/,1/,/,/tt 12n上述模型中两个方程的经济意义，包括它们的来源，所依据的经济理论，每个参数的意义等，都还是比较清楚的。我们称这种经济意义明确的模型，为“结构式模型”。n为了进行参数估计和分析的需要，常常要把结构式模型变换为各个内生变量都只是前定变量函数的形式。我们称这种形式的联立方程组模型为“简约式模型”。n由于内生变量数与方程个数相等，这种变换一般不难做到。13n例如供求均衡模型就可以通过线性变换化为下面的形式：2221212223223222

6、1122221122322322212111111111ttttttttttPYPPYQ14n如果引进下述记法：n则模型就化为：2221222223232232222211212222112231322321222121111,1,1,11,1,1,1ttttttuuttttttttuPYPuPYQ212322211113121115n简约式模型的每个方程都是内生变量与前定变量的函数关系，不存在内生变量之间交叉决定的情况，因此求解内生变量的数值和进行预测都比较简单。n简约式模型的好处是，没有内生变量作为解释变量可以避免解释变量与误差项的相关性对分析结果有效性的影响。n因为内生变量通常与方程的误

7、差项有强相关性，而解释变量与误差项强相关必然会影响回归分析的效果。这些正是引进简约式模型的根本原因。16n简约式也有不如结构式的地方。简约式模型的各个方程和参数的意义比较模糊，不能清晰地反映经济变量的内在联系。n因此简约式模型分析不是联立方程组模型分析的最终目标。只有在得到简约式模型的参数估计以后，进一步推导出相应结构式模型的参数估计，才能对经济关系作出判断。n不过从简约式参数估计到结构式参数估计之间的转换并不一定能做到，是需要符合一定条件的。17二、联立方程组模型的假设二、联立方程组模型的假设n用 分别表示有g个方程的联立方程组模型的g个内生变量，用 表示模型的K个前定变量，那么模型的结构式

8、一般可以表示为：gYY,1KXX,1gtKtgKtgtgggtggttKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY1111112212121212111111212118n把所有结构式方程中的内生变量都移项到等式左边，可以化为：gtKtgKtggttgtgtKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY1122112212122121111111212119n联立方程组模型的基本假设如下：（1）模型由上述结构式线性方程组组成。（2）不等于0的误差项都满足单方程线性回归模型误差项的假设。（3）不同方程的同期误差可以相关，但（4）模型的外生变量是确定性

9、变量。（5）模型是可识别的。ijjtitCov,0,jsitCov20第二节第二节 联立方程组模型的识别性联立方程组模型的识别性一、识别性问题的意义二、识别性的判断三、识别性的扩展讨论21一、识别性问题的意义一、识别性问题的意义n由于联立方程组模型中有多个方程，内生变量的水平是由多个方程的共同作用决定的，因此能否根据所观测到变量数据，推测出生成它们的各个经济关系是值得疑问的。n联立方程组模型的识别性，就是研究联立方程组模型中的函数关系是否可以明确辨别或唯一确定。n联立方程组模型的识别性，与结构式参数与简约式参数之间的对应关系有关。22n例如一个最简单的供给需求均衡模型如下：（114）n或者也可

10、以写成 （115）ttttttPQPQ221121需求函数：供给函数：121122ttttttQPPQ供给函数：需求函数：23n如果（115）式中的参数是已知的，那么很容易根据这个模型解出均衡价格和销售量，实际上就是模型的简约式：ttttttttuPuQ22122212222111112222122121111124图11.1供求模型的识别问题 用图形表示：2S)(1211tttPQS)(2211tttQPD2DPtPQtQ25n但是，我们面临的问题不是根据已知的供给和需求函数，求均衡价格和销售量，而是反过来要根据均衡价格和销售量数据，去确定供给曲线和需求曲线。n存在的困难：如果供给和需求都只

11、是价格一个变量的函数，那么长期均衡价格和销售量就只有一个水平，观测到的数据就会围绕均衡点附近波动，如图11.1所示。26n正如图11.1中很多点都可能导致均衡价格和销售量那样，我们根本无法确定究竟是哪条供给和需求曲线实现的这些市场均衡，即无法判断或者称无法“识别”模型所讨论的供给规律和需求规律。n这种情况下模型称为是“不可识别”的。n根据均衡价格和销售量数据确定供给和需求函数，实际上就是根据简约式（11-6）推导结构式（11-5）。27n由于简约式（11-6）中只有两个参数，而结构式（11-5）中有四个参数，因此根据两个方程：是无法从简约式参数推导确定出结构式参数的。n能否根据简约式参数解出结

12、构式参数，是识别问题的另一种标准。12111221 11221221 28怎样的联立方程组模型才是可识别的呢？n在（11-5）需求函数中引进收入变量 。引进收入变量后得到如下模型：（117）n把（11-7）化成简约式，有：（118）tYtttttttYQPPQ23211212312212111121222222321211221222222222111111ttttttttttttQYYuPYYu 29n由于引进了一个收入变量 ，因此市场均衡价格和销售量不再稳定在一个固定水平附近，而是会随着收入的变化而变化，从而能够给我们提供一些可用于识别供求规律的有用信息。n那么这个收入变量究竟能帮助我们识

13、别出供给规律，还是需求规律呢？n由于 是引进需求函数的变量，因此其作用是引起需求的变化，而不是供给的变化，从而会使均衡点沿着供给曲线移动。如图11.2所示。tYtY30图图11.2供给函数可识别供给函数可识别 S1D2DP2PQ2Q3P1P3Q1Q3D1D3D31n根据图11.2的图形可以很直观地看出，在需求函数中引进收入变量的作用是使供给函数能够被确定、识别出来，但需求函数本身却仍然不能识别，因为不同的需求函数都可以产生这些均衡水平，如图11.2中的 和 等。n也可以根据简约式（11-8）和结构式（11-7）之间的关系，论证供给函数可识别和需求函数不可识别的结论。1D3D32n结构式参数和简

14、约式参数之间有下列四个关系式n而结构式参数却有五个，因此肯定无法通过简约式参数确定结构式的全部参数，必然存在不可识别的问题。1122121112223212122211122223133n如果进一步分析上述四个关系式，还可以发现 n因此结构式中供给方程的参数可以由简约式参数确定出来，因此供给方程是可识别的。需求方程当然就无法识别了。n还可以通过考察结构式供给函数和需求函数的形式是否统一，是否能够通过两个方程的线性组合产生其他形式的供给函数和需求函数，直接判断它们的识别性问题。2212222322321134n如果想要市场均衡模型的两个方程都可识别，那么只要在供给函数中再引进一个变量，如 ，可得

15、：n这时候，简约式模型为：1tPttttttttYQPPPQ232111321ttttttttuPYPuPYQ212322211113121135n结构式和简约式系数的关系为n通过检查可以发现，从简约式参数可以唯一地确定出结构式参数。n因此在供给函数中又引入新变量后，该模型是可识别的。2223232232222211212231322321222121111,1,11,1,136n需要注意的是，并不是在联立方程组模型引进越多的变量，从而使方程或整个模型的识别性越强就越好。n例如若我们在（11-2）的供给函数中再加入一个认为与这种产品的供给有关的气温变量 作解释变量，那么模型的结构式变为：（11

16、9）tTtttttttttYQPTPPQ232114132137n其的简约式为：n结构式参数和简约式参数之间的关系如下：tttttttttuTPYPuTPYQ22412322211141131211222424222323223222221121224142231322321222121111,1,1,11,1,1,138n结构式模型只有7个未知参数，而结构式和简约式参数之间的关系式却有8个，因此一般会存在某些结构式参数有两个矛盾解的情况。n由于n因此，通过简约式采纳述可以导出两个 的值。这时候我们称需求函数为“过度可识别”的。2224222414242223222313231111239n当

17、存在过度可识别的方程时，实际上也意味着模型化为简约式后，简约式的参数不是完全独立的，存在某种约束关系。n因此，过度可识别时无法通过对简约式参数的估计，解决结构式参数的估计问题。n相对上述过度可识别的情况，如果一个方程的结构式参数可通过简约式参数得到唯一的值，则称为“恰好可识别”的。n只有模型的所有方程都可识别时一个联立方程组模型才是可识别的，才是有意义的分析对象。40二、识别性的判断二、识别性的判断n识别性的两种等价定义：一种是能否通过简约式的参数确定，唯一确定结构式方程的参数；另一种是各个结构式方程在模型其他方程作为条件的前提下，是否具有唯一确定的形式。n根据上述判别法则可进一步推出下述结论

18、：如果联立方程组模型中存在一个，或可以用其他方程的线性组合得到一个，所有变量都已包含在所考察方程中的方程，那么所考察的方程是不可识别的。41n推论：如果联立方程组模型中某个方程包含了模型中所有的变量，那么该方程是不可识别的。n判断一般联立方程组模型方程识别性的矩条件：设一个有g个方程的联立方程组模型中某个方程有M个变量，在这个方程中没有出现，但在模型其他方程中出现的有N个变量。则没有出现在考察方程中变量的个数小于其余方程的个数，Ng1，其余g-1个方程一定能通过线性组合产生不包含考察方程中未出现的N个变量的方程，该方程肯定是不可识别的。42n因此N g1是识别性的必要条件，称为识别性的“阶条件

19、”。n在可识别的情况下，如果N=g-1，则该方程的结构式参数可由简约式参数唯一确定，即恰好可识别的情况。n如果Ng-1，这时候若用简约式参数推导该方程的结构式参数，会出现信息过多，参数有约束关系的情况，就是过度可识别的情况。n需要注意的是，会计恒等式都是可识别的。43n例111，宏观经济联立方程组模型的识别性。tttttttttttttttGICYYTiYITYC31022110121044三、识别性的扩展讨论三、识别性的扩展讨论n前面对联立方程组模型识别性的讨论，都是在各个方程的变量结构上进行的，并没有考虑到各个方程误差项的情况，或者不同方程误差项之间协方差的情况。n实际上如果考虑误差项的情

20、况和性质，原来意义上不可识别的方程有可能成为可识别的。45（一）误差项协方差的约束和识别性（一）误差项协方差的约束和识别性n设模型为：n如果按照前面介绍的判断方法，容易明白该模型的第二个方程是不可识别的。n该方程中的两个变量，在第二个方程中都出现了，用任意常数 乘第一个方程后加到第二个方程上，都可以得到第二个方程中三个变量 和 之间的另一种关系式。tttttttXYYYY212121tY1tY2tX46n由于 和 通常不会与 和 相同，因此第二个方程是不可识别的，从而整个模型也是不可识别的。n如果我们假设该模型两个方程的误差项必须是不相关的，那么情况就会有所变化。tttttttXYYYY211

21、221122112111ttttttttYYXYX47n因为如果要求上述通过线性组合得到的方程的误差项，也与第一个方程的误差项不相关，即n那么 必须成立，也就是 和 必须与 和 相同。n这意味着第二个方程的形式是唯一确定的，因此第二个方程是可识别的。011)(2121121tttttEE048（二）递归模型（二）递归模型n如果一个联立方程组模型具有这样的特征，那就是第一个内生变量只决定于前定变量；第二个内生变量只决定于前定变量，或者还有第一个内生变量；第三个内生变量决定于前定变量，或者还有第一、二个内生变量，总之，前面的内生变量可以是后面的内生变量的解释变量，但不存在反过来的影响，或者说不存在

22、内生变量交叉决定的情况，那么这样的联立方程组模型，称为“递归模型”。49n下面的这个模型就是一个递归模型：n许多递归模型是隐藏着的，需要通过对模型形式的整理才能发现。n按照识别性的定义，该模型中除了第一个方程可识别以外，其余两个方程都是不可识别的。tttttttttttttttXXYYYXXYYXXY323213123213132222121121212121111,50n但如果给定该模型不同方程的误差项之间不相关的约束条件，那么根据前面采用的同样分析方法，可说明第二、三个方程也是可识别的。n递归模型在误差项协方差满足上述条件的情况下是可识别的，这一点非常重要。51第二节第二节 联立方程组模型

23、的参数估计联立方程组模型的参数估计一、最小二乘估计及其问题二、间接最小二乘估计三、工具变量法估计四、两阶段最小二乘估计52一、最小二乘估计及其问题一、最小二乘估计及其问题n除了没有未知参数需要估计的会计恒等式、技术方程以外，联立方程组模型的行为方程式本身都是有明确意义的经济关系，可以构成一个单方程回归模型，因此技术上完全可以逐个方程估计它们的参数。n但联立方程组模型中往往存在内生变量作为解释变量的情况，存在内生变量的交互决定关系。这就导致作为解释变量的内生变量往往与误差项有强相关性，直接用普通最小二乘法对联立方程组模型的各个方程分别进行参数估计有可能会存在问题。53n实际上并不是联立方程组模型

24、的每个方程都有内生解释变量，也不一定每个内生解释变量都与方程的误差项有强相关性。n当可以确定所分析的方程没有内生解释变量，或者即使有内生解释变量，也与所在方程的误差项没有大的相关性时，就可以直接用普通最小二乘法估计该方程的参数。n上一节提出的递归模型就符合这种情况。54n由于该递归模型第一个方程的两个解释变量都是前定变量，根据一般假设，它们与误差项 之间至少是当期不相关的，因此可以直接用最小二乘法估计这个方程的参数。n第二个方程中的解释变量，除了两个前定变量以外，还有一个变量 是内生变量。这个内生解释变量虽然是随机变量，但由于与 之间没有交叉决定的关系，因此它的随机性来自于 与 没有相关性，所

25、以最小二乘估计对这个方程也是适用的。tY1tY2t 1t2t 155n同理可以论证对第三个方程，也可以采用普通最小二乘法估计参数。n因此对于这个递归模型来说，采用最小二乘法逐个方程估计参数是可行的。n当然所分析方程的误差项等也必须满足单方程回归模型的其他基本假设，如果不满足其他基本假设，回归结果也不一定可靠，这与单方程模型分析中是相似的。56n如果联立方程组模型的方程，既不是解释变量全部是外生变量或前定变量，又不像递归模型那样解释变量与误差项都没有相关性，那么普通最小二乘估计得到的参数估计量既非无偏的，也不是一致估计。n讨论识别性的市场均衡模型 ttttttttYQPPPQ2321113215

26、7n这个模型的两个方程都是恰好可识别的，因此模型本身是有意义的。n第一个方程的解释变量 是模型的内生变量，也是第二个方程的被解释变量，且因为第一个方程的被解释变量 也是它的解释变量，它与第一个方程的误差项之间必然有强相关性。n同理第二个方程的解释变量 也与该方程的误差项有强相关性。n直接用普通最小二乘估计分析是不可行的。tPtQtQ58二、间接最小二乘估计二、间接最小二乘估计n其实第一节已经提供了估计市场均衡模型参数估计的很好思路。n这个模型的两个方程都是恰好可识别的，这意味着通过变换把这个模型化为各个内生变量决定于前定变量的简约式，结构式参数与简约式参数有一一对应关系。n由于简约式参数不存在

27、内生解释变量的问题，因此最小二乘估计是有效的。59n根据这种思路的估计方法称为“间接最小二乘估计”。n如果需要估计的结构式方程是恰好可识别的，就可以采用间接最小二乘法估计参数。间接最小二乘估计是适合联立方程组模型恰好可识别方程的有效参数估计方法。n先用最小二乘估计简约式的参数，再根据结构式参数与简约式参数之间的关系，解结构式参数的间接最小二乘估计，得到唯一解。60n用一个简单的两方程宏观经济模型为例：其中第一个方程是总消费函数，第二个方程是国民收入决定方程。n第二个方程是会计恒等式，既没有识别问题，也不需要估计参数。第一个方程则不难判断是恰好可识别的，因为另一个方程中变量 在第一个方程中没有出

28、现。ttttttICYYCtI61n按照间接最小二乘估计的思路，第一个方程的参数 适合用间接最小二乘法进行估计。n先用线性变换把上式变换为下列简约式：ttttttttttuIIYuIIC21111111162n只有第一个方程有一个需要估计的参数，因此只要通过对第一个简约式方程进行最小二乘估计，得到 的估计，再求 的估计。n第一个方程的最小二乘估计为：令 ，其中 为最小二乘估计。1tttttIIC21tttttilsilsIIC211ils63n可以解出：n这就得到了该模型参数 的间接最小二乘估计，它与普通最小二乘估计之间有明显的区别。普通最小二乘估计为：ttttttttttttttilsIYI

29、CICIIC2tttttolsYIC264三、工具变量法估计三、工具变量法估计n间接最小二乘法只适合估计联立方程组模型的恰好可识别方程，对于过度可识别方程的参数估计是不适用的，不能完全解决联立方程组模型的参数估计问题。n由于联立方程组模型参数估计的困难，主要是与误差项强相关的内生变量作解释变量引起的，因此可以利用在单方程回归分析中提到的工具变量法进行参数估计。65n设一个三方程联立方程组模型为：其中 、是内生变量，和 是外生变量，第一、二个方程是行为方程式，第三个方程为会计恒等式。tttttttttttXYYYXYYYY2213212310213101tY1tY2tY3tX1tX266n容易发

30、现第一个方程是过度可识别的，第二个方程是恰好可识别的，第三个方程是会计恒等式，没有识别问题和不需要估计参数。n由于 和 具有强相关性，因此不能用最小二乘法估计第一个方程的参数；另外，第一个方程又是过度可识别的，因此也不能用间接最小二乘法估计该方程参数。n考虑用工具变量法估计该方程中的参数。tY3t 167 工具变量法估计工具变量法估计 n第一步是找到合适的工具变量。因为第一个方程中只有 一个解释变量，因此只要能找到一个与其相关性强，与 没有相关性的变量就可以作 的工具变量。n这个模型中的两个外生变量都与 不相关，并且与 有不同程度的相关性，还是 的组成部分之一，因此可选择其作为估计第一个方程参

31、数的工具变量。tY3t 1tY3t 1tY3tX2tY368n根据第九章给出的工具变量法估计公式，第一个方程的参数 的工具变量法估计为：n 的工具变量法估计则为：1ttttttIVXXYYXXYY22332211103110YYIVIV69n工具变量法估计虽然在小样本时是有偏估计，但在大样本时是一致估计，即随着样本容量的增大会不断逼近参数的真实值。n估计量的效果也与 和 之间的相关性的大小有关，相关性越大，两个估计量的渐近方差越小，效果就越好。n事实上工具变量法不仅可用于所有过度可识别联立方程组模型方程的参数估计，也适用于恰好可识别方程的参数估计。tX2tY370n对于过度可识别的方程，不在该

32、方程中的模型前定变量个数大于该方程中所包含的内生解释变量个数，因此完全可以在该方程中没有出现的前定变量中选择足够的变量作为工具变量，当然应该尽可能选择与这些被替代的内生解释变量相关性较强的变量。n例113。详见Eviews演示。71四、两阶段最小二乘估计四、两阶段最小二乘估计n两阶段最小二乘估计的第一个阶段是寻找用于工具变量法估计的理想工具变量，第二个阶段则用第一个阶段找到的工具变量进行工具变量法估计。n仍然用上一节的三方程模型：tttttttttttXYYYXYYYY221321231021310172n讨论其中第一个过度可识别的方程的参数估计。n上一节用模型两个外生变量中的 作为工具变量进

33、行工具变量法估计。但是另一个外生变量 也可以作工具变量，很难说它比 差。n还可以找到比现成的外生变量更好的工具变量。把 对两个外生变量 和 进行回归，也就是对 的简约式方程进行回归，然后把得到的回归理论值 作为工具变量，一定是更好的工具变量。tX2tX1tX2tY3tX1tX2tY3tY373n我们先估计 的简约式方程：n得到最小二乘估计回归方程n把 作为工具变量，对第一个方程进行工具变量法估计，可得 的两阶段最小二乘估计。tY3ttttuXXY3232131303tttXXY232131303tY3174ttttttttttttttttttttttttttSLSYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY33331133333333113333113333331112)()()()()()()()()()(75n该方程中的常数项 ，仍可用通常的方法估计n不难验证，上述两阶段最小二乘估计，与方程 中参数 的普通最小二乘估计是相同的。n这一点实际上具有普遍性。n例114。详见Eviews演示。0312102YYSLSSLStttYY131011