2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（一）试题含详解.docx

1、 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷届百校联考高考百日冲刺金卷 全国卷理数（一）全国卷理数（一） 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1.已知集合 2 |430Axxx， |21Bx yx，则AB （ ） A. 3 0, 4 B. C. 1 0, 2 D. 1 3 , 2 4 2.设复数 25 73 i z i ，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知某地区在职

2、特级教师、高级教师、中级教师分别有 100 人，900 人，2000 人，为了调查该地区不同职 称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了 60 人进行调查，则被抽取的高级 教师有（ ） A.2 人 B.18 人 C.40 人 D.36 人 4.已知双曲线C： 22 22 1 yx ab （0a，0b）的一个顶点为M，点( ,0)N b，若| 3MNb，则双曲线 C的渐近线方程为（ ） A.2yx B. 2 2 yx C.2 2yx D. 2 4 yx 5.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为 256，则输出x的值为（ ） A.8 B.3 C. 2 log 3 D. 2

3、2 loglog 3 6.九章算术（卷第五） 商功中有如下问题： “今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈 五尺，问积几何”.译文为： “今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2 丈，长 7 丈；下底宽 8 尺，长 4 丈， 深 6 丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ） （注：1 丈10尺.） A.45000 立方尺 B.52000 立方尺 C.63000 立方尺 D.72000 立方尺 7.已知等差数列 n a的前n项和为 n S.若 9 54S ， 4 5a ，则数列 1 n Sn 前 2019 项的和为（ ） A. 2018 2019 B.1009 10

4、10 C. 4036 2019 D. 2019 1010 8.如图，小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能 为（ ） A.2 5 B.4 3 C.4 2 D.2 2 9.设 7 2214 01214 1 23xxaa xa xa x，则 468101214 aaaaaa（ ） A.129927 B.129962 C.139926 D.139962 10.设抛物线C： 2 2ypx（0p ）的焦点F到其准线l的距离为 2，点A，B在抛物线C上，且A，B， F三点共线，作BEl，垂足为E，若直线EF的斜率为 4，则|AF （ ） A.17 8 B. 9 8 C.

5、17 16 D. 33 16 11.已知函数 2 2 e1,0, ( ) 22,0, x x f x xxx 若|( )|f xmx恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A.22 2,2 B.22 2,1 C.22 2,e D.22 e,e 12.已知数列 n an的前n项和为 n S，且 2 1 1 ( 1) n i ii i aan ， 2018 1S，则 1 a （ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 5 2 D.2 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第

6、22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.已知菱形ABCD的边长为 6，点E为线段BC的中点，点F为线段BC上靠近C的三等分点.若 120ABC，则AE DF_. 14.已知实数x，y满足 1, 22, 22, xy xy xy 则2zxy的最小值为_. 15.已知函数( )sin()f xAx（0A，0）的部分图象如图所示，其中,3 3 M 是图象的一个 最高点， 4 ,0 3 N 是图象与x轴的交点，将函数( )f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 12

7、 后，再 向右平移 4 个单位长度，得到函数( )g x的图象，则函数( )g x的单调递增区间为_. 16.已知函数 32 ( )6126f xxxx，若直线l与曲线( )yf x交于M，N，P三点，且 | |2MNNP，则直线l的方程为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在ABC中， 4 BAC ，2AB ， 17 2 BC ，M是线段AC上的一点，且tan2 2AMB. （）求AM的长度； （）求BCM的面积. 18.如图所示， 在三棱锥SBCD中， 平面SBD平面BCD，A是线段SD上的点，SBD为等边三角

8、形， 30BCD，24CDDB. （）若SAAD，求证：SDCA； （）若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为 4 195 65 ，求AD的长. 19.为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过 10000 分的消费者开展年终 大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案： 方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答； 其中单选题答对得 2 分，多选题答对得 3 分，无论单选题还是多选题答错得 0 分；每名参赛的消费者至多 答题 3 次，答题过程中得到 3 分或 3 分以上立刻停止答题，得到超

9、市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的 选择，研究人员在有资格参与回馈活动的 500 名消费者中作出调研，所得结果如下所示： 男性消费者 女性消费者 选择方案一 150 80 选择方案二 150 120 （）是否有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （）小明回答单选题的正确率为 0.8，多选题的正确率为 0.75. （）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望； （）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，na b cd . 2 P Kk 0.100 0

10、.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20.已知 12 PFF中， 1( 1,0) F ， 2(1,0) F， 1 4PF ，点Q在线段 1 PF上，且 2 |PQQF. （）求点Q的轨迹E的方程； （）若点M，N在曲线E上，且M，N， 1 F三点共线，求 2 F MN面积的最大值. 21.已知函数 2 ( )lnf xxxmx（mR）. （）若1m，证明：( )0f x ； （）记函数( )( )7g xf xx， 1 x， 2 x是( )0g x的两个实数根，且 12 xx，若关于 1 x的不等式 1 1 2 1 ln 4 1 mx tx

11、x 恒成立，求实数t的取值范围. 请考生从第请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题 的首题进行评分的首题进行评分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos 33sin x y （为参数） ，点M是曲线C上的任意一 点，将点M绕原点O逆时针旋转90得到点N.以坐标原点

12、O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （）求点N的轨迹 C 的极坐标方程； （）若曲线 3 3 yx （0y ）与曲线C， C 分别交于点A，B，点( 6,0)D ，求ABD的面积. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( ) |1|35|f xxx. （）求不等式( )8f x 的解集； （）若关于x的不等式 2 ( )2|35|f xmxx在R上恒成立，求实数m的取值范围. 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷届百校联考高考百日冲刺金卷 全国卷理数（一）参考答案全国卷理数（一）参考答案 1.D【解析】依题意， 2 3 |430|0 4 Axxxxx ， 1 |21| 2 Bx

13、 yxx x 故 1 3 , 2 4 AB . 2.B【解析】依题意， 25(25 )(73 ) 73(73 )(73 ) iii z iii 1463515141 585858 ii i ， 则在复平面内，复数z所对应的点为 141 , 58 58 ，位于第二象限. 3.B【解析】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取 60 人，高级教师有 9 6018 30 人. 4.C【解析】依题意，|MOa，|NOb，故 22 |3MNabb，则 222 9abb， 故 22 8ab，即2 2 a b ，故双曲线C的渐近线方程为2 2yx . 5.C【解析】运

14、行该程序，第一次，8y ，2n，8x ； 第二次，3y ，3n，3x ； 第三次， 2 log 3y ，4n， 2 log 3x ； 第四次， 22 loglog 3y ，5n， 22 loglog 3x ； 第五次， 22 loglog 3 2 2log 3y ，6n， 2 log 3x ； 第六次， 22 loglog 3y ，7n， 22 loglog 3x ； 第七次 22 loglog 3 2 2log 3y ，8n， 2 log 3x ， 此时输出x的值为 2 log 3. 6.B【解析】进行分割如图所示，故 11 2 A A MNEAMN DPQD PQFDBCGHADFE VV

15、VVV 11(820) 65 215 6 65 265 15 840 322 52000 立方尺. 7.D【解析】由等差数列性质可知， 95 954Sa，解得 5 6a ； 而 4 5a ，故1d ，则 14 32aad，故 2 (1)3 2 22 n n nnn Sn ， 2 1211 2 1 n Snnnnn ， 设 1 n Sn 的前n项和为 n T，则 111111112 2 1 22334111 2 1 n n T nnnn ， 故 2019 2 20192019 2019 11010 T . 8.D【解析】在长方体中进行切割，得到该几何体的直观图如图所示， 则4ABGHHEEFFG

16、ED，2 5BCCD， 4 3BD ，4 2AD，8AHBG，6CF . 9.C【解析】令0x， 0 1a ；令1x ，即 7 01214 6aaaa； 令1x，即 7 012314 2aaaaa； 两式相加， 77 02414 62 2 aaaa ， 而 122 277 C3C2105a ， 故 468101214 aaaaaa 77 62 105 1 139926 2 . 10.C【解析】依题意，抛物线C： 2 4yx，则(1,0)F； 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 2 1,Ey； 因为 2 4 1 1 EF y k ，解得 2 8y ，故(16, 8)B， AFBF

17、kk， 即 1 1 00( 8) 1 161 y x ，故 11 1588yx， 而 2 11 4yx，联立，解得 1 1 2 y ， 则 2 1 1 1 416 y x ，则 117 |1 1616 AF . 11.A【解析】作出函数|( )|f x的图象如图所示； 当0x时；令 2 22xxmx，即 2 (2)20xm x， 令0 ，即 2 (2)80m ，解得22 2m， 结合图象可知，22 2m； 当0x时，令 2 e1 x mx ，则此时 2 ( )e1 x f x ，( )h xmx相切， 设切点 0 2 0, 1 x x e，则 0 0 2 0 2 e1 2e, , x x mx

18、 m 解得2m， 观察可知，实数m的取值范围为22 2,2 . 12.A【解析】依题意， 1 ( 1)21 n nn aan ， 故当n为奇数时， 1 21 21, 21, nn nn aan aan 2 2 nn aa ， 当n为偶数时， 1 21 21, 21, nn nn aan aan 2 4 nn aan ， 2018122018 (1 22018)1Saaa， 即 122018 2018 (12018) 11009 2019 1 2 aaa ， 又 122018 aaa 13520172462018 aaaaaaaa 12 504 (162016 4) 2 504) 2 aa 11

19、 2 504)1252 (162016 4)aa 1 1 21008 2021a ， 所以， 1 1009 2019 1 1 21008 2021a ， 1 1009 2019 1008 2021 2 a 1008 20192019 1008 20213 22 . 13.33【解析】如图， 11 23 AE DFABBCABBC 2211 33 66 ABAB BCBC. 14.5【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示； 观察可知，当直线2zxy过点A时，2zxy有最小值； 联立 1, 22, xy xy 解得 4, 3, x y 故2zxy的最小值为5. 15. 5 , 93

20、183 kk （kZ） 【解析】依题意，3A， 4 433 T ，即4T，故 1 2 ， 1 ( )3sin 2 f xx ； 将,3 3 代入( )f x中，可知 1 2 232 k ，kZ， 故2 3 k ，kZ； 不妨设0k ，故函数 1 ( )3sin 23 f xx ； 将函数( )f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 12 后， 得到3sin 6 3 yx ，再向右平移 4 个单位长度， 得到( )3sin 6 43 g xx 3 3sin 63cos 6 233 xx ； 令2622 3 kxk （kZ） ， 解得 5 93183 kk x （kZ） ， 故函数( )g

21、x的单调递增区间为 5 , 93183 kk （kZ）. 16.yx【解析】依题意， 323 ( )6126(2)2f xxxxx， 故函数( )f x的对称中心为(2,2)，因为| |2MNNP，故(2,2)N， 设( , )M m n，(4,4)Pmn， 故 3 22 (2)2, (2)(2)2, mn mn 作出图形如图所示，结合图象，解得(1,1)M或(3,3)M， 故直线l的方程为yx. 17.【解析】 （）因为 sin tan2 2 cos AMB AMB AMB ， 且 22 sincos1AMBAMB， 联立两式，解得 2 2 sin 3 AMB， 1 cos 3 AMB ，

22、故sinsin()ABMAMBA 2 221242 32326 ， 由正弦定理 sinsin AMAB ABMAMB ， 所以 sin1 2 sin2 ABABM AM AMB . （）因为AMBCMB， 故 1 coscos()cos 3 CMBAMBAMB ， 所以 2 2 sin 3 CMB， 在ABM中，由正弦定理 sinsin BMAB AAMB ， 故 sin3 sin2 ABA BM AMB ， 在BCM中，由余弦定理 222 2cosBCBMCMBM CMCMB， 得 2 17931 2 4423 CMCM ， 解得2CM 或1CM （舍去）. 所以BCM的面积 1132 2

23、sin22 2223 SBM CMCMB . 18.【解析】 （）依题意，2BD ， 在BCD中，4CD，30BCD， 由余弦定理可求得，2 3BC ， 222 CDBDBC，即BCBD， 又平面SBD平面BCD，平面SBD平面BCDBD，BC 平面BCD， BC 平面SBDBCSD， 等边SBD中，SAAD， 则BASD，且BCBAB， SD平面BCA，SDCA. （）以B为坐标原点，BC，BD所在直线为x轴， y轴，过点B作平面BCD的垂线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)B，(2 3,0,0)C，(0,2,0)D，(0,1, 3)S， 故( 2 3,2,0)CD

24、，(0,1,3)SD ， 设平面SCD的一个法向量为( , , )mx y z， 则 0, 0, m CD m SD 即 2 320, 30, xy yz 取1x ，则3y ，1z ， 所以(1, 3,1)m ， 设(01)(0, 3 )DADS， 故(0,2, 3 )A，则(0,2, 3 )BA， 故 | sincos, | | m BA m BA mBA 22 |2 333 |4 195 65 5(2)3 ， 解得 1 4 或 3 4 ，则 1 2 AD 或 3 2 . 19.【解析】 （）依题意，完善列联表如下所示： 男性消费者 女性消费者 总计 选择方案一 150 80 230 选择方

25、案二 150 120 270 总计 300 200 500 2 2 500 (150 120 150 80) 4.831 230 270 300 200 6.635K ， 故没有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （） （）X的所有可能取值为 0，2，3，4， 则 1111 (0) 455100 P X ， 1148 (2)2 455100 P X ， 375 (3) 4100 P X ， 14416 (4) 455100 P X ， 故X的分布列为： X 0 2 3 4 P 1 100 8 100 75 100 16 100 所以 187516305 ()02343.05 10

26、0100100100100 E X . （）小明选择方案一获得奖品的概率为 1 751691 (3)0.91 100100100 PP X， 小明选择方案二获得奖品的概率为 2 14444112896 (3)20.896 555551251000 PP X， 因为 21 PP，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 20.【解析】 （）因为 2 |PQQF， 故 121112 |4 | 2QFQFQFQPPFFF， 故点Q的轨迹是以 1 F， 2 F为焦点，长轴长为 4 的 椭圆（不包含长轴的端点） ， 故点Q的轨迹E的方程为 22 1 43 xy （2x ）. （）由（）知， 1( 1,0)

27、F ，设直线MN的方程为： 1xky， 11 ,M x y， 22 ,N x y， 联立 22 1, 1, 43 xky xy 消去x得 22 43690kyky， 12 2 12 2 6 , 34 9 , 34 k yy k y y k 2 2 1212 2 1121 234 F MN k SFFyy k ， 令 2 1kt ，则1t ， 2 12 1 3 F MN S t t ， 令 1 ( )3f tt t ，则 2 1 ( )3f t t ， 当1,t时，( )0f t， 1 ( )3f tt t 在1,上单调递增， 2 12 3 1 3 F MN S t t ，当1t 时取等号， 即

28、当0k 时， 2 F MN面积的最大值为 3. 21.【解析】 （）依题意， 2 ( )lnf xxxx，(0,)x， 2 121(21)(1) ( )21 xxxx fxx xxx ， 当(0,1)x时，( )0fx，当(1,)x时， ( )0fx，故min( )(1)0f xf， 故( )0f x . （） 2 ( )8lng xxxmx，(0,)x， 2 28 ( )28 mxxm g xx xx ， 故 1 x， 2 x（ 12 xx）是方程 2 280xxm在(0,)上两个不等的正实根， 所以08m，由 12 12 12 4, , 2 , xx m x x xx 可得 1 11 02

29、, 24, x mxx 从而问题转化为当 1 (0,1)(1,2)x 时， 1 11 1 ln 41 1 mx txx x 恒成立， 即证： 111 11 1 24ln 41 1 xxx txx x 成立， 即证： 11 1 1 2ln 1 1 xx t x x ； 即证： 11 1 1 2ln 10 1 xx t x x ， 即证： 2 1 1 1 11 1 2ln0 1 t x x x xx ， 令 2 1 ( )2ln(0,1)(1,2) t x h xxx x 则 2 2 2 ( ) txxt h x x （(0,1)(1,2)x） ， 1）当0t 时，( )0h x，则( )h x在

30、(0,1)，(1,2)上 均为增函数且(1)0h，式在 1 (0,1)(1,2)x 上不成立. 2）当0t 时， 2 44t ，若0，即1t 时， ( )0h x，所以( )h x在(0,1)(1,2)上均为减函 数且(1)0h， 1 1 1 x x ， 2 1 1 1 1 2ln t x x x 在区间 (0,1)及(1,2)上同号，故式成立. 若0 ，即10t 时， 2 2ytxxt的对称轴 1 1x t ， 令 1 min,2n t ，则当1xn时，( )0h x 不符合题意. 综上可知：, 1t 满足题意. 22.【解析】 （）依题意，曲线C的普通方程为 22 (3)9xy，即 22

31、60xyy， 把公式 cos sin x y 代入可得： 2 6 sin， 故曲线C的极坐标方程为6sin， 设( , )N ，则, 2 M ， 则有6sin6cos 2 ， 故点N的轨迹 C 的极坐标方程为6cos . （）曲线 3 3 yx （0y ）的极坐标方程为 5 6 （0） ， D到曲线 5 6 的距离为6sin3 6 d ， 曲线 5 6 与曲线C交点 5 3, 6 A ， 曲线 5 6 与曲线 C 交点 5 3 3, 6 B ， | 3 33AB ， 故ABD的面积 19 39 | 22 SABd . 23.【解析】 （）依题意，|1|35| 8xx， 当 5 3 x 时，原式化为1358xx ， 解得3x，故3x， 当 5 1 3 x时，原式化为1358xx ， 解得1x ，故无解， 当1x 时，原式化为1 358xx ， 解得1x ，故1x ， 综上所述，不等式( )8f x 的解集为(, 3)(1,) . （）依题意， 2 |1|35|2|3|5xxmxx， 则 2 |1| 2xxm ， 即 22 212xmxxm ， 即 2 2 2(1)0, 2(1)0, xxm xxm 则只需 1 8(1)0, 1 8(1)0, m m 解得 9 8 m ， 实数m的取值范围是 9 , 8 .