量子力学导论4课件.ppt

1、问题问题:(1)如何描述微观粒子的状态如何描述微观粒子的状态？(2)微观粒子的状态变化时应微观粒子的状态变化时应 遵循什么样的运动规律遵循什么样的运动规律？()()ip rEti k rtAeAe 量子力学量子力学经典力学经典力学研究研究对象对象质点质点微观粒子微观粒子状态状态描写描写位置和动量位置和动量波波函数函数自由自由粒子粒子有确定的动有确定的动量与能量量与能量有有确定的频确定的频率与波长且率与波长且波的传播方波的传播方向不会变化向不会变化平平面面波波运动运动定律定律牛顿定律牛顿定律薛定格薛定格方程方程量子力学与经典力学量子力学与经典力学2 薛定谔方程经典力学中，体系运动状态随时间的变化

2、遵循牛顿力学。和经典力学类似，我们也应建立一个决定 随 变化规律的方程式。从物理上，这个方程式必须满足下述条件：(,)r ttI.由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。II.方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量。2 薛定谔方程、因为波函数 的自变量是 ，因此它必然是关于 和 的偏微分方程。、由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理，当 时，它能过渡到牛顿方程。、对于自由粒子，这个方程的解应该是平面波。,r trt0h2.薛定谔方程方程的寻找 对平面波式 分别对

3、 和 求微商后得：由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 及 作用在波函数上的结果相同，即存在对应关系：()()ip rEti k rtAeAe rt2.1iEt2222.2p;2.3Eipit iti 2.3薛定谔方程 1926年，薛定谔推广上述规则到一般情况，找到了描述波函数演化规律的薛定谔方程，设单个粒子体系的哈密顿量为：得到薛定谔方程：22(,)2HU r tm 22(,)2iU r tHtm 2.3 薛定谔方程A.薛定谔方程式量子力学的基本假设之一，但必须指出，我们并未建立薛定谔方程，因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。B.以上对应关系式（2.3）式，只是在直

4、角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。22(,)2iU r ttm 2.3 薛定谔方程下面我们讨论一下定态情况：若 不显含时间 ，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令：Ut(,)()()2.4r tr f t221()2idfU rf dtm将上式代入薛定谔方程并用 遍除等式两边，可得：()()r f t显然上式左边只和 有关，右边只和 有关，故两边都只能等于一个常数，用 表示这个常数，有trE2.5dfiEfdt22()2.62U rEm和上式可改写为：222()()02.7mrEU r此即定态薛定谔方程定态薛定谔方程。2.3 薛定谔方程方程（2.5）的解可直接给出为()iEt

5、f tce代入 （2.4）并将 吸收入 中去，并有归一化条件来确定，有 c()r(,)()2.8iEtr tr e又具有这种形式的波函数描述的状态称为 。定态而满足 (2.8)式的波函数 和 ，(,)r t()r称为定态波函数定态波函数。2.5dfiEfdt2.薛定谔方程以 表示体系的能量算符的第 个本征值，是与 相应的波函数，则体系的第 个定态波函数是nEnnnnE(,)()niEtnr tr e含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：(,)()niEtnnnr tcr e 一维势阱问题一维势阱问题粒子粒子势能势能 满足满足边界边界条件条件pEpEaxxEax,0,0,0

6、p (1)是固体物理金属中自由电子的简化是固体物理金属中自由电子的简化模型；模型；(2)数学运算简单，量子力学的基本概数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来念、原理在其中以简洁的形式表示出来.3.一维定态问题讨论pEaxo),0(,0axxaxxE,0,p228hmEk axE0,0p08dd2222hmEx0dd222kxpEaxokxBkxAxcossin)(0dd222kx波函数的波函数的标准条件：标准条件：单值、有限和连续单值、有限和连续.0,0,0BxkxAxsin)(pEaxo,0sinnkaka228hmEk 2228mahnE,3,2,1,nank量子

7、数量子数0sin,kaAax0sinkapEaxokxAxsin)(xanAxsin)(,3,2,1,nank 归一化归一化条件条件1dd0*2xxa1dsin022xxanAaaA2pEaxo)0(,sin2)(axxanaxkxAxsin)(ankaA2得得08dd2222hmEx 波动方程波动方程pEaxoxanaxsin2)(22 概率密度概率密度2228mahnEn 能量能量)0(,sin2axxana)(x),0(,0axx 波函数波函数pEaxoa 粒子粒子能量能量量子化量子化讨论：讨论：基基 态态 能能 量量)1(,8221nmahE2228mahnEn 能能 量量 激发态激发

8、态能量能量),3,2(,812222nEnmahnEn 一维无限深方势阱中粒子的一维无限深方势阱中粒子的能量能量是是量子化量子化的的.pEaxob 粒子在粒子在势阱中各处势阱中各处出现的出现的概率密度概率密度不同不同概率密度概率密度)(sin2)(22xanaxxanaxsin2)(波波 函函 数数 例如，当例如，当 n=1时，时，粒子在粒子在 x=a/2处出处出现的几率最大现的几率最大 c 波函数为波函数为驻波形式驻波形式，阱壁处为波节，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数波腹的个数与量子数 n 相等相等0 xa1n2n3n4nn2nxanAxsin)(xanaxsin2)(220pEa16E1

9、9E14E1E10 x 本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。设描述粒子状态的波函数是 ，在 时刻 在 点周围单位体积内粒子出现的几率是：几率密度随时间的变化率为：(,)r trt*(,)(,)(,)r tr tr t*ttt4.概率流密度与概率流守恒定律n由薛定谔方程及其共轭：212iUtmi*2*12iUtmi n可得：*22*()2()2.4.12itmim 4。概率流密度与概率流守恒定律4.概率流密度与概率流守恒定律令：称为概率流密度，由（2.4.1）式得：（2.4.2）式就是概率流守恒定律。*()2iJm 02.4.2Jt4.概率流密度与概率流守恒定律对上式两边同时对任意空间体积 积分VVSddVJdSdt 这是概率流守恒定律的积分表示此式表明，在空间某体积 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过 的边界 流入体积 的概率。VVVS4.概率流密度与概率流守恒定律A.若以粒子的质量 乘 和 ，则有：mJ2(,)mmmr t是在 时刻在点 的质量密度。rt*()2miJmJ 是质量流密度，满足：0mmJt即量子力学中的质量守恒定律4.概率流密度与概率流守恒定律B.同样，以粒子电荷 乘 和 后，得到是电流密度，eJee是电荷密度，eJeJ方程 是量子力学中的电荷守恒定律。0eeJt