2019届安徽省宣城市高三上学期期末数学（文）试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 17 页 2019 届安徽省宣城市高三上学期期末数学（文）试题届安徽省宣城市高三上学期期末数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1设全集设全集U是实数集是实数集R，已知集合，已知集合 2 |2 Ax xx， 2 |log (1)0Bxx，则，则 () U C AB （ ） A |1 2xx B |12xx C |12xx D |12xx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 2 2 |02, |02, U Ax xxx xxC Axx或 2 |log10 |12, |12. U BxxxxC ABxx 本题选择 C 选项. 2 设 设i为虚数单位， 复数为虚数单位， 复数(2

2、)1i zi ， 则 ， 则z的共轭复数的共轭复数z在复平面中对应的点在 （在复平面中对应的点在 （ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】D 【解析】【解析】复数 1 3i 2i1 i,2i2i2i 1+i , 5 zzz ，则z的共轭 平面复数 13 i 55 z 在复平面中对应的点 13 , 55 在第四象限，故选 D. 3设数列设数列an是公比为是公比为 q 的等比数列，则的等比数列，则“0q1”是是“an为递减数列为递减数列”的（的（ ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条

3、件充分必要条件 D既既不充分也不必要条件不充分也不必要条件 【答案】【答案】D 【解析】【解析】分别举出反例证明既不充分也不必要即可. 【详解】 当 1 1a , 1 2 q 时,满足01q,但 n a是递增数列. 当 1 1a ,2q =时满足 n a是递减数列,但不满足01q. 故“0q1”是“an为递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了等比数列的辨析,及充分必要条件判断，是基础题 第 2 页 共 17 页 4已知下表所示数据的回归直线方程为已知下表所示数据的回归直线方程为 y44x，则实数，则实数 a 的值为的值为 x 2 3 4 5 6 y 3 7 11

4、 a 21 A16 B18 C20 D22 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【详解】 4x ，代入回归直线方程得 12y ，所以 1 12371121 5 m，则18a ， 故选择 B. 5若若 1lnln 1 ,1 ,ln ,( ), 2 xx xeax bce 则则, ,a b c的大小关系是（的大小关系是（ ） Acba Bbca Cabc Dbac 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由对数函数与指数函数的性质即可求得. 【详解】 1,1 xe ln0ax 1 2 x y 为减函数 ln 1 1 2 x b ln1 (,1) x cexe bca 故选 B. 【点睛】 本题考查有

5、理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数 的性质是关键，属于中档题 6将函数将函数3sin(2) 3 yx 的图象向右平移的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数（个单位长度，所得图象对应的函数（ ） 第 3 页 共 17 页 A在区间在区间 7 , 12 12 上单调递减上单调递减 B在区间在区间 7 , 12 12 上单调递增上单调递增 C在区间在区间, 63 上单调递减上单调递减 D在区间在区间, 63 上单调递增上单调递增 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：将函数3sin(2) 3 yx 的图象向右平移 2 个单位长度，得 2 3sin(

6、2()3sin(2) 233 yxx ， 7 1212 x ， 2 2 232 x ， 函数3sin(2) 3 yx 在 7 , 12 12 上为增 函数 【考点】函数图象的平移、三角函数的单调性 7若点若点 A 的坐标为（的坐标为（3，1） ，） ，F 为抛物线为抛物线 y22x 的焦点，点的焦点，点 P 是抛物线上的一动点，是抛物线上的一动点， 则则|PA|+|PF|取最小值时点取最小值时点 P 的坐标为（的坐标为（ ） A （ （0，0） B （ （1，1） C （ （2，2） D （ （ 1 2 ，1） 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据抛物线的定义转换求解即可. 【详解】 过P

7、作PD垂直准线于D,则PDPF,故PAPFPAPD当,A P D三点共 线的时候取得最小值,此时P的纵坐标为 1,故 2 1 12 2 pp xx.故 1 ,1 2 P 故选：D 【点睛】 第 4 页 共 17 页 本题主要考查了抛物线定义的运用,需要根据题意进行转化,属于中档题. 8某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A8 2 B162 C20 2 D16 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由三视图可知，直观图是正方体挖去两个 1 4 圆柱，即可求出表面积 【详解】 解：由三视图可知，直观图是正方体挖去两个 1 4 圆柱 该几何

8、体的表面积为 1 22 24 1 2221 216 24 ， 故选：D 【点睛】 本题考查了三视图，以及表面积的计算，这类型题的关键在于三视图的还原，属于中档 题 9已知函数已知函数 f（x） 314 ,1 ,1 x axa x ax 是（是（，+）上的减函数，那么）上的减函数，那么 a 的取值的取值 范围是（范围是（ ） A （ （0，1） B （ （0， 1 3 ） C 1 6 ， 1 3 ） D （ （ 1 6 ， 1 3 ） 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据分段函数的递减性可知两个函数段上的函数为减函数,且交界处也满足递 减的关系列式即可. 【详解】 由分段函数为减函数可知 3

9、10 11 01 63 314 a aa aaa . 故选：C 第 5 页 共 17 页 【点睛】 本题主要考查了根据分段的增减性求参数范围的问题.属于基础题. 10若若cos2sin5, 则则tan（ ） A 1 2 B2 C 1 2 D-2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】略 11设设 x，y 满足约束条件满足约束条件 840 10 40 xy xy xy ，目标函数，目标函数 zax+by（a0，b0）的最大）的最大 值为值为 2，则，则 11 ab 的最小值为（的最小值为（ ） A5 B 5 2 C 9 2 D9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据线性规划的方法,确定目标函数

10、的最大值的最优解,进而求得, a b满足的关 系式再利用基本不等式求解 11 ab 的最小值即可. 【详解】 画图可得,zaxby取得最大值时的最优解在点A处, 此时 8401 404 xyx xyy ,故1,4A .故4 2ab, 第 6 页 共 17 页 故 1111114 41 4 22 ba ab ababab 149 52 22 b a ab ,当且仅当 4ba ab 时取等号. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了线性规划以及基本不等式的综合问题,需要根据题意确定最优解并代入 利用基本不等式求解,属于中档题. 12已知点已知点 P 在直线在直线 y2x+1 上，点上，点 Q 在曲线在

11、曲线 yx+lnx 上，则上，则 P，Q 两点间距离的最两点间距离的最 小值为（小值为（ ） A 3 5 5 B 2 5 5 C2 5 D3 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 易得当在Q点处的切线与21yx平行,且过Q作21yx的垂线垂足为P 时,P Q的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】 由题可知, 当在Q点处的切线与21yx平行,且过Q作21yx的垂线垂足为P时 第 7 页 共 17 页 ,P Q的距离最小.此时lnyxx的导函数 1 1y x . 设 00 ,Q x y,则 0 0 1 121x x , 000 ln1yxx,即1,1Q. 此时,P Q的距离最小值为1,1

12、Q到直线21yx即210xy 的距离 22 2 1 12 5 2 2 5 1 5 d . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于 基础题. 二、填空题二、填空题 13 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周今有圆窖周 五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四有圆柱形容器，底面圆周长五丈四 尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（

13、古制（古制 1 丈丈=10 尺，尺，1 斛斛=1.62 立方尺，圆周立方尺，圆周 率率3） ，则该圆柱形容器能放米） ，则该圆柱形容器能放米_斛斛 【答案】答案】2700 【解析】【解析】2r=54,r9,圆柱形容器体积为 22 3 918r h ,所以此容器能装 2 3 918 2700 1.62 斛米 14 ABC 的内角的内角 A、B、C 的对边分别为的对边分别为 a、b、 、c.已知已知 sinB+sinA（sinCcosC）0， a2，c 2 ，则，则 C_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】根据和差角公式化简可得 3 4 A ,再根据正弦定理求解C即可. 【详解】 sinBs

14、in（A+C）sinAcosC+cosAsinC, sinB+sinA（sinCcosC）0, sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC0, cosAsinC+sinAsinC0, 第 8 页 共 17 页 sinC0, cosAsinA, tanA1, 0A, A 3 4 , a2,c 2 , 由正弦定理可得 ca sinCsinA ,可得：sinC 2 2 1 2 22 c sinA a , ac, C 6 . 故答案为： 6 【点睛】 本题主要考查了和差角公式以及解三角形进行边角互化求角度等方法,属于中档题. 15在平行四边形在平行四边形 ABCD 中中, A

15、D =“ 1,“60BAD , E 为为 CD 的中点的中点. 若若1AC BE , 则则 AB 的长为的长为 . 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】设 AB 的长为x，因为AC AB BC ，BE BC CE ，所以 AC BE ()ABBC()BCCE= 2 AB BCAB CEBCBC CE = 1 cos180 22 x xx+ 1+1cos120 2 x =1， 解得 1 2 x ，所以 AB 的长为 1 2 . 【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识 是解答好本类题目的关键. 16设设 A，B 是椭圆是椭圆 C： 22 3 xy m 1

16、 长轴的两个端点，若长轴的两个端点，若 C 上存在点上存在点 M 满足满足AMB 120 ，则，则 m 的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 （0，19，+） 【解析】【解析】分焦点在 , x y轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点M 在椭圆的短轴端点 上,进而求解m的临界值,进而求得取值范围即可. 第 9 页 共 17 页 【详解】 假设椭圆的焦点在 x 轴上,则 0m3 时, 假设 M 位于短轴的端点时,AMB 取最大值,要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB 120 ,AMB120,AMO60,tanAMO 3 m tan603, 解得：0m1； 当椭圆的焦点在 y 轴上时,

17、m3, 假设 M 位于短轴的端点时,AMB 取最大值,要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB 120 ,AMB120,AMO60,tanAMO 3 m tan603,解得：m9, m 的取值范围是（0,19,+） 故答案为： 0,19, 【点睛】 本题主要考查了椭圆中的范围问题,主要是临界条件的分析方法,属于中档题. 第 10 页 共 17 页 三、解答题三、解答题 17设递增等比数列设递增等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a23，S313，数列，数列bn满足满足 b1a1，点，点 P（bn，bn+1）在直线）在直线 x y+20 上，上，nN. （1）求数列）求数列an，

18、bn的通项公式；的通项公式； （2）设）设 cn n n b a ，求数列，求数列cn的前的前 n 项和项和 Tn. 【答案】【答案】 （1）an3n 1，bn2n1（2）Tn3（n+1）（1 3 ）n 1 【解析】【解析】 (1)利用基本量法求解 n a,再代入 1 , nn P b b 到直线20xy可得 n b为等 差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】 （1）递增等比数列an的公比设为 q,前 n 项和为 Sn,且 a23,S313, 可得 a1q3,a1+a1q+a1q213,解得 q3 或 q 1 3 , 由等比数列递增,可得 q3,a11,则 1

19、 3 n n a； P（bn,bn+1）在直线 xy+20 上,可得 bn+1bn2, 且 b1a11,则 bn1+2（n1）2n1； （2）cn n n b a （2n1）（ 1 3 ）n 1, 前 n 项和 Tn11+3 1 3 5 1 9 （2n1）（ 1 3 ）n 1, 1 3 Tn1 1 3 3 1 9 5 1 27 （2n1）（ 1 3 ）n, 相减可得 2 3 Tn1+2（ 11 39 （ 1 3 ）n 1）（2n1）（1 3 ）n 1+2 1 11 1 33 1 1 3 n （2n1）（ 1 3 ）n, 化简可得 Tn3（n+1）（ 1 3 ）n 1. 【点睛】 本题主要考查了

20、等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题. 18某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损， 可见部分如图（已知本次测试成绩满分可见部分如图（已知本次测试成绩满分 100 分，且均为不低于分，且均为不低于 50 分的整数） ，请根据图分的整数） ，请根据图 第 11 页 共 17 页 表中的信息解答下列问题表中的信息解答下列问题. （1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在70，80）之间的矩形的高；）之间的矩形的高； （2）为了

21、帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一二帮一”小组，即从成绩小组，即从成绩90，100 中选两位同学，共同帮助中选两位同学，共同帮助50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为 53 分，乙同分，乙同 学的成绩为学的成绩为 96 分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 【答案】【答案】 （1）50 人，0.04； （2） 1 8 【解析】【解析】(1)先根据频数计算在50,60）上的频率,继而求得全班总人数,再根据70,80）之 间的人数求得70,80）之间的频率与高即

22、可. (2)根据题意求得50,60） 中的人数与90,100） 分数段内的人数,再编号利用枚举法求解即 可. 【详解】 （1）由茎叶图知分数在50,60）上的频数为 4, 频率为 0.008 100.08, 故全班的学生人数为 4 0.08 50 人, 分数在70,80）间的频数为：50（4+14+8+4）20, 频率是 20 0.4 50 ,矩形的高是 0.4 10 0.04. （2）成绩在50,60）分数段内的人数有 4 人,记为甲、A、B、C, 成绩在90,100）分数段内的人数有 4 人,记为乙、a,b,c, 则“二帮一”小组有以下 24 种分组办法： 甲乙 a,甲乙 b,甲乙 c,甲

23、 ab,甲 ac,甲 bc,A 乙 a,A 乙 b, A 乙 c,Aab,Aac,Abc,B 乙 a,B 乙 b,B 乙 c,Bab, Bac,Bbc,C 乙 a,C 乙 b,C 乙 c,Cab,Cac,Cbc, 其中,甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法：甲乙 a,甲乙 b,甲乙 c, 甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P 31 248 . 【点睛】 本题主要考查了茎叶图与频率分布直方图的应用,同时也考查了枚举法解决古典概型问 题,属于基础题. 第 12 页 共 17 页 19如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=

24、2， D 为线段为线段 AC 的中点，的中点，E 为线段为线段 PC 上一点上一点 （1）求证：平面）求证：平面 BDE平面平面 PAC； （2）若）若 PA平面平面 BDE，求三棱锥，求三棱锥 E-BCD 的体积的体积 【答案】【答案】(1)证明见解析.(2) 1 3 . 【解析】【解析】 （1）要证平面BDE 平面PAC，可证BD 平面PAC，PA 平面ABC， 运用面面垂直的判定定理可得平面PAC 平面ABC，再由等腰三角形的性质可得 BDAC，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （2）由线面平行的性质定理可得/PADE，运用中位线定理，可得DE的长，以及 DE 平面ABC，求得三角形B

25、CD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求 值 【详解】 (1)证明：由已知得PA 平面ABC，PA平面PAC，平面PAC 平面ABC， 平面PAC平面ABCAC，BD 平面ABC，BDAC，BD 平面PAC， BD 平面BDE，平面BDE 平面PAC. (2) /PA平面BDE，又平面PAC平面BDEDE，PA平面PAC， /PADE，D是AC中点，E为PC的中点，1DE ， 111 2 21 222 BDEABC SS ， 111 11 1 333 E BCD VDE . 20如图，已知椭圆如图，已知椭圆 C： 22 22 xy ab 1（ab0）的离心率为）的离心率为 3 2 ，短

26、轴长为，短轴长为 2，直线，直线 l 与圆与圆 O：x2+y2 4 5 相切，且与椭圆相切，且与椭圆 C 相交于相交于 M、N 两点两点. 第 13 页 共 17 页 （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2）证明：）证明：OMON为定为定值值. 【答案】【答案】 （1） 2 2 4 x y1； （2）证明见解析 【解析】【解析】(1)根据椭圆中基本量的关系列式求解即可. (2)由题可设直线: l my xt,再根据直线与圆 22 4 5 xy相切可得 22 544tm ,再 联立直线与椭圆的方程求得OM ON 的解析式,再代入 22 544tm化简求值即可. 【详解】 （1）解：由题

27、意可得： 3 2 c a ,2b2,a2b2+c2,联立解得 a2,b1,c 3 . 椭圆 C 的方程为 2 2 4 x y1. （2）证明：设 M（x1,y1）,N（x2,y2）, 直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为：myxt, 直线 l 与圆 O：x2+y2 4 5 相切, 则 2 2 5 1 t m ,化为：5t24m2+4. 联立 2 2 1 4 myxt x y ,化为： （m2+4）y2+2mty+t240, 0. y1+y2 2 2 4 mt m ,y1y2 2 2 4 4 t m , x1x2（my1+t） （my2+t）m2y1y2+mt（y1+y2）+t2.

28、 OMON x1x2+y1y2（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2 第 14 页 共 17 页 （m2+1） 2 2 4 4 t m mt（ 2 2 4 mt m ）+t2 22 2 544 4 tm m 0, 直线 l 的斜率为 0 时,上式也成立. 因此OMON 0 为定值. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理表示数量 积的运算,再代入韦达定理证明定值的问题.属于难题. 21已知函数已知函数 （1）若函数在区间）若函数在区间 1 ( ,) 2 a a上存在极值，其中上存在极值，其中 a 0，求实数，求实数 a 的取值范围；的取值范围；

29、（2）如果当）如果当1x 时，不等式时，不等式( ) 1 k f x x 恒成立，求实数恒成立，求实数 k 的取值范围；的取值范围； （3）求证）求证: 2 2 (1)(1)() n nnenN ！ 【答案】【答案】(1)(2)k2(3)略 【解析】【解析】 【详解】 （2）不等式( ), 1 k f x x 即为 (1)(1ln ) , xx k x 记 (1)(1ln ) ( ), xx g x x 所以 2 (1)(1 ln )(1)(1 ln ) ( ) xxxxx g x x 2 lnxx x 令( )lnh xxx，则 1 ( )1h x x ，1x，( )0,h x ( )h x

30、 在1,)上单调递 增， min( )(1)10h xh ，从而 ( )0g x ， 故( )g x在1,)上也单调递增， 所以min( )(1)2g xg，所以k2 第 15 页 共 17 页 （3）由（2）知： 2 ( ), 1 f x x 恒成立，即 122 ln11 11 x x xxx ， 令(1)xn n，则 2 ln(1)1 (1) n n n n ， 所以 2 ln(1 2)1 1 2 , 2 ln(2 3)1 2 3 ， 2 ln(3 4)1 3 4 ， = ， 叠加得： 232 111 ln 1 23(1)2 1 22 3(1) n nn n n =n-2(1-)n-2+n

31、-2 则 2222 1 23(1) n n ne ，所以(n+1)!2(n+1).en-2(nN) 22已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与处，极轴与x轴的正半轴重合，且轴的正半轴重合，且 长度单位相同圆长度单位相同圆C的参数方程为的参数方程为 12cos 12sin x y （为参数） ，点为参数） ，点Q的极坐标为的极坐标为 7 (2,) 4 （1）化圆）化圆C的参数方程为极坐标方程；的参数方程为极坐标方程； （2）若点）若点P是圆是圆C上的任意一点，求上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值两点间距离的最小值 【答案】【答案】 （1）

32、2 2 cos2 sin20（2） 2 【解析】【解析】 （1）先利用关系 22 cossin1消去参数得到曲线C的普通方程，再利用 互化公式得到其极坐标方程. （2）由于该定点为圆内的点，则圆上动点到定点的最小距离为半径减去圆心到定点距 离，利用该结论即可求出距离最小值. 【详解】 解： （1）圆C的直角坐标方程为 22 114xy， 展开得 22 2220xyxy， 化为极坐标方程 2 2 cos2 sin20 第 16 页 共 17 页 （2）点Q的直角坐标为2,2，且点Q在圆C内，由（1）知点C的直角坐标为 1, 1， 所以22QC ， 所以,P Q两点间距离的最小值为2222PQ 【

33、点睛】 主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及圆上 动点到定点的最小距离，属于基础题.对于将参数方程转化为普通方程，关键在于消参. 而直角坐标方程与极坐标方程的互化，运用对应的互化公式即可.圆上动点到定点的距 离最小值为圆心到定点距离与半径之差的绝对值. 23已知函数已知函数( ) | |21|f xxax. (1)当当 a2 时，求时，求 3 0f x 的解集；的解集； (2)当当 x1,3时，时， 3f x 恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】| 42xx； 35a ， 【解析】【解析】 （1）当2a时，由 3f x ，得到22

34、33xx，分类讨论，即可 求解 （2）若当1,3x时， 3f x 成立，得到32122xaxx，根据绝对 值的定义，去掉绝对值，即可求解 【详解】 （1）当2a时，由 3f x ，可得2213xx ， 1 2 2213 x xx 或 1 2 2 2213 x xx 或 2 2213 x xx ， 解得： 1 4 2 x ，解得： 1 2 2 x，解得：2x， 综上所述，不等式的解集为42xx （2）若当1,3x时， 3f x 成立， 即32122xaxx ，故2222xxax ， 即322xax ， 第 17 页 共 17 页 232xax 对1,3x时成立，故3,5a 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是 运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法 二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时 强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向