逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论课件.ppt

1、 引言引言 对于数的运算，如果对于数对于数的运算，如果对于数 ，存在数，存在数 ，使得，使得 ，则称数，则称数 为数为数 的倒数，记作的倒数，记作 。ab1ab ab1ba从而有从而有 1aa bb对于矩阵运算，是否有相似之处呢？对于矩阵运算，是否有相似之处呢？逆矩阵的概念逆矩阵的概念 设设A为为n阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在n阶方阵阶方阵B，使得，使得AB=BA=E，则称，则称矩阵矩阵B为方阵为方阵A的逆矩阵的逆矩阵，记作，记作B=A-1.逆矩阵也称为逆矩阵也称为非奇异矩阵非奇异矩阵。例如：例如：12323212101311111301所以所以112321311当然当然 13212111

2、3 逆矩阵存在的充分必要条件逆矩阵存在的充分必要条件1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA性质性质EAAAAA*2、逆矩阵存在的、逆矩阵存在的充分必要条件充分必要条件 方阵方阵A可逆可逆det0A且且AAA*1推论推论：如果：如果A是是n阶方阵，则阶方阵，则1*nAA推论：如果推论：如果A可逆，则可逆，则AA11注意足标注意足标的变化的变化1、方阵、方阵 的的伴随矩阵伴随矩阵 ()ijn nAa 为元素为元素 的的 代数余子式代数余子式 ijAija例例1 判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵312213311A21634

3、20031210021B（1）（2）11311313det3122011001213100A 解解 因为因为所以矩阵所以矩阵A可逆可逆1312111A5322312A1121313A0313121A3323122A1121123A1213131A7233132A2131133A211735101*A所以所以1101537112A（2）因为）因为1200121300243612B所以，矩阵所以，矩阵B不可逆不可逆12001213000240012例例2 用逆矩阵求解线性方程组用逆矩阵求解线性方程组3532522132321321321xxxxxxxxx解解 将方程组改写成矩阵形式，得将方程组改写

4、成矩阵形式，得321153522321321xxx因为因为015153522321因而有因而有231341111381201541230 所以，系数矩阵所以，系数矩阵A可逆可逆1123123122523513xxx 解解 记原矩阵方程为记原矩阵方程为 AXB=C，因为，因为62141A21102B所以，矩阵所以，矩阵 A、B 都可逆都可逆在原方程两边同时在原方程两边同时左乘左乘 A-1，右乘右乘 B-1，得，得04/111210121101311426111CBAX例例3 求解矩阵方程求解矩阵方程101311022141X逆矩阵的性质逆矩阵的性质 1、逆矩阵是唯一存在的。、逆矩阵是唯一存在的。

5、2、AB=E BA=E3、若、若A可逆，则可逆，则A-1也可逆，且也可逆，且 .11()AA4、若、若A可逆，数可逆，数 ，则，则 0111()AA5、若、若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则 111()ABB A6、若、若A可逆，则可逆，则 11()()TTAA7、11AA（此性质可将定义简化）（此性质可将定义简化）解解1*32AA*34343AA 21264162727 1*132AA*123AAA例例4 设三阶方阵设三阶方阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ，且，且 ，求求1*32AA*A12A 分块矩阵的概念分块矩阵的概念 用用穿过矩阵穿过矩阵的横线和竖线将矩阵的横线和竖线将矩阵A分

6、割成若干个子块，以分割成若干个子块，以这些这些子块为元素子块为元素的矩阵的矩阵A称为分块矩阵。称为分块矩阵。例如例如3132414111131423243515252213334432424542aaaaaAaaaaaaaaaaaaaaa则则A可记作可记作211213122132AAAAAAA称称A为以子块为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的为元素的分块矩阵分块矩阵。12345678432187651234567843218765如：如：则不是分块矩阵。则不是分块矩阵。分块矩阵分块矩阵分块矩阵的加减运算分块矩阵的加减运算设设A、B同型同型，且采用，且采用完全相同的分块

7、方法完全相同的分块方法，得，得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA111212122212ssrrrsBBBBBBBBBB则则111112121121212222221122sSsSrrrrrsrsABABABABABABABABABAB注意：注意：A i j与与B i j同型同型 分块矩阵的数乘及转置分块矩阵的数乘及转置 设将设将A分块得分块得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAAR则则111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA112111222212TTTTTTrTrssrTTTsAAAAAAAAAA100n111212122212.nn

8、nnnnppppppppp记作记作12.nPPP100n12.nPPP列分块列分块 分块矩阵的转置运算分块矩阵的转置运算子块当作元素转置后子块本身子块当作元素转置后子块本身再转置再转置。如。如321031453336T 313233413506TTTTTT333213143056先把子块当作元素运算，然后子块再运算。先把子块当作元素运算，然后子块再运算。只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。分块矩阵的乘法运算分块矩阵的乘法运算111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA111212122212ttssstBBBBBBBBBB设设

9、A、B矩阵分块得矩阵分块得则则111212122212ttrrrtCCCCCCABCCC其中其中1sijikkjkCA B注意注意：A的列块数的列块数=B的行块数；的行块数；A i k的列数的列数=B k j的行数的行数例题：例题：设设1000010012101001A1010120110311120B将将A、B适当分块，计算适当分块，计算AB解解 将将A、B作如下分块：在一、二行之间插入横线，作如下分块：在一、二行之间插入横线，在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则10EAAE123BEBBB则则111213BEABABBAB而而 11010 120

10、1BE1121210104410120121ABB13123143102030AB所以所以1010120144432130AB1、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按 矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进行实质上的矩阵运算。再进行实质上的矩阵运算。2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘 时，左矩阵的列块数必须等于

11、右矩阵的行块数，同时还时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还 须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行 数。数。小结：小结：分块对角矩阵分块对角矩阵 如果可将矩阵如果可将矩阵A进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵A为为分块对角矩阵分块对角矩阵。1122ssAAAA其中其中A i i 为为方阵子块方阵子块，其余子块，其余子块均为零子块均为零子块分块对角矩阵的性质分块对角矩阵的性质（1）1122ssAAAA（2）若）若A可逆，则可逆，则11111221ssAAAA 分块对角矩阵分块对角矩阵1122

12、0.0000.000ssAAAA其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如230000010000000000000109000208000307（方阵）（方阵）230000001000001000000109000208000307是是 不是不是 例题例题解解 将将A分块：一、二行，三、四行之间各插入横线，分块：一、二行，三、四行之间各插入横线，在一、二列，三、四列之间各插入竖线，则在一、二列，三、四列之间各插入竖线，则112233AAAA其中其中11223321131,3242AAA所以所以14A 11000002100032000001/73/140002/71/14A1000002100032000001300042A，求，求|A|及及A-1设设