连续型随机变量-课件.ppt

1、一、连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量的概率分布二、几种重要的连续型随机变量的概率分布二、几种重要的连续型随机变量的概率分布定义定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f(x)，使得对于任意 实数 x，有则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量连续型随机变量 X X 由其密度函数唯一确定由其密度函数唯一确定一、连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量的概率分布 由定义知道，概率密度 f(x)具有以下性质：.0)(10 xf.1)(20dxxff(x)0 x1)(.)()()(3211

2、221021xxdxxfxFxFxXxPxxf(x)x01x2x).()()(40 xfxFxxf处连续，则有在点若 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是密度函数不是概率！概率！我们不能认为：！afaXP，对任意的实数是连续型随机变量，则设aX0 aXP有证明：所以有所以有aXP0 aXP0 aanndxxf1limaXnaPn1lim由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问

3、题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题，的密度函数为若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX GdxxfGXP例例1设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其它020242xxxcxf解：由密度函数的性质；求：常数 c1XP 1dxxf dxxf1得20224dxxxc2032322xxcc3883c所以，11dxxfXP 221dxxfdxxf 2200dxxfdxxfdxxf2122483dxxx213

4、232283xx21例例2：某电子元件的寿命（单位：小时）是以：某电子元件的寿命（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.解：设：A=某元件在使用的前 150 小时内需要更换 150XPAP则检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重Bernoulli试验试验 B=5 个元件中恰有个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过个的使用寿命不超过150小时小时 150dxxf1501002100dxx31 32253231 CBP则24380的分布函

5、数为：设连续型随机变量例X3 xarctgxxF121的密度函数试求 X解：，则的密度函数为设xfX xFxfxx2111的密度函数为：设随机变量例X4 其它021210 xxxxxf的分布函数试求 X解：xdttfxFx时，当00 xdttfxFx时，当10 xdttfdttf00 xtdt022x xdttfxFx时，当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212xx xdttfxFx时，当2 xdttfdttfdttfdttf221100122110dtttdt的分布函数量综上所述，可得随机变X xxxxxxxxF21211221020022若随机变量若随机

6、变量 X X 的密度函数为的密度函数为 其它01bxaabxf上的均匀分布，服从区间则称随机变量baX记作 X U a,b 则有：是其密度函数，上的均匀分布，区间设xfbaX ；，有对任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxfbadxab11 确是密度函数其它01bxaabxf由此可知，类似地，我们可以定义类似地，我们可以定义上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布，区间ba该子区间的位置无关间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量baXbaX上取值是等可能的，在区间量这时，可以认为随机

7、变baXXXabxll0lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc xbbxaabaxaxxF10abxF(x)01的分布函数为则上的均匀分布，服从区间若随机变量XbaX 例例5：设公共汽车站从上午：设公共汽车站从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一分钟来一班车班车,如果某乘客到达此站的时间是如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到到7:30之之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率分钟的概率解：解：设该乘客于设该乘客于7时时X分到达此站分到达此站其密度函数为 其它0300301xxf上的均匀分布，服从区间则300X令：令：B=候车

8、时间不超过候车时间不超过5分钟分钟 30251510XPXPBP则30251510301301dxdx31上的均匀分布，服从区间：设随机变量例636试求方程02442xx有实根的概率解：的密度函数为随机变量 其它06391xxf有实根方程设：02442xxA 024442PAP则021P21或P62139191dxdx949232如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 000 xxexfx的指数分布参数为服从为常数，则称随机变量其中0 是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX；，有对任意的0 xfx 00dxxfdxxfdxxf0dxex1由此可知，0 xe 确是一密度函

9、数000 xxexfx的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量XX 0100 xexxFx分钟之间的概率钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电如果某人刚为参数的指数随机变量以（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时2010101X解：的密度函数为X 00010110 xxexfx 2010XPBP则令：B=等待时间为1020分钟 201010101dxex201010101xe21ee2325.0的密度函数为如果连续型随机变量X xexfx22221正态分布记作的，服从，参数为则称随机变量2Xxf(x)0为参数，其中02，NX为标准正态分布，我们称，若1010N数为标准正态分布的密度函 x

10、exx2221 是其密度函数，则有：，设xfNX2 xexfx021222下面验证：121222dxedxxfx下面验证：121222dxedxxfx首先验证：12122dxedxxx222dxex或验证：2222dxexdyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222为此为此,我们只需证明我们只需证明:02202222rdreddxerx0222re2222dxex因此，则有，作极坐标变换：sincosryrx下面验证：121222dxexdxedxexx2222122121则有1dueu2221dxduxu则，作变换：综上所述，xexfx22221 是

11、一个密度函数确本条件，因此满足密度函数的两项基xf 我们有：由高等数学中的知识，数对于正态分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有这表明：对于任意的对称，曲线关于直线0 xf(x)0hh 越小落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小这表明，越远，离取到最大值时，当Xxfxfxfx21 轴为渐近线以曲线处有拐点；在曲线Oxxfyxxfy 确定所图形的位置完全由参数因此其形状轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变若xfyxxf 的取值越分散形越平坦，这表明的图越大时，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于

12、固定，而改变若XxfyXxfyfxf21xf(x)01正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布，则其密度函数为，如果随机变量10 NX,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函数为 xXPxx 我们可直接查表求出对于0，我们可由公式如果0 x xtxdtedttx22

13、21x0)(xx-x，得，作变换dudtutxuduex2221xudue2221xudue22211 x1)1,0(2NXYNX，则，设 yXPyYPyFYytdte22221，代入上式，得，则作变换dtdutu yuYdueyF2221 yyXP)(xXPxFX)(xxXP 函数是标准正态分布的分布其中，x).()-b(bX Pa,aba有故对任意的)(xXPxFX)(xxXP；，试求：，设随机变量212110XPXPNX解：1221 XP84134.097725.013591.0 1221XP 11284134.0197725.081859.0；，试求：，设随机变量0625192XPXP

14、XPNX解：)1()5(51FFXP)321()325(311 1311162930.084134.047064.0例9：62162XPXP6261XP841XP)324()328(1 221 2120455.097725.012010XPXP)320(13217486.032的概率不超过个月的月降水量都起连续的正态分布求从某月）（单位：，某地区的月降水量服从cmcm5010440解：2440，则：该地区的月降水量设：NXX月降水量不超过再设：cmA50 50XPAP则：)44050(5.299379.0cmP5010个月降水量都不超过连续所以，1099379.09396.0分位点。为标准正态

15、分布的上则称点满足条件若设zzzNX,10,PX ),1,0(0 x)(x.57.2,645.1z ,z ,57.2,645.1z 995.00.95-1005.00.05zzz查表可知z1z的密度函数为如果连续型随机变量 X 0001xxexrxfxrr为参数，其中00r，记作：分布的，服从参数为则称随机变量rXrX4.-分布.函数的定义：01dxexrxr，函数的定义域：0 函数的性质：rrr1，2111！为自然数，则如果1nnn，得，则由如果111r 000 xxexfx的指数分布这正是参数为分布的一个特例这说明指数分布是 说明：说明：！得，由如果1nnnr 000!11xxexnxfxnn要的分布之一分布，它是排队论中重我们称此分布为Erlang为自然数，则有，其中，如果nnr212 0002212122xxexnxfxnn 的分布之一它是数理统计学中重要分布，记作的为我们称此分布为自由度nn22说明：说明：谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生