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类型高中数学讲义微专题97不等式选讲.doc

  • 上传人(卖家):副主任
  • 文档编号:453247
  • 上传时间:2020-04-10
  • 格式:DOC
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    关 键  词:
    高中数学 讲义 专题 97 不等式 下载 _一轮复习_高考专区_数学_高中
    资源描述:

    1、 微专题 97 不等式选讲 一、基础知识: (一)不等式的形式与常见不等式: 1、不等式的基本性质: (1)abba (2),ab bcac(不等式的传递性) 注:,ab bcac,ac等号成立当且仅当前两个等号同时成立 (3)abacbc (4),0;,0ab cacbc ab cacbc (5)02, nn ababnnN (6)02, nn abab nnN 2、绝对值不等式:ababab (1)abab等号成立条件当且仅当0ab (2)abab等号成立条件当且仅当0ab (3)abbcac:此性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中等号成立当且 仅当0abbc 3、均值不等式 (1)涉及

    2、的几个平均数: 调和平均数: 12 111 n n n H aaa 几何平均数: 12 n nn Ga aa 代数平均数: 12n n aaa A n 平方平均数: 222 12n n aaa Q n (2)均值不等式: nnnn HGAQ,等号成立的条件均为: 12n aaa (3)三项均值不等式: 3 3abcabc 222 3abca b c 3 3 abc abc 222 3 3 abc abc 4、柯西不等式: 2 222222 12121 12 2nnn n aaabbbaba ba b 等号成立条件当且仅当 12 12 n n aaa bbb 或 12 0 n bbb (1)二元

    3、柯西不等式: 2 2222 abcdacbd,等号成立当且仅当adbc (2)柯西不等式的几个常用变形 柯西不等式的三角公式: 222 222222 12121122nnnn aaabbbababab 2 222 12 12 1212 n n nn aaaaaa bbbbbb 222 2 12 1212 12 n nn n aaa bbbaaa bbb 式体现的是当各项 222 12 , n a aa系数不同时,其“平方和”与“项的和”之间的不等关系, 刚好是均值不等式的一个补充。 2 12 12 121 12 2 n n nnn aaaaaa bbba ba ba b 5、 排序不等式: 设

    4、 1212 , nn aaa bbb为两组实数, 12 , n c cc是 12 , n b bb 的任一排列,则有: 12111 12 21 12 2nnnnnn n a ba ba ba ca ca ca ba ba b 即“反序和乱序和顺序和” (二)不等式选讲的考察内容: 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立 2、利用常见不等式(均值不等式,柯西不等式)求表达式的最值,要注意求最值的思路与利 用基本不等式求最值的思路相似,即“寻找合适的模型将式子向定值放缩(消元)验证 等号成立条件” 3、解不等式(特别是含绝对值的不等式可参见“不等式的解法”一节) 二、典型例题: 例 1:若

    5、不等式131xxm恒成立,则m的取值范围为_ 思路:本题为恒成立问题,可知min113mxx,所以只需求出13xx的 最小值即可,一种思路可以构造函数 13f xxx,通过对绝对值里的符号进行分 类讨论得到分段函数: 24,1 2, 31 24,3 xx f xx xx ,进而得到 min2f x,另一种思路可 以想到绝对值不等式:13132xxxx,进而直接得到最小值,所以 12m,从而13m 答案:13m 例 2:若存在实数x使得 2 4210xxaa成立,求实数a的取值范围 思路:本题可从方程有根出发,得到关于a的不等式,从而解出a的范围 解:依题意可知二次方程 2 4210xxaa有解

    6、 164210aa 即214aa 当2a 时, 7 234 2 aa 7 2, 2 a 当12a时,21414aa 恒成立 1, 2a 当1a 时, 1 214 2 aaa 1 ,1 2 a 综上所述,可得 1 7 , 2 2 a 例 3:已知函数 20f xxxa a (1)当1a 时,解不等式 4f x (2)若不等式 4f x 对一切xR恒成立,求实数a的取值范围 (1)思路:所解不等式为214xx,可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解: (1)当1x 时, 2142xxx 1, 2x 当01x时,2 142xxx 0,1x 当0x 时, 2 2 14 3 xxx 2 ,0 3 x

    7、 综上所述:不等式的解集为 2 ,2 3 (2)思路:若不等式 4f x 恒成立,可知只需 min4f x即可, f x含绝对值,从而 可通过分类讨论将其变为分段函数 32 , 2,0, 23 ,0 xa xa f xax xa ax x ,通过分析函数性质即可得 到 min f xf aa,所以4a 解: 4f x 恒成立 min4f x 考虑 32 , 22,0, 23 ,0 xa xa f xxxaax xa ax x f x在,a单调递减,在, a 单调递增 min f xf aa 4a 例 4:已知, ,a b c都是正数,且236abc,求12131abc 的最大值 思路一:已知2

    8、3abc为常数,从所求入手,发现被开方数的和为233abc也为 常数,所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数” ,进而求得最大值 解: 222 12131 12131 33 abc abc 12131 3 abc 233 1213133 3 3 abc abc 等号成立当且仅当 2 12131 1 236 2 3 a abc b abc c 思路二:由所求可联想到柯西不等式(活用1) : 22 12131= 11121131abcabc , 从 而 可 得 : 2222 222 1112113111112131abcabc 即 2 11121131323327abcabc ,所以可知 12

    9、1313 3abc 小炼有话说:本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同(分别为均值不等式和柯西不等 式) ,但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数” 。证明的过程如下: 2 222222 1212 1 111111 nn n aaaaaa 个 2 222 1212nn aaan aaa 222 1212nn aaan aaa 222 12 12 n n aaa aaan n 222 1212nn aaaaaa nn 例 5:已知, ,a b c是实数,且 222 1abc,则22abc的最大值是_ 思 路 : 考 虑 将22abc向 222 abc进 行 靠 拢 , 由 柯

    10、西 不 等 式 可 知 2 222222 axbyczabcxyz,对照条件可知令2,1,2xbz即可,所 以 2 222222 222129abcabc,则223abc 答案:3 小炼有话说:使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等 式形式,然后找到所求与已知之间的联系,确定系数在柯西不等式的位置即可求解。 例 6:已知实数, , ,a b c d满足 2222 3,2365abcdabcd,则a的取值范围是 _ 思路:本题的核心元素为a,若要求a的取值范围,则需要寻找两个等式中项的不等关系,即 关于, ,b c d的不等关系,考虑到 2222 3,2365bcd

    11、a bcda ,联想到柯西不等 式 222 2 12 1212 12 n nn n aaa bbbaaa bbb ,则有 2 222 111 236 235 bcdbcd , 代入可得: 2 2 53aa解得:1,2a, 验证等号成立条件: 236 111 236 bcd 在1,2aa时均有解。 答案:1,2a 例 7:已知, ,a b c均为正数,求证: 2 222 111 6 3abc abc ,并确定, ,a b c为何 值时,等号成立 思路: 观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系, 右侧为常数, 所以可想到基本不等式中, a b 互为倒数时,2abab,右侧为一个常数。 322222

    12、2 3,abca b c 3 1111 9 abcabc ,从而将左侧的项均转化为与abc相关的项, 然后再利用基本不等式即可得到最小值6 3,即不等式得证 解:由均值不等式可得: 3222222 3abca b c 3 1111 3 abcabc 2 3 2 1111 9 abc abc 2 3222222 3 2 1111 39abca b c abc abc 3222 3 2 1 2396 3a b c abc 等号成立条件:abc 例 8:已知0,0ab (1)若2ab,求 14 11ab 的最小值 (2)求证: 2222 1a babab ab (1)思路:从所求出发可发现其分母若作

    13、和,则可与2ab找到联系,从而想到柯西不等 式的变式: 2 222 12 12 1212 n n nn aaaaaa bbbbbb ,从而 2 1214 3 111abab 解: 22 1412 1111abab 由柯西不等式可得: 2 22 121412 11111ababab 2ab 14 3 11ab (2)所证不等式等价于: 222222 a baba babab,观察左右的项可发现对左边任意 两项使用均值不等式,即可得到右边的某项,即: 2222 2222 22 2 2 2 a baa b a bbab abab ,三式相加即完成证 明 证明:由均值不等式可得: 2222 2222

    14、22 2 2 2 a baa b a bbab abab 三式相加: 222222 22a baba babab 即 222222 1a baba bababab ab 小炼有话说:对于求倒数和(即 12 , n a aa为常数)的最值,有两个柯西不等式的变式可供 使用: 2 222 12 12 1212 n n nn aaaaaa bbbbbb 和 2 12 12 121 12 2 n n nnn aaaaaa bbba ba ba b ,其不同之处在于对分母变形时运算的选择,第 一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和” ,在解题时 要根据题目中不同的定值条件

    15、来选择对应的不等式。 例 9:设, ,a b cR,求证: 3 a b c abc a b cabc 思路:所证不等式中的变量位于指数和底数位置,且为乘法与乘方运算,并不利于不等式变 形;所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数,同时将乘法运算转为加法运算。则所证 不 等式等价 于3 ln3 ln3 lnlnlnlnaabbccabcabc,化简后 可得 : 2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca,所证不等式为轮 换对称式,则不妨给, ,a b c定序,即0abc,则lnlnlnabc,由的特点想到排 序不等式,则lnlnlnaabbcc为顺序和,

    16、是最大的,剩下的组合为乱序和或反序和,必 然较小,所以有 lnlnlnlnlnln lnlnlnlnlnln aabbccabbcca aabbccbacbac ,两式相加即可完成证明。 证明:, ,a b cR 将所证不等式两边同取对数可得: 3 lnlnlnlnlnln 3 a b c abc abc a b cabcaabbccabc 3 ln3 ln3 lnlnlnlnaabbccabcabc 3 ln3 ln3 lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnaabbccaaabacbabbbccacbcc 2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca

    17、 所证不等式为轮换对称式 不妨设0abc lnlnlnabc lnlnlnlnlnln lnlnlnlnlnln aabbccabbcca aabbccbacbac 可得:2 ln2 ln2 lnlnlnlnlnlnlnaabbccabacbabccbca 即证明不等式 3 a b c abc a b cabc 小炼有话说: 使用排序不等式的关键在于首先要有一个 “顺序” , 本题已知条件虽然没有, ,a b c 的大小关系, 但由所证不等式 “轮换对称” 的特点, 可添加大小关系的条件, 即0abc, 从而能够使用排序不等式。 例 10:设正数, ,x y z满足221xyz (1)求3xy

    18、yzzx的最大值 (2)证明: 311125 11126xyyzzx (1)思路:所求表达式为多元表达式,所以考虑减少变量个数,由221xyz得 21xyz ,则 1 333 2 z xyyzzxxyz xyxyz ,下面考虑将xy进行 转 化 , 向xy 靠 拢 , 利 用 基 本 不 等 式 2 4 xy xy 进 行 放 缩 , 可 得 : 2 2 11313 3 42442 zzzz xyyzzxxyz ,再求关于z的表达式的最大 值即可。 解:221xyz 21xyz 1 333 2 zz xyyzzxxyz xyxy 22 1 416 xyz xy 2 2 115111 33 16

    19、216555 zzz xyyzzxz 3xyyzzx的最大值为 1 5 ,此时 11 55 221 xy zxyz xyz (2) 思路: 由 (1) 可知3xyyzzx的最大值为 1 5 , 且所证不等式的左边分母含有,xy yz zx 项,所以考虑向3xyyzzx的形式进行靠拢,联想到柯西不等式的一个变形公式: 2 12 12 121 12 2 n n nnn aaaaaa bbba ba ba b ,可得: 31125 11153xyyzzxxyyzzx ,进而结合第(1)问的结果再进行放缩即可证 明不等式 解:由柯西不等式可得: 2 31 131125 1113 11153xyyzzx

    20、xyyzzxxyyzzx 由(1)知 1 3 5 xyyzzx 3112525125 = 1 1115326 5 5 xyyzzxxyyzzx 等号成立条件: 1 5 xyz 三、历年好题精选 1、设 11,f xxxxR (1)求证: 2f x (2)若不等式 211bb f x b 对任意非零实数b恒成立,求x的取值范围 2、 (2014 吉林九校联考二模,24)已知关于x的不等式110axaxaa (1)当1a 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为R,求实数a 的取值范围 3、 (2015,福建)已知0,0,0abc,函数 f xxaxbc的最小值为 4 (1)求abc的值

    21、(2)求 222 11 49 abc的最小值 4、 (2015,新课标 II)设, , ,a b c d均为正数,且abcd,证明: (1)若abcd,则abcd (2)abcd是abcd的充要条件 5、 (2015,陕西)已知关于x的不等式xab的解集为|24xx (1)求实数, a b的值 (2)求12atbt的最大值 6、已知定义在R上的函数 12f xxx的最小值为a (1)求a的值 (2)若, ,p q r是正实数,且满足pqra,求证: 222 3pqr 7、 (2014,江西)对任意的, x yR,111xxyy的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、 (2

    22、014,浙江) (1)解不等式:2213xx (2)设正数, ,a b c满足abcabc,求证:4936abbcac,并给出等号成 立条件 9、 (2016,苏州高三调研)设函数 1 0f xxxa a a (1)证明: 2f x (2)若 35f,求实数a的取值范围 习题答案:习题答案: 1、解析: (1) 11112f xxxxx (2)恒成立不等式为: 21111 1121 bb xx bbb max 11 1121xx bb 设 1 3,1, 1121 211,2,00,1 1 3, 2 b g b bbbb b max3g b 113xx 当1x 时, 3 23 2 xx 当1,1

    23、x 时,11323xx 不成立 当1x时, 3 23 2 xx 33 , 22 x 2、解析: (1)1a 时,不等式为 1 2111 2 xx 1 1 2 x 或 1 1 2 x ,解得 13 , 22 x (2)问题转化为xR ,不等式11axaxa恒成立 min 11axaxa 设 111f xaxaxaaxaxaa 112aa 或0a 3、解析: (1) f xxaxbcxaxbcabc 4abc (2) 2 2 222222 1111 23123116 4923 abcabcabc 222 11168 = 49147 abc,等号成立条件: 8 711 18 32 231 7 4 2

    24、 7 a ba c b abc c 4、解析: (1) 22 abcdabcd 22ababcdcdabcdabcd 从而不等式得证 (2)若abcd,则 22 abcd 即 22 44ababcdcd abcd abcd,由(1)可得abcd 若abcd,则 22 abcd 即22ababcdcdabcdabcd 2222 44ababcdcdabcd abcd 综上所述:abcd是abcd的充要条件 5、解析: (1)xabbxab 不等式解得:abxba 23 41 aba bab (2)由(1)可得:1212334atbttttt 由柯西不等式可得: 2222 2 3431416ttt

    25、t 344tt 6、解析: (1) 12123f xxxxx 3a (2)由柯西不等式可得: 22 222222222 1113pqrpqrpqrpqr 3pqr 222 3pqr 7、答案:C 解析:1111113xxyyxxyy 8、解析: (1)当2x 时, 2213xx解得8x 当12x 时, 2 213xx解得0x 10x 当1x 时。 2 213xx解得2x 1x 综上所述:解集为,08, (2)由abcabc可得: 111 1 bcacab 由柯西不等式可得: 2 111111 494936abbcacabbcac abbcacabbcac 等号成立条件:2,3,1abc 9、解析: (、解析: (1) 111 2f xf xxaxxaxa aaa (2) 35f即 1 335a a 3a 时,不等式转化为: 2 1 3335510faaa a 解得: 521 3 2 a 当03a时, 2 1 36510faaa a 解得:1 5 3 2 a 综上所述:不等式的解集为: 15 521 , 22

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