高中数学讲义微专题78定值问题.doc

1、 微专题 78 圆锥曲线中的定值问题 一、基础知识： 所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化， 但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。 1、常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量） ，然后进行化简，看能否 得到一个常数。 2、定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而 给后面一般情况的处理提供一个方向。 （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠

2、拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 二、典型例题： 例 1： 已知双曲线的中心在原点， 对称轴为坐标轴， 一条渐近线方程为 4 3 yx， 右焦点5,0F， 双曲线的实轴为 12 AA，P为双曲线上一点（不同于 12 ,A A） ，直线 12 ,AP A P分别于直线 9 : 5 l x 交于,M N两点 （1）求双曲线的方程 （2）试判断FM FN是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由 解： （1）由5,0F可得5c ，且焦点在x轴上 所以设双曲线方程为： 22 22 1 xy ab ，则渐近线方程为 b yx a 4 3

3、b a 由 222 25abc解得： 3 4 a b 双曲线方程为 22 1 916 xy （2）由（1）可得： 12 3,0 ,3,0AA，设 00 ,P x y 设 11 :3AP yk x，联立方程 1 3 9 5 ykx x 解得： 1 9 24 , 55 Mk 同理：设 22 :3A P ykx，联立方程 1 3 9 5 ykx x 可得： 2 96 , 55 Nk 12 16 24166 , 5555 kk FMFN 12 256144 2525 k k FM FN 下面考虑计算 1 2 k k的值 00 12 00 , 33 yy kk xx 2 0 1 2 2 0 9 y k

4、k x 00 ,P x y在双曲线上 222 22 000 00 1616 1169 91699 xyx yx 2 0 1 2 2 0 16 99 y k k x 256144 16 0 25259 FM FN 所以FM FN为定值 例 2：已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 2 2, 2 （1）求椭圆方程 （2）设不过原点O的直线:0l ykxm k，与该椭圆交于,P Q两点，直线,OP OQ的 斜率依次为 12 ,k k，且满足 12 4kkk，试问：当k变化时， 2 m是否为定值？若是，求出此 定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由 解： （1）

5、由 3 2 c e a 可得：: :2:1: 3a b c 椭圆方程为 22 22 1 4 xy bb 代入 2 2, 2 可得： 2 2 22 2 12 1 42bb 解得：1b 2a 椭圆方程为 2 2 1 4 x y （2）设 1122 ,P x yQ x y，联立方程可得： 22 44 ykxm xy 消去y可得： 2 2 44xkxm，整理可得： 222 418440kxkmxm 依题意可知： 1122 12 111222 , ykxmmykxmm kkkk xxxxxx 12 12 11 442kkkkkm xx 即 12 12 2 xx km x x 由方程 222 418440

6、kxkmxm可得： 2 1212 22 844 , 4141 kmm xxx x kk 代入可得： 2 2 2 8 41 2 44 41 km k km m k ，整理可得： 2 22 2 8 21 44 km kmm m 2 1 2 m 可知 2 m为定值，与k的取值无关 例 3：已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 经过点 6 1 , 22 P ， 2 2 e ，动点2,0Mtt （1）求椭圆标准方程 （2）设F为椭圆的右焦点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：ON 的长为定值，并求出这个定值 解： （1）由 2 2 e 可得：: :2:1:1a b c 椭圆方程可

7、转化为： 22 22 1 2 xy bb ，将 6 1 , 22 P 代入椭圆方程可得： 2 2 22 1611 1 222bb ，解得： 2 1b 椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）由（1）可得：1,0F : 2 t O Myx 思路一：通过圆的性质可得ONMN，而NFOM（设垂足为K） ，由双垂直可想到射 影定理，从而 2 ONOKOM，即可判定ON为定值 2 :1FNyx t ，设OM与FN相交于K 则 2 : 2 1 t yx K yx t 解得： 22 42 , 44 t K tt 22 222 424 444 t OK ttt 2 4OMt OM为圆的直径 ONMN NKO

8、M 由射影定理可得： 2 2ONOKOM 2ON 思路二：本题也可从坐标入手，设 00 ,N x y，则只需证明 2 22 00 ONxy为定值即可，通 过条件寻找 00 ,xy关系，一方面：0FNOMFN OM，可得 00 22xty；另一方 面 由N点 在 圆 上 ， 可 求 出 圆 的 方 程 2 2 2 11 24 tt xy ， 从 而 2 2 2 00 11 24 tt xy ，展开后即可得到 22 00 xy为定值 解：设 00 ,N x y，则 00 1,2,FNxyOMt 00 210FN OMxy t 00 22xy t OM的中点坐标为1, 2 t ， 2 4OMt 2

9、4 2 t r 以OM为直径的圆方程为： 2 2 2 11 24 tt xy 代入 00 ,N x y，可得： 2 2 2 00 11 24 tt xy 22 22 0000 211 44 tt xyxty 22 0000 22xyxty 22 00 2xy即 2 2ON 2ON 例 4：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 3 ，半焦距为0c c ，且1ac， 经过椭圆的左焦点F，斜率为 11 0k k 的直线与椭圆交于,A B两点，O为坐标原点 （1）求椭圆C的方程 （2）设1,0R，延长,AR BR分别与椭圆交于,C D两点，直线CD的斜率为 2 k，求证：

10、1 2 k k 为定值 解： （1） 2 3 c e a ，设2 ,3ck ak 由1ac可得：3211kkk 3,2ac 222 5bac 22 :1 95 xy C （2）由（1）可得2,0F ，设 11223344 ,A x yB x yC x yD x y 可得： 11 11 1 :11 1 yx AR yxxy xy 联立方程 1 21 11 2 22 11 1 1 51 40 1 95 x xy yxx yy yy xy 22 11 13 11 44 55 yy y y xx 1 3 1 4 5 y y x 11 33 11 159 1 5 xx xy yx 11 11 594 ,

11、 55 xy C xx 同理，直线BR与椭圆交点D的坐标为 22 22 594 , 55 xy D xx 12 1221 3412 2 12 341221 12 44 454555 5959 595595 55 yy yxyxyyxx k xx xxxxxx xx 1221122121 2121 45455 164 yxyxy xy xyy xxxx 设 1 :2AB ykx 111 212 2 2 ykx ykx ，代入可得： 1121212112121 2 2121 22525 44 kxxkxxyykxxyy k xxxx 21 1111 21 15157 24244 yy kkkk x

12、x 2 1 7 4 k k 小炼有话说：本题中注意 1221 y xy x的变形：可通过直线方程用 12 ,x x表示 12 ,y y，代入后 即可得到关于 1212 ,xx x x的表达式 例 5：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为1,0F，且点 3 3, 2 P 在椭圆C 上，O为坐标原点 （1）求椭圆C的标准方程 （2）过椭圆 22 1 2 2 :1 5 3 xy C a b 上异于其顶点的任一点Q，作圆 22 4 : 3 O xy的切线，切 点分别为,M N（,M N不在坐标轴上） ， 若直线MN的横纵截距分别为,m n， 求证： 22 11 3mn 为定值

13、解： （1）依1,0F可知1c 椭圆方程为 22 22 1 1 xy aa 代入 3 3, 2 P 解得： 2 4a 222 3bac 椭圆方程为 22 1 43 xy （2）思路：由（1）可得： 22 1 3 :1 44 xy C，可设 00 ,Q x y，由题意可知MN为过Q作 圆切线所产生的切点弦，所以 00 4 : 3 MNx xy y,从而可得 00 44 , 33 mn xy ，所以 22 00 22 119 3 348 xy mn ，由椭圆方程可得 22 00 34xy，从而 22 1193 3124mn 为定 值 解：由（1）可得： 2222 1 3 :11 5 444 3 3

14、 xyxy C 设 00 ,Q x y 可知MN是过Q作圆切线所产生的切点弦 设 1122 ,M x yN x y，由,M N是切点可得：,OMMQ ONNQ 1 1 1 MQ OM x k ky 1 00 1 : x MQ yyxx y ，代入 11 ,M x y： 1 1010 1 x yyxx y ， 即 22 101011 x xy yxy ，同理可知对于NQ，有 22 202022 x xy yxy 因为,M N在圆 22 4 : 3 O xy上 22 11 22 22 4 3 4 3 xy xy 1010 2020 4 3 4 3 x xy y x xy y ,M N为直线 00

15、4 3 x xy y上的点 因为两点唯一确定一条直线 00 4 : 3 MNx xy y，即 00 1 44 33 xy xy 由截距式可知 00 44 , 33 mn xy 2222 0000 22 111999 3 33 161648 xyxy mn Q在椭圆 1 C上 22 00 34xy 22 00 22 1193 3 3484 xy mn 即 22 11 3mn 为定值 小炼有话说： （1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后 22 00 34xy的特点整体消去 00 ,xy所得， 所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。 （2） 本题求直线M

16、N方程的过程即为切点弦公式证明的过程， 此时抓住两点所在方程 “同构” 的特点，从而确定直线方程 注：切点弦方程：过圆外一点Q作圆 222 : xyr的切线，切点为,A B，则切点弦AB的方 程为： 2 00 x xy yr 例 6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 22 :1 2412 xy C，设 00 ,R x y为椭圆上任意一 点。过原点作圆 22 00 :8Rxxyy的两条切线，分别交椭圆于,P Q （1）若直线,OP OQ相互垂直，求R的方程 （2）若直线,OP OQ斜率存在，并记为 12 ,k k，求证： 12 kk是一个定值 （3）试问 22 OPOQ是否为定值？若是，求出该

17、值；若不是，请说明理由 解： （1）由 22 00 :8Rxxyy可得2 2r OPOQ 24ORr，即 22 00 16xy 联立方程： 22 00 0 22 0 00 2 21 2412 2 2 16 xy x y xy 或 0 0 2 2 2 2 x y 或 0 0 2 2 2 2 x y 或 0 0 2 2 2 2 x y R的方程为： 22 2 22 28xy或 22 2 22 28xy或 22 2 22 28xy或 22 2 22 28xy （2）思路：可设直线 12 :,:OP yk x OQ yk x，均与圆相切，可得 00 2 1 i i k xy d k （其中 1,2i

18、） 化简可得： 222 0000 8280 ii xkx y ky， 可发现 12 ,k k均满足此方程， 从而 12 ,k k 为 222 0000 8280xkx y ky的两根。 则 2 0 1 2 2 0 8 8 y k k x ， 再利用椭圆方程消元即可得到 定值 解：设 12 :,:OP yk x OQ yk x OP与R相切 1 00 2 1 2 2 1 R OP k xy dr k 2 2 1 001 8 1k xyk 化简可得： 222 0100 10 8280xkx y ky 对于 2 :OQ yk x，同理可得： 222 020020 8280xkx y ky 12 ,k

19、 k为 222 0000 8280xkx y ky的两根 2 0 1 2 2 0 8 8 y k k x 22 00 1 2412 xy 22 00 242xy 2 0 1 2 2 0 81 24282 y k k y （3）思路：设 1122 ,P x yQ x y， 22 2222 1122 OPOQxyxy，由第（2）问所得 结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将,P Q坐标分别用 12 ,k k进行表示，再判断 22 OPOQ是否为定值 解：当,P Q不在坐标轴上时，设 1122 ,P x yQ x y 1 222 22 1 :224 1 2412 yk x Pxk x xy 2 22

20、 1 11 22 11 2424 , 2121 k xy kk 同理可得： 2 22 2 22 22 22 2424 , 2121 k xy kk 22 22 12 2222 12 1122 222222 112212 24 124 1 24242424 212121212121 kk kk xyxy kkkkkk 2 2 2 1 1 1 222 11 1 1 1 1 23672 2436 2121 1 21 2 k kk kk k 若,P Q在坐标轴上（不妨设P在x轴）上，则 2 6,0 ,0,2 3PQ 22 36OPOQ 综上所述， 22 OPOQ为定值36 例 7： 已知椭圆 22 2

21、2 :10 xy Cab ab ， 称圆心在原点， 半径为 22 ab的圆为椭圆C的 “准圆” ，若椭圆C的一个焦点为 2,0F，其短轴上的一个端点到F的距离为3 （1）求椭圆C的方程及其“准圆”方程 （2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线 12 , l l交“准圆”于点,M N 当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线 12 , l l的方程并证明 12 ll 求证：线段MN的长为定值 解： （1）依题意可得：2c ，3a 222 1bac 2 2 1 3 x y 22 2rab 22 :4O xy （2） 由（1）可得0,2P，设切线方程为：2ykx 联立方程： 2

22、2 1 3 2 x y ykx 消去y可得： 2 2 323xkx 整理可得： 22 311290kxkx 222 14436 31036360kkk 解得：1k 所以:2,:2PMyxPN yx PMPN 设 00 ,P x y 010 :PM yyk xx 则 010 22 33 yykxx xy ，消去y可得： 2 2 100 33xkxxy 整理可得： 222222 11010101000 316636330kxk xk yxk xk y xy 2 22222 10101101000 364 31 36330k xk ykk xk y xy 整理后可得： 222 0100 10 321

23、0xkx y ky 同理，对于设切线PN的斜率为 2 k，则有： 222 020020 3210xkx y ky 2 0 1 2 2 0 1 3 y k k x P在“准圆”上 2222 0000 413xyyx 1 2 1k k 所以PMPN MN为“准圆”的直径 MN为定值，4MN 例 8：已知点 3 1, 2 P 在椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上，椭圆C的左焦点为1,0 （1）求椭圆C的方程 （2）直线l过点,0T m0m交椭圆C于,M N两点， AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，问是否存在正 数m，使得 2 AB MN 为定值？若存在，请求出m的值；若不存 在，

24、请说明理由。 解： （1）由左焦点1,0可得1c ，由 22222 1bacba 22 22 :1 1 xy C aa ，代入 3 1, 2 P 可得： 22 191 1 41aa 解得：2a 22 :1 43 xy C （2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量m，直线,MN AB的另一核心要素为斜 率k（假设k存在） ，通过 2 AB MN 可联想到弦长公式，所以分别将直线,MN AB的方程与椭圆 方程联立，进而 2 AB MN 为关于,m k的表达式，若 2 AB MN 为常数，则意味着与k的取值无关， 进而确定m的值 设直线: lykxm, 1122 ,M x yN x y，联立

25、方程： 22 22222 1 3484120 43 xy kxk mxk m ykxm 222 1212 22 8412 , 4343 k mk m xxx x kk 222 2 12 2 1161239 1 43 kmk MNkxx k 设 3344 ,A x yB x y ，则 22 2 2 121 43 34 xy x k ykx 2 22 34 2 48 43 11 43 k ABkxxk k 2 2 2 48 1 43 k AB k 2 2 2 22 22 11 48 112 1239 161239 ABk k MNmk mk 所以若 2 AB MN 是个常数， 22 1239mk也

26、为 2 1Ak的形式，即 2 12391mm 此时 2 4 AB MN ，当直线斜率不存在时，可得 2 4 AB MN 符合题意 1m 小炼有话说：本题在判断m 的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项 含k的表达式： 2 2 2222 2 2 2 11 1212 3312312333 123 1 1 AB mMNmkmm m k k ， 若 2 AB MN 的值 与k无关，则 2 3301mm T S R N M P y xO 例 9：如图，已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，以椭圆C的左顶点T为 圆心作圆 2 22 :20Txyrr，设圆T

27、与椭圆C交于点,M N源:Z_xx_k.Com （1）求椭圆C的方程； （2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程 来源:学科网来源:Z|xx|k.Com （3）设点P是椭圆C上异于,M N的任意一点，且直线,MP NP分别与x轴交于点,R S，O 为坐标原点，求证：OROS为定值 解（1）圆T的圆心2,0T 2a 3 2 c e a 3 3 2 ca 222 1bac 椭圆方程为： 2 2 1 4 x y （2）由圆与椭圆关于x轴对称可得：,M N关于x轴对称 设 00 ,M x y，则 00 ,N xy，且有 2 2 0 0 1 4 x y 由2,0T 可得： 0000 2,2,TMx

28、yTNxy 2 22 2 0 000 221 4 x TM TNxyx 2 2 111 5581 43 4455 xxx 因为M在椭圆上（非长轴顶点） 0 22x 0 8 5 x 时， min 1 5 TM TN ，将 0 8 5 x 代入可得 1 3 5 y 即 8 3 , 5 5 M ，代入到圆方程可得： 2 13 25 r （3） 思路： 依图可知所OROS可翻译为坐标运算即 RS x x， 且,R S 分别为直线,MP NP与 x轴的交点，可设出 11 ,P x y，从而结合 00 ,M x y和 00 ,N xy计算出,MP NP的方程， 从而, RS xx可用 0011 ,x y

29、x y进行表示，再根据椭圆方程 2 2 0 0 2 2 1 1 1 4 1 4 x y x y 进行消元即可。 解：设 11 ,P x y，由 00 ,M x y可得： 10 10 MP yy k xx MP的方程为： 10 11 10 yy yyxx xx 令0y ，可解得： 0110 10 R x yx y x yy 同理可解得NP与x轴的交点S的横坐标 0110 10 S x yx y x yy 所以 2222 011001100110 22 101010 = RSRS x yx yx yx yx yx y OROSxxx x yyyyyy 因为 11 ,P x y， 00 ,M x y

30、均在椭圆上 2 2 0 22 0 00 222 2 111 1 1 44 4 44 1 4 x y xy xxy y ，代入到可得： 2222 222222 0110 011010 222222 101010 4444 44 4 yyyy x yx yyy OROS yyyyyy 所以4OROS，即为定值 例 10：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 22 22 :10 xy Eab ab ，其中 3 2 ba，过椭圆E内一点1,1P的两条直线分别与椭圆交于,A C和,B D，且满足 ,APPC BPPD，其中为常数且0，当点C恰为椭圆右顶点时，对应的 5 7 （1）求椭圆E的方程 （

31、2）当变化时， AB k是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 解： （1）由 3 2 ba可得：:2:3:1a b c 22 22 4 :10 3 xy Eab aa 若C为右顶点，则,0C a 1, 1PCa，设,A x y 1,1APxy 1 ,PCa 由APPC可得： 11 1 xa y 11 1 xa y 代入 5 7 可得 12512 , 77 a A ，代入椭圆方程可得： 2 2 22 1254 12 1 49493 a aa 解得2a 3b 椭圆方程为： 22 1 43 xy （2）解：设 11223344 ,A x yB x yC x yD x y 由APPC，可

32、得： 1 3 1 3 1 1 1 1 x x y y ，因为,A C在椭圆 22 1 43 xy 上 所以有： 22 11 22 33 1 43 1 43 xy xy ，代入 1 3 1 3 1 1 1 1 x x y y 并整理可得： 22 11 22 11 3412 11 314112 xy xy 整理可得： 22 2 11 3 14112xy 22 2 1111 3 14 161815xyxy 222 111111 342 347142345xyxyxy 2 11 19514 34 22 xy 同理可得：对于,B D，则有 2 22 19514 34 22 xy 11221212 343434xyxyxxyy 12 12 3 4 AB yy k xx ，即为定值