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类型高中数学讲义微专题48多变量表达式范围数形结合.doc

  • 上传人(卖家):副主任
  • 文档编号:453200
  • 上传时间:2020-04-10
  • 格式:DOC
  • 页数:7
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    关 键  词:
    高中数学 讲义 专题 48 多变 表达式 范围 结合 下载 _一轮复习_高考专区_数学_高中
    资源描述:

    1、 微专题 48多变量表达式的范围数形结合 一、基础知识: 1、数形结合的适用范围: (1)题目条件中含有多个不等关系,经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 (2)所求的表达式具备一定的几何意义(截距,斜率,距离等) 2、如果满足以上情况,则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形,其条件与 所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理,这要看所给的不等条 件(尤其是不等号方向)是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例 1:三次函数 32 , ,f xxbxcxd b c dR在区间1

    2、,2上是减函数,那么bc 的取值范围是( ) A. 15 , 2 B. 15 , 2 C. 15 , 2 D. 15 , 2 思 路 : 先 由 减 函 数 的 条 件 得 到, b c的 关 系 , 2 32fxxbxc,所以1,2x 时, 0fx 恒成立, 通过二次函数图像可知: 10 230 4120 20 f bc bc f , 由关 于, b c的不等式组可想到利用线性规划求得bc的取值范围,通 过作图可得 15 2 bc 答案:D 例 2: 设 f x是定义在R上的增函数, 且对于任意的x都有110fxfx恒成立, 如果实数,m n满足不等式组 22 62380 3 f mmf n

    3、n m ,那么 22 mn的取值范围 是( ) A. 3,7 B. 9,25 C. 13,49 D. 9,49 思路:首先考虑变形 22 62380f mmf nn,若想得到,m n的关系,那么需要 利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由110fxfx可 得:11fxfx ,所以 f x关于1,0中心对称,即 2f xfx,所以: 22222 62380623828f mmf nnf mmf nnfnn ,利用 f x单调递增可得: 22 22 62328344mmnnmn,所以 ,m n满足的条件为 22 344 3 mn m ,所求 22 mn可 视为点,m n到原点距离

    4、的平方,考虑数形结合。将作出可行 域,为以3,4C为圆心,半径为2的圆的右边部分(内部) ,观 察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是 13,7,所以 22 13,49mn 答案:C 例 3:已知函数 yf x是R上的减函数,函数1yf x的图像关于点1,0对称,若 实数, x y满足不等式 22 22f xxfyy ,且14x,则 y x 的取值范围是_ 思路:从所求出发可联想到, x y与0,0连线的斜率,先分析 已知条件,由1f x对称性可知 f x为奇函数,再结合单 调递减的性质可将所解不等式进行变形: 2222 2222f xxfyyf xxfyy 22 22xxyy,即 22 20

    5、xyxy,所以有 20xyxy。再结合14x可作出可行域(如图) ,数形结合可知 y x 的范围是 1 ,1 2 答案: 1 ,1 2 例 4:已知, 是三次函数 32 11 2, 32 f xxaxbx a bR的两个极值点,且 0,1 ,1,2 ,则 2 1 b a 的取值范围是( ) A. 1 ,1 4 B. 1 ,1 2 C. 1 1 , 2 4 D. 1 1 , 2 2 思路:由极值点可想到方程 0fx 的根, 2 2fxxaxb,依题意可得: 2 20xaxb的两根分别在 0,1 , 1,2中, 由二次函数图像 可知: 00 0 10210 4220 20 f b fab ab f

    6、 ,且所求 2 1 b a 可视为 , a b与定点1,2连线的斜率,所以想到线性规划,通过作出 可行域,数形结合可知 2 1 b a 的范围是 1 ,1 4 答案:A 例 5:已知实系数方程 32 0xaxbxc的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线 的离心率,则 b a 的取值范围是_ 思路:以抛物线离心率为突破口可得1x 是方程的根,设 32 f xxaxbxc,则 110fabc ,从而 1cab ,进而因式分解可知 2 1110xxaxab , 所以椭圆与双曲线的离 心率满足方程 2 110xaxab ,设 2 11g xxaxab ,则由椭圆与双曲线离心率的范围可知 0g x

    7、一根在 0,1,一根在1,,所以 00 10 23010 g ab abg ,由不等式组想到利用线性规划 求 b a 的范围,即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到 1 2, 2 b a 答案: 1 2, 2 b a 例 6:已知三个正实数, ,a b c满足2 ,2bacb abca,则 a b 的取值范围是_ 思 路 : 考 虑 将 条 件 向 与 a b 有 关 的 式 子 进 行 变 形 , 从 而 找 到 关 于 a b 的 条 件 : 212 2 21 ac bacb bb aca abca bbb ,可发现不等式组只与, a c b b 相关, 不妨设, ac xy

    8、 bb , 则不等式组转化为: 12 12 xy xyx 即 12 10 210 xy xy xy , 所求恰好为x的范围, 作出可行域即可得到x 的范围为 2 3 , 3 2 答案: 2 3 , 3 2 例 7:设P是不等式组 0,0 1 3 xy xy xy 表示的平面区域内的任意一点,向量1,1m , 2,1n ,若,OPmnR ,则的最大值为( ) A4 B3 C5 D6 思路:本题的变量较多,首先要确定核心的变量。 题目所求为, 的表达式。所以可视其为核心变 量, 若要求得的最值, 条件需要关于, 的 不等式组。所以考虑利用, x y与, 的关系将原 先关于, x y的不等式组替换为

    9、关于, 的等式组 即可 解:设,P x y ,2 ,OPx ymn 2x y ,代入到约束条件中可得: 20 0 1 233 ,作出可行域即可解出的最大 值为4 答案:A 例 8:若实数, x y满足条件 22 1xy,则 2 12y xx 的取值范围是_ 思 路 : 考 虑 所 求 式 子 中 2 1 x 可 变 为 22 2 xy x , 所 以 原 式 变 形 为 : 2 22 2 2 21 xyyyy xxxx ,可视为关于 y x 的二次函数,设 y t x ,其几何含义为 , x y与0,0连线的斜率,则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率,即 1,1t ,则 2 2 2

    10、1122,2f tttt 答案:2,2 小炼有话说:本题也可以考虑利用三角换元。设 1sin ,tan coscos xy ,从而原式转化 为: 2 22 cos2 tancos1sin2sinsin12 ,由sin1,1 可知 2 sin12的范围为2,2 例 9: (2016,天津六校联考)已知实数, ,a b c满足 222, 0abc c,则 2 b ac 的取值范围 是_ 思路:由 222, 0abc c,可建立直角坐标系,建立圆模型: 222 xyc,则圆上的点 为, a b,所求分式可联想到斜率,即 2 b k ac 可视为 , 2 ,0a bc两点连线的斜率。数 形 结 合 可

    11、 得 : 过2 ,0c的 直 线l与 圆 有 公 共 点 时 斜 率k的 取 值 范 围 , 设 :220l yk xckxykc,即 2 2 1 O l kc dc k ,解得: 33 , 33 k 答案: 33 , 33 例 10: (2012 江苏)已知正数, ,a b c满足:534, lnlncabca cbacc,则 b a 的 取值范围是_ 思 路 : 可 先 将 所 给 不 等 式 进 行 变 形 : 3 53454 aba cabca ccc , lnlnlnln bba cbaccca ccc , 从而将所给不等式 转化为关于, b a c c 的关系,为了视觉效果可设,

    12、ab xy cc ,则 已知条件为: ln 53 4 x yxye yx yx ,而所求为 b by c a ax c ,即 可行域中的点, x y与0,0连线的斜率。数形结合即可得到斜 率的范围是,7e,其中7 y x 为 1 7 , 2 2 A 与原点连线的斜率, y e x 为过原点且与曲线 x ye相切的切线斜率 答案:,7e 小炼有话说:本题也可以用放缩的方法求得最值,过程如下: 因为, ,0a b c 534cabca 5342 c caca a 4414 217 bc bca aa 另一方面:lnlnln b cbaccca c 11 lnln b b c bb aa c cc ,设 ln x f x x ,则 2 ln1 ln x fx x 可得 f x在0,e单调递减,在, e 单调递增 min f xf ee ,即 f xf ee,令 b x c ,则有 ln b c e b c ln b b c e b a c 综上所述:,7 b e a

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