计算地球物理课件-第2章-地球物理中常用数值解法的基本原理-2.pptx

1、计算地球物理地球物理与信息工程学院 物探系周 辉2013年第二章 地球物理中常用数值解法的基本原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又用于流体力学、物理学和其它工程科学。有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。第二节第二节 偏

2、微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 有

3、限元法的基本问题可归纳为：（1）把问题转化成变分形式；（2）选定单元的形状，对求解域作剖分；（3）构造基函数或单元形状函数；（4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收敛性及误差估计。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 几个概念第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 可测集设E是有界点集，当E的内测度 m*E=E的外测度 m*E 时，称E为勒贝格可测集，简称 L 可测集。可测函数：设 f x 是可测集 E 上的函数，若对于任意实数 a，集合 E x f xa也是可测集，则称 f x 是可测函数。几个

4、概念m*(E)=infG|E包含于G且G为开集，此乃外测度。m*(E)=supF|E包含F且F为闭集，此乃内度。从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 泛函：简单地说，泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个实数，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。设y(x)是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x)恒有某个确定的数与之对应，记为(y(x)，则(y(x)是定义于集合y(x)上的一个泛函。泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本

5、身。泛函是函数的函数。抽象空间中定义的函数。几个概念第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 距离空间：设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有一个确定的实数,x y满足 1）0,x y（非负性），当且仅当 x=y 时取等号；2）,x yy x（对称性）；3）若,x y zR，则必有,x yy zx z（三点不等式），则,x y称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。设 f x是距离空间X到1R(数轴)的映射，则称 f x为泛函。几个概念第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 线性空间：设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，

6、便称 X 为一实（复）线性空间：1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何,x y zX，则 xyX，且满足xyyx（交换律），zxxyyz（结合律）；2）对任何,k，,x yX，定义数乘，即xX，且满足 xxx;xx;xyxy;1 xx;3）在 X 中存在零元素，记为“0”，它满足 0 xx 4）对每个xX，存在 x 的加法逆元素，记为“-x”X，使0 xx 几个概念第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 线性赋范空间：设 X 是线性空间，若对其中任一元素xX,可以引入一个与之对应的数，记为x，它满足以下条件：1）0 x（非负性），等号只在0 x 时成立；2）xx（正齐

7、次性），为绝对值或模；3）xyyx（三角不等式）称x为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。在线性赋范空间中，可以用范数定义距离：若,x yX,则,x yxy 几个概念第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 内积空间：设 H 是实数域 R1上的线性空间，若对其中任意元素,x yH,可以定义一个实数，记为x y，它满足以下四条公理：1）aax yx y（1aR的任意实数）；2）,zzHxyy zx z；3）x yy x（在复线性空间中为x yy x）；4）0 x x，等号当且仅当 x=0 时成立，则称x y为 x 与 y 的内积，称 H 为内积空间。范数xx x 几个概念第二

8、节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 完备空间：完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。在数学中，一个柯西序列是指，其元素随着序数的增加而愈发靠近。柯西序列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。例子：有理数空间不是完备的，因为2的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限2不在有理数空间内。实数空间是完备的，开区间(0,1)不是完备的。正交系全在某空间中，则该空间为完备空间。Hilbert 空间:完备的内积空间。几个概念第二节第二节 偏

9、微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 Lebesque（勒贝格）积分：设 yf x是在集合,Ea b上的有界函数，它的值域是,A B。在,A B中插入分点 012nAyyyyB，考虑集合 1kkkex yf xy，它是 E 的子集。（1）所有12,ne ee互不相交（2）12nEeee（3）对每个ke可求出它的测度，记为kme（4）1nkkmEme xyabABekyk-1ykek第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 引入勒贝格积分和 1nnkkkTme，1,kkkyy 再考虑大和与小和111,nnnkknkkkkSy mesyme 它们都是有界的，且 nnnsTS

10、,11nnnkkkkSsyyme 令1maxkkklyy，于是对任意 n，nnSsl mE，从而,nnS s有共同的极限，记为S，按11nnnkkkkSsyyme知，nT也 有 极 限S。仍 用 积 分 符 号 ESf x dx。将 ESf x dx定义的积分称为 f x在点集,Ea b上的勒贝格积分。勒贝格积分不要求被积函数连续（与黎曼积分不同）。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 L2空间 由全体勒贝格平方可积函数（存在积分的函数）组成的完备的函数空间。它为线性空间、完备空间。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 数学物理中的变分原理，有重要的

11、理论和实际意义，也是构造微分方程数值解法的基础。为了便于理解一般形式的变分原理，先以二次函数的极值问题为例，介绍变分问题的基本概念和方法。2.1 边值问题的变分形式（变分法就是求泛函极值的方法。变分问题就是求泛函的极值问题。）2.1.1 二次函数的极值 在在 n 维欧氏空间维欧氏空间 中中nR12,.,Tn y第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.1 边值问题的变分形式 2.1.1 二次函数的极值 考虑 n 个变量的二次函数定义 x,y 的内积为 F(x)在 处取极值的必要条件第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.1 边值问题的变分形式 2.

12、1.1 二次函数的极值 令若A 对称,则 则二次函数 J(x)于 x0取极值的必要条件是：x0是线性代数方程组 Axb 的解。2Ax0b 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.1 边值问题的变分形式二次函数的极值 定理 1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价：（1）求0nRx使 00minnRJJxxx,（2）求方程组 Axb 的解。称为nR上的二次泛函或简称泛函数。定理 1 表明，在矩阵 A 为对称正定的条件下，若0 x是极值问题 00minnRJJxxx的解，则它也是线性方程组 Axb 的解；反之亦然。正定：设A是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量x都有xT

13、Ax0，就称A正定。泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.1 边值问题的变分形式 二次函数的极值 为了确定并计算0 x，可采取两种不同的途径：一种是求方程组 Ax=b 的解，另一种是求泛函数 J x的极小值所对应的 x。求泛函J(x)的极小更有意义：（）因为许多数学物理问题，其直接的数学形式就是求意义更广的“二次泛函”的极小值，只是对解作了某些“光滑性”假设之后，才归结到微分方程；（）即便是熟知的微分方程边值问题，也宁愿把它化为某一“二次泛函”的极小值问题，因为从极值问题出发建立数值解法往往更灵活方便。第二节第二节 偏微分方程的有

14、限元解法偏微分方程的有限元解法 2.2 两点边值问题弦的平衡 用 u x表示在荷载 f(x)作用下弦的平衡位置，它满足 T 是弦的张力（假定是常数）强迫振动方程：2222,uuTfx ttx,为弦的线密度 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置（记为*uux）是在满足边值条件的一切可能位置中，使位能取最小者。设弦处于某一位置 u x，计算它的位能(21,2WT为伸缩率):外力作功 应变位能 2.2 两点边值问题弦的平衡 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 总位能 根据极小位能原理，*uux是下列变分问题的解：*

15、minuJ uJ u 2.2 两点边值问题弦的平衡 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法（）两点边值问题二者之间应具有某种等价关系。根据极小位能原理，*uux是下列变分问题的解：*minuJ uJ u 2.2 两点边值问题弦的平衡 确定弦的平衡位置，有两个不同形式的数学问题：（）变分问题第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 为了精确地表述变分问题，必须指出 J u在哪一个函数类里取极小，即要给出 u 属于哪一个函数空间。从位能的计算公式看出，为使积分有意义，必须对 u，f 作必要的限制。但又不能限制过严而把取极小值的函数*uux排斥在外。因此，适当地

16、选取函数空间十分重要。这样的空间称为 Sobolev（索波列夫）空间。设,Ia bIa b。用 2LI表示由定义在I上的平方可积的可测函数组成的空间，内积和范数分别为 2.2 两点边值问题弦的平衡 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2LI关于“加法”及“数乘”运算是线性空间，关于（，）是完关于“加法”及“数乘”运算是线性空间，关于（，）是完全内积空间，因此全内积空间，因此 2LI是是 HilbertHilbert（希尔伯特）空间。（希尔伯特）空间。定义定义 f 是是f的广义导数。的广义导数。1HI是线性空间。于是线性空间。于 1HI引进内积引进内积 和范数和范数 1H

17、I是完全内积空间，因此是是完全内积空间，因此是 HilbertHilbert 空间，称之为空间，称之为 SobolevSobolev（索波列夫）空间（索波列夫）空间。2.2 两点边值问题弦的平衡 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 广义导数广义导数：用用 0CI表示于表示于 I 无穷次可微，且无穷次可微，且在端点在端点 a，b 的某一邻的某一邻域内（邻域大小与具体函数有关）等于零的函数类域内（邻域大小与具体函数有关）等于零的函数类。对于任一于。对于任一于,a b一次连续可微的函数一次连续可微的函数 fx和任意和任意 0CI，用分部积分法，恒有，用分部积分法，恒有 利用上

18、式推广导数的概念。设利用上式推广导数的概念。设 2fLI，若存在，若存在 2gLI，使，使 恒成立，则说恒成立，则说 fx于于 I 有广义导数有广义导数 g x，记为，记为 2.2 两点边值问题弦的平衡 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 若若 2,f xL a b有有通常意义下的导数通常意义下的导数 fx，则，则 fx也也是是 f x在广义意义下的导数，相反的结论则不一定成立。在广义意义下的导数，相反的结论则不一定成立。f xx在在1,1内按通常导数意义下是不可微的。但对任内按通常导数意义下是不可微的。但对任意的意的 01,1xc则有则有 10111001110111

19、xx dxxx dxxx dxx dxx dxg xx dx 1,101,01xg xx 为为 f xx的广义导数。的广义导数。2.2 两点边值问题弦的平衡 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 从位能的表达式从位能的表达式 看出，当看出，当 01,fHIuHI时，位能时，位能 J u恒有意义。此外，恒有意义。此外，u u还应满足边值条件还应满足边值条件。1HI中所有满足齐次边中所有满足齐次边值条件的函数类构成值条件的函数类构成 1HI的子空间，记为的子空间，记为 10HI或或10H。10H就就是所要找的函数空间是所要找的函数空间。现在可将变分问题现在可将变分问题*min

20、uJ uJ u精确地精确地叙述为：求叙述为：求1*0uH使使 10*minu HJ uJ u 2.2 两点边值问题极小位能原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 进进一一步步分分析析位位能能 J u的的结结构构。引引进进微微分分算算子子(算算子子是是表表示示一一种种对对函函数数的的运运算算的的符符号号)22d uLuTdx，则则 22Inner200111,222lld uduLu uTudxTdxWdxdx Out0,lWf ufudx 。于于是是总总位位能能 1,2J uLu uf u=2.2 两点边值问题极小位能原理#第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方

21、程的有限元解法 ,000,0Tufxxluu l 用用满满足足上上述述边边值值条条件件的的任任意意函函数数 v x 乘乘上上式式的的第第一一式式，并并在在区区间间0,xl上上积积分分 0022000000,0lllllllTu vdxfvdxududu dvdu dvTvdxT vdTdxTdxxdxdx dxdx dxdu dva u vTdxdx dxa u vf v 2.2 两点边值问题虚功原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 ,000,0Tuf xxluu l 20011,1122,22,llduLu uTdxdxLu ua u udu dva u vTdx

22、dx dx ,0a u vf v （虚虚功功原原理理）11,22J uLu uf uaf uu u （最最小小位位能能原原理理）2.2 两点边值问题虚功原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 (p p-一一次次连连续续可可微微函函数数)以以满满足足上上式式边边值值条条件件的的v v乘乘微微分分方方程程两两端端，沿沿区区间间,a b积积分分 利利用用分分部部积积分分和和关关于于u u，v v的的边边值值条条件件，则则 2.2 两点边值问题虚功原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 以以此此代代入入到到积积分分式式，得得 ,0a u vf v 边

23、边值值问问题题的的变变分分形形式式 ,a u v对对 u、v 都都是是线线性性的的，称称为为双双线线性性泛泛函函或或双双线线性性形形式式。2.2 两点边值问题虚功原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.2 两点边值问题虚功原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 定定理理 2 2 设设2uC，则则u u是是边边值值问问题题 的的解解的的充充要要条条件件是是：对对任任意意1EvH，1EuH且且满满足足变变分分方方程程 ,0a u vf v(*)1EH为为1H中中满满足足左左边边界界条条件件 0u a 的的函函数数组组成成的的子子空空间间。在在

24、力力学学里里，（*）左左端端表表示示虚虚功功，所所以以也也称称定定理理 2 2 为为虚虚功功原原理理。当当 u u是是边边值值问问题题的的古古典典解解时时，它它也也是是变变分分方方程程（*）的的解解。像像位位能能原原理理一一样样，变变分分方方程程(*)还还允允许许非非古古典典解解，这这样样的的解解为为边边值值问问题题的的广广义义解解。虚虚功功原原理理比比位位能能原原理理更更具具有有一一般般性性。2.2 两点边值问题虚功原理 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.3 Ritz-Galerkin方法 R Ri it tz z-G Ga al le er rk ki in

25、n (利利兹兹伽伽辽辽金金)方方法法是是最最重重要要的的一一种种近近似似解解法法，它它是是有有限限元元法法的的基基础础。用用 V V 表表示示10H，1EH，1H等等 S So ob bo ol le ev v 空空间间，0HH是是2L空空间间。L L 代代表表微微分分算算子子。,a u v是是由由 L L 及及边边值值条条件件决决定定的的双双线线性性形形式式，它它由由,Lu v经经过过分分部部积积分分并并代代入入边边值值条条件件后后得得到到。得得出出,a u v的的表表达达式式后后，,u v就就无无需需满满足足自自然然边边值值条条件件（0ub）了了，但但本本质质边边值值条条件件（u u（a

26、a）=0 0）仍仍需需满满足足，就就是是说说，,u v应应属属于于空空间间 V V。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法,a u v是是对对称称正正定定双双线线性性形形式式，即即满满足足 ,a u va v u，对对任任意意,u vV 21,a u uu，对对任任意意uV ,a u v还还满满足足连连续续性性条条件件 2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 设设2fH L，二二次次泛泛函函 1,2J ua u uf u 边边值值问问题题Luf等等价价于于求求uV，使使 minu VJ uJ u 这这就就是是极极小小

27、位位能能原原理理。边边值值问问题题的的另另一一变变分分形形式式是是：求求uV，使使 ,a u vf v，对对任任意意vV都都成成立立，这这就就是是虚虚功功原原理理。2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 变变分分问问题题 minu VJ uJ u和和通通常常的的极极值值问问题题比比较较，主主要要困困难难是是在在无无穷穷维维空空间间V V上上求求泛泛函函的的极极小小值值。R Ri it tz z-G Ga al le er rk ki in n 方方法法的的基基本本思思想想在在于于用用有有穷穷维维空空间间近近似似代代替替无无穷穷维维空空间

28、间，从从而而化化成成求求多多元元二二次次函函数数的的极极值值问问题题。关关键键是是如如何何选选取取有有穷穷维维空空间间。2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 设设nV 是是V V的的n n维维子子空空间间，12,.,n 是是nV 一一组组基基底底，称称为为基基函函数数。nV 中中任任一一元元素素nu 可可表表为为 (*)R Ri it tz z 法法的的目目标标是是：选选取取系系数数ic，使使nJ u取取极极小小值值。注注意意 1,2nnnnJ ua uuf u 是是12,.,nc cc 的的二二次次函函数数，,ijjiaa 。2.3

29、 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 令令 这这是是线线性性代代数数方方程程组组，求求出出ic 后后，代代到到 就就得得出出近近似似解解nu。这这是是 R Ri iz ze e 法法。R Ri it tz z 法法求求得得的的nu 在在空空间间nV 是是最最佳佳的的，就就是是说说，在在nV 中中的的所所有有元元素素中中，nu 使使 J u 达达到到极极小小值值。2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 GalerkinGalerkin 法也是求形如法也是求形如 的近似解，但要求系数的近

30、似解，但要求系数ic 使使nu 关于关于nvV满足满足 或（取或（取）这 和这 和 RitzRitz 法 导 出 的 方 程 组 相 同，习 惯 上 称 其 为法 导 出 的 方 程 组 相 同，习 惯 上 称 其 为RitzRitz-GalerkinGalerkin 方程。方程。2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 尽尽管管 R Ri it tz z 法法和和 G Ga al le er rk ki in n 法法导导出出的的近近似似解解及及计计算算方方法法完完全全一一样样，但但二二者者的的基基础础不不同同。R Ri it tz z

31、 法法基基于于极极小小位位能能原原理理，而而G Ga al le er rk ki in n 法法基基于于虚虚功功原原理理，所所以以G Ga al le er rk ki in n 法法较较R Ri it tz z 法法应应用用更更广广，方方法法推推导导也也更更直直接接。仅仅当当,a u v 对对称称正正定定时时，两两者者才才一一致致；否否则则，只只能能用用 G Ga al le er rk ki in n 法法，而而不不能能用用 R Ri it tz z法法。R Ri it tz z 法法的的优优点点是是：力力学学意意义义更更明明显显（尤尤其其是是特特征征值值问问题题），理理论论基基础础比比

32、较较容容易易建建立立。2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 实实际际应应用用中中，用用 R Ri it tz z-G Ga al le er rk ki in n 法法求求解解会会遇遇到到许许多多原原则则性性的的困困难难。主主要要有有：（1 1）基基函函数数的的选选取取。基基函函数数必必须须满满足足本本质质边边界界条条件件。在在有有限限元元方方法法出出现现以以前前，通通常常选选代代数数或或三三角角多多项项式式为为基基函函数数，除除特特别别规规则则的的区区域域外外，要要满满足足边边值值条条件件是是困困难难的的。（2 2）R Ri it

33、tz z-G Ga al le er rk ki in n 方方程程的的形形成成。这这需需要要大大量量的的积积分分，计计算算量量可可观观。（3 3）求求解解 R Ri it tz z-G Ga al le er rk ki in n 方方程程。按按传传统统取取基基函函数数的的方方法法，方方程程组组的的条条件件数数很很大大，数数值值不不稳稳定定。系系数数矩矩阵阵不不稀稀疏疏，计计算算量量和和内内存存需需求求量量大大。五五十十年年代代发发展展起起来来的的有有限限元元法法，提提供供了了一一种种选选取取基基函函数数的的新新方方法法，克克服服了了传传统统的的 R Ri it tz z-G Ga al l

34、e er rk ki in n 方方法法的的困困难难。2.3 Ritz-Galerkin方法第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 其其中中 ,Ia b。从从 R Ri it tz z 法法和和 G Ga al le er rk ki in n 法法两两种种观观点点出出发发，导导出出解解此此问问题题的的线线性性有有限限元元法法。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 有限元法的基本问题可归纳为：（1）把问题转化成变分形式；（2）选定单元的形状，对求解域作剖分；（3）构造基函数或单元形状函数；（4）形成

35、有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收敛性及误差估计。第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 对对求求解解区区间间进进行行网网格格剖剖分分，节节点点为为 相相邻邻节节点点1,iixx之之间间的的小小区区间间1,iiiIxx称称为为单单元元，其其长长度度为为1iiihxx。在在 Sobolev 空空间间 1EHI 内内按按下下列列原原则则取取子子空空间间hV（下下标标maxiihh）：它它的的元元素素 hux 在在每每一一单单元元上上是是次次数数不不超超过过某某一一正正整整数数 m 的的多多项项式式，在在全全区区间间,Ia b上

36、上属属于于函函数数空空间间 1EHI，就就是是说说，1huxHI且且 0hua。这这是是有有限限维维空空间间，称称hV 为为试试探探函函数数空空间间，hhuxV为为试试探探函函数数。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 最最简简单单的的试试探探函函数数空空间间hV 是是由由分分段段线线性性函函数数组组成成的的，它它由由节节点点上上的的一一组组值值 按按线线性性插插值值公公式式 确确定定。它它为为单单元元形形状状函函数数。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发Ii第二节第二

37、节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 为为使使按按段段插插值值标标准准化化，通通常常用用仿仿射射变变换换(由一个线性变换接上一个平移组成)把把iI 变变到到轴轴上上的的参参考考单单元元 0 0,1 1。令令 则则 因因为为 hux 的的自自由由度度是是n n，故故hV是是n n维维线线性性空空间间。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 将将 代代入入 得得 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 利利用

38、用变变换换 得得 令令 就就得得到到确确定定12,.,nu uu 的的线线性性代代数数方方程程组组，称称之之为为有有限限元元方方程程。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 在在工工程程计计算算中中，并并不不是是直直接接由由 形形成成有有限限元元方方程程，而而是是分分析析每每一一单单元元的的局局部部二二次次形形及及单单元元矩矩阵阵，力力学学上上称称为为单单元元刚刚度度矩矩阵阵；再再由由单单元元刚刚度度矩矩阵阵形形成成总总矩矩阵阵，称称为为总总刚刚度度矩矩阵阵。刚刚度度矩矩阵阵分分析析法法比比较较灵灵活活，

39、程程序序也也易易实实现现。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 考察考察 右端第一个求和号内的第右端第一个求和号内的第i项（对应第项（对应第i个单元），它是个单元），它是1,iiuu的二次形，可写成的二次形，可写成 ,，而而 单元刚度矩阵单元刚度矩阵。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发 212111011022111101222210110

40、110221,111,11,122222iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTiiiiiiiiiiiii iiii iiuup xhhq xhNuNudhuuuup xhdhhNuNNuuNuq xhdKauaau ua uuu第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 221,111,11,1121,110100111,1011001,110110122122122Tiiiiiiiiiiiii iiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiKauaau ua uhap xhdNq xhdhhap xhdNNq xhdhhap xhdNNq

41、xhh uu 10112,11100122iii iiiiiidhap xhdNq xhdh 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 如果把 iK扩展成nn矩阵，第1i 行、第 i 行和第1i 列、第 i 列交叉位置的元素就是上面的四个元素，其余元素全是零。记向量 12,.,Tnu uuu，则可写成 于是hJ u右端第一个和式等于 其中 就是总刚度矩阵。同样可以处理hJ u的其它项。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元

42、解法 1122111,11,1,1100000000000000000000000000000000TiiiiiiiiiiiTiiiii ii iiinnuuuuuuaaKuuaauuuuuu 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发i-1ii-1i第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 112211111,111111,1,100000000000000000000000000000000TiiiiiTiiiii ii iiiiiiiiinnuuuuuuKuuaauuaauuuu 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Rit

43、z法出发ii+1ii+1(1)1,1(1)1,2(1)2,1(1)2,2(2)2,2(2)2,3(2)3,2(2)3,3(3)3,3(3)3,4(3)4,3(3)4,4()1,1nnn()1,nnn(),1nn n(),nn n(1)1,1nnnK=第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 有有限限元元方方程程为为 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Ritz法出发 11,22TTJAAxx xb xxxx b第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 现现在在从从 G Ga al le er rk ki in n 法法（基基于于虚虚功功原

44、原理理）出出发发推推导导有有限限元元方方程程。为为此此需需要要构构造造出出试试探探函函数数空空间间hV 的的一一组组基基底底。同同一一空空间间hV，可可取取各各种种不不同同基基底底，但但并并非非任任一一组组基基底底对对实实际际计计算算都都是是可可取取的的。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Galerkin法出发 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 在在单单元元iI、1iI考考察察线线性性插插值值公公式式 及及iu 的的系系数数，对对每每一一节节点点ix 构构造造山山形形函函数数：显显然然12,.,n 线线性性无无关关，它它们们组组成成hV 的的基基

45、底底。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Galerkin法出发 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Galerkin法出发 IiIi+1 1ix 1ix第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 任一任一hhuV可表成可表成 与边值问题相应的双线性形式为与边值问题相应的双线性形式为(,0a u vf v)从而从而 GalerkinGalerkin 方程为方程为（v v 取取,1,2,.,jjn）当当2ij时，时，0ij，系数矩阵第，系数矩阵第 j 行只有三个非零元素。行只有三个

46、非零元素。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Galerkin法出发 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 若借助仿射变换若借助仿射变换及及0,10,1上的标上的标 准山准山形函数形函数 则对则对1,2,.,1in，2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Galerkin法出发 1N01 0Nxi-1xixi+1 ix01第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 当当2ij时时，0ij，系系数数矩矩阵阵第第 j 行行只只有有三三个个非非零零元元素素。的的系系数数矩矩阵阵就就是是总总刚刚度度矩矩阵阵（与与i定定义义在在1

47、,iiI I上上有有关关）。按按 G Ga al le er rk ki in n 方方法法推推导导有有限限元元方方程程更更加加方方便便直直接接。尤尤其其重重要要的的是是，因因为为它它基基于于虚虚功功原原理理，所所以以不不但但可可用用于于保保守守场场问问题题，也也可可用用于于非非保保守守场场及及非非驻驻定定问问题题。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的线性元 从Galerkin法出发 第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 为了提高有限元法的精度，需要增加为了提高有限元法的精度，需要增加hV的维数。的维数。一是一是加密网格加密网格，节点参数，节点参数 iu增加；增

48、加；二是增加分段多项式的次数，即二是增加分段多项式的次数，即高次元高次元。引进高次元。引进高次元是有限元法的重要技巧。是有限元法的重要技巧。高次元高次元在每一单元上在每一单元上增加增加自由度自由度。LagrangeLagrange 型型插值：插值：在单元内部增加插值节点；在单元内部增加插值节点；HermiteHermite 型型插值：插值：在节点在节点处处引进导数。引进导数。在整个区间在整个区间，插值函数插值函数要要有一定的光滑度，以保证双有一定的光滑度，以保证双线性形式有意义。线性形式有意义。2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的高次元第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的

49、有限元解法 二次元二次元拉格朗日插值拉格朗日插值 在每一单元上是二次多项式，在单元节点处连续。在每一单元上是二次多项式，在单元节点处连续。自由度是自由度是 3 3，应给三个插值条件，应给三个插值条件:在端点在端点和终点和终点处取指定值处取指定值，在每一单元中点增设了一个自由度。在每一单元中点增设了一个自由度。基函数分两类基函数分两类：对应节点对应节点、对应单元中点。对应单元中点。先在区间先在区间00，11构造二次多项式构造二次多项式 0N，满足插值条件：，满足插值条件：由由 001N，确定，确定c c2 2，2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的高次元xi-1xixi+1 0N第二节第

50、二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 二二次次元元 用用 消消去去，得得 这这是是 ix的的右右半半支支。若若用用ih替替换换1ih，即即得得它它的的左左半半支支。总总之之 11111111211,211,0,othersiiiiiiiiiiiiihxxhxxxxxxhxxhxxxx x 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的高次元第二节第二节 偏微分方程的有限元解法偏微分方程的有限元解法 二二次次元元 其其次次，构构造造二二次次多多项项式式 12N满满足足插插值值条条件件：用用 消消去去，得得 2.4 椭圆和抛物型方程的有限元法解一维问题的高次元第二节第二节 偏微分方程