2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练:专题四 3 第3讲 空间向量与立体几何 .doc
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1、 专题强化训练 1在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,E,F 分别为 CD 和 C1C 的中点,则直线 AE 与 D1F 所 成角的余弦值为( ) A.1 3 B.2 5 C.3 5 D.3 7 解析:选 B.以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系(图略)若棱长为 2,则 A(2,0,0)、E(0,1,0)、D1(0,0,2)、F(0,2,1) 所以EA (2,1,0),D 1F (0,2,1), cosEA ,D 1F EA D 1F |EA |D 1F | 2 5 5 2 5. 则直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为2 5
2、. 2在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,点 E 为 BB1的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的 锐二面角的余弦值为( ) A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 解析: 选 B.以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A- xyz, 设棱长 为 1,则 A1(0,0,1),E 1,0,1 2 , D(0,1,0), 所以A1D (0,1,1), A1E 1,0,1 2 , 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1,y,z), 则 yz0, 11 2z0, 所以 y2, z2. 所以 n1(1,2,2) 因为平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1
3、), 所以 cosn1,n2 2 31 2 3. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 3(2019 浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥 O- ABC 中,已知 OA,OB,OC 两两垂直 且相等,点 P、Q 分别是线段 BC 和 OA 上的动点,且满足 BP1 2BC,AQ 1 2AO,则 PQ 和 OB 所成角的余弦的取值范围是( ) A. 2 2 ,1 B. 3 3 ,1 C. 3 3 ,2 5 5 D. 2 2 ,2 5 5 解析:选 B.根据题意,以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标 系,不妨设 OAOBOC2,OB (2,0,0),设 P(x,y,0),Q(0,0,z),因为
4、BP1 2BC,AQ 1 2AO,所以 1x2, 0y1 且 xy2,0z1,PQ (x,x2,z),|cosOB ,PQ | OB PQ |OB |PQ | x 2x24x4z2 , 当 x1,z1 时,|cosOB ,PQ | 3 3 ; 当 x2,z1 时,|cosOB ,PQ |2 5 5 ; 当 x2,z0 时,|cosOB ,PQ |1. 当 x1,z0 时,|cosOB ,PQ | 2 2 ,结合四个选项可知 PQ 和 OB 所成角的余弦的 取值范围是 3 3 ,1 . 4(2019 宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱 A1B1C1ABC 中,BAC 2 ,ABAC AA11,已
5、知 G 和 E 分别为 A1B1和 CC1的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包 括端点),若 GDEF,则线段 DF 的长度的取值范围为( ) A. 5 5 ,1 B. 5 5 ,1 C. 2 5 5 ,1 D. 2 5 5 ,1 解析:选 A.建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), E 0,1,1 2 ,G 1 2,0,1 ,F(x,0,0),D(0,y,0), 由于 GDEF,所以 x2y10, DF x2y25 y2 5 2 1 5, 由 x12y0,得 y0,所以 52x 52, 即 AD 的取值范围是 52, 52 答案: 52, 52 7(2
6、019 台州市高考模拟)如图,在棱长为 2 的正四面体 A- BCD 中, E、F 分别为直线 AB、CD 上的动点,且|EF| 3.若记 EF 中点 P 的轨迹 为 L,则|L|等于_(注:|L|表示 L 的测度,在本题,L 为曲线、平 面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积) 解析: 如图, 当 E 为 AB 中点时, F 分别在 C, D 处, 满足|EF| 3, 此时 EF 的中点 P 在 EC,ED 的中点 P1,P2的位置上;当 F 为 CD 中点 时,E 分别在 A,B 处,满足|EF| 3,此时 EF 的中点 P 在 BF,AF 的 中点 P3,P4的位置上,连接
7、 P1P2,P3P4相交于点 O,则四点 P1,P2, P3,P4共圆,圆心为 O,圆的半径为1 2,则 EF 中点 P 的轨迹 L 为以 O 为圆心,以1 2为半径的圆,其测度|L|2 1 2. 答案: 8.(2019 金丽衢十二校联考)如图,在三棱锥 D- ABC 中,已知 AB2, AC BD 3, 设 ADa, BCb, CDc, 则 c2 ab1的最小值为_ 解析: 设AD a, CB b, DC c, 因为 AB2, 所以|abc|24a2 b2c22(a bb cc a)4,又因为AC BD 3,所以(ac) (bc)3a bb c c ac23, 所以 a2b2c22(3c2)
8、4c2a2b22,所以a 2b22 ab1 2ab2 ab1 2,当且仅当 a b 时,等号成立,即 c2 ab1的最小值是 2. 答案:2 9 (2019 宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)如图, 矩形 ABCD 中, AB1, BC 3, 将ABD 沿对角线 BD 向上翻折, 若翻折过程中 AC 长度在 10 2 , 13 2 内变化,则点 A 所形成的运动轨迹的长度为 _ 解析:过 A 作 AEBD,垂足为 E,连接 CE,AE. 因为矩形 ABCD 中,AB1,BC 3, 所以 AE 3 2 ,CE 7 2 . 所以 A 点的轨迹为以 E 为圆心, 以 3 2 为半径的圆弧 AEA 为二
9、面角 A- BD- A的平面角 以 E 为原点,以 EB,EA所在直线为 x 轴,y 轴建立如图所示空间直角坐标系 E- xyz,设 AEA,则 A 0, 3 2 cos , 3 2 sin ,C 1, 3 2 ,0 , 所以 AC13 4(cos 1)23 4sin 2 53cos 2 , 所以 10 2 53cos 2 13 2 , 解得 0cos 1 2, 所以 6090,所以 A 点轨迹的圆心角为 30, 所以 A 点轨迹的长度为 6 3 2 3 12 . 答案: 3 12 10(2019 宁波十校联考模拟)如图,在四棱锥 P- ABCD 中, BAD120,ABAD2,BCD 是等边
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