2020浙江新高考数学二轮复习课件:专题三 3 第3讲 数列的综合问题 .ppt
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1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 第第3讲讲 数列的综合问题数列的综合问题 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 专 题 强 化 训 练 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 数列不等式的证明问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能数列不等式的证明问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能 力与数列有关的不等式除
2、利用数学归纳法证明外力与数列有关的不等式除利用数学归纳法证明外,还可以借助以下方法:若所证数列还可以借助以下方法:若所证数列 不等式能够转化为函数不等式能够转化为函数,可借助函数的单调性证明;若所证数列不等式两边均是整式多可借助函数的单调性证明;若所证数列不等式两边均是整式多 项式项式,可以借助比较法;若所证数列能够求和可以借助比较法;若所证数列能够求和,且所证不等式与和式有关且所证不等式与和式有关,可先求出其可先求出其 和和,再借助放缩法证再借助放缩法证明明 数列不等式的证明数列不等式的证明 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页
3、典型例题典型例题 已知数列已知数列xn满足:满足:x11,xnxn 1ln(1xn1)(nN*) 证明:当证明:当 nN*时时, (1)00. 假设假设 nk 时时,xk0, 那么那么 nk1 时时,若若 xk 10 时时,则则 00. 因此因此 xn0(nN*) 所以所以 xnxn 1ln(1xn1)xn1. 因此因此 00), 函数函数 f(x)在在0,)上单调递增上单调递增, 所以所以 f(x)f(0)0, 因此因此 x2 n 12xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0, 故故 2xn 1xnx nxn 1 2 (nN*) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 7 返
4、回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)因为因为 xnxn 1ln(1xn1)xn1xn12xn1, 所以所以 xn 1 2n 1. 由由x nxn 1 2 2xn 1xn得得 1 xn 1 1 2 2 1 xn 1 2 0, 所以所以 1 xn 1 2 2 1 xn 1 1 2 2n 1 1 x1 1 2 2n 2, , 故故 xn 1 2n 2. 综上综上, 1 2n 1xn 1 2n 2(nN*) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明数列不等式常用的四种方法证明数列不等式常用的四种方法 (1)构造函数构造函数
5、,结合数列的单调性证明结合数列的单调性证明 (2)若待证不等式的两边均为关于若待证不等式的两边均为关于 n 的整式多项式的整式多项式,常用作差比较法证明数列不等式常用作差比较法证明数列不等式 (3)与数列前与数列前 n 项和有关的不等式的证明方法主要有两种:一是若数列的通项能够直接求项和有关的不等式的证明方法主要有两种:一是若数列的通项能够直接求 和和,则先求和后则先求和后,再根据和的性质证明不等式;二是若数列的通项不能够直接求和再根据和的性质证明不等式;二是若数列的通项不能够直接求和,则则 先放缩后再求和证明先放缩后再求和证明 (4)当待证不等式随当待证不等式随 n 的变化呈现的规律较明显的
6、变化呈现的规律较明显,且初始值且初始值 n0易于确定时易于确定时,用数学归纳法用数学归纳法 证明证明 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1设数列设数列an满足满足 ana n 1 2 1,nN*. (1)证明:证明:|an|2n 1(|a 1| 2),nN*; (2)若若|an| 3 2 n, ,nN*,证明:证明:|an|2,nN*. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明证明:(1)由由 ana n 1 2 1,得得 |an|1 2|an
7、1|1,故故|a n| 2n |a n 1| 2n 1 1 2n, ,nN*, 所以所以|a1| 21 |an| 2n |a1| 21 |a2| a2 |a2| 22 |a3| 23 |an 1| 2n 1|a n| 2n 1 21 1 22 1 2n 11, 因此因此|an|2n 1(|a 1| 2) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)任取任取 nN*,由由(1)知知,对于对于任意任意 mn, |an| 2n |am| 2m |an| 2n |a n 1| 2n 1 |an 1| 2n 1|a n 2| 2n 2 |a
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