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1、第二章第二章 惯性导航技术惯性导航技术 教教 学学 内内 容容l 惯性导航概述惯性导航概述l 惯性导航坐标系惯性导航坐标系l 捷联惯性导航机械编排捷联惯性导航机械编排l 捷联姿态矩阵计算捷联姿态矩阵计算l 惯性传感器惯性传感器l 捷联惯导初始对准及惯性导航误差分析捷联惯导初始对准及惯性导航误差分析第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述l 惯性导航系统建立在牛顿经典力学定律的基础之上。惯性导航系统建立在牛顿经典力学定律的基础之上。l 一个惯性导航系统通常包含一个惯性导航系统通常包含3 个敏感轴相互垂直的加速度个敏感轴相互垂直的加速度计和用于确定加速度计在每一时刻的

2、方位的计和用于确定加速度计在每一时刻的方位的3个陀螺。个陀螺。l 惯性导航就是用陀螺仪和加速度计提供的测量数据确定所惯性导航就是用陀螺仪和加速度计提供的测量数据确定所在运载体的位置的过程。在运载体的位置的过程。1.1 1.1 惯性导航基本概念惯性导航基本概念第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述l 比力的概念：比力的概念：加速度计加速度计并不能直接测量载体相对惯并不能直接测量载体相对惯性空间的加速度，而测量的性空间的加速度，而测量的是是比力，比力，即惯性空间加速度即惯性空间加速度与与引力加速度引力加速度之差。量值是之差。量值是作用在敏感器上的每单位质作用在敏感器

3、上的每单位质量的量的非万有引力非万有引力。l 陀螺仪测量的是运载体相陀螺仪测量的是运载体相对于对于惯性空间惯性空间姿态变化或转姿态变化或转动速率。动速率。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述 惯性导航系统分为两大类：平惯性导航系统分为两大类：平台式和捷联式。台式和捷联式。平台式惯导系统的核心是一个平台式惯导系统的核心是一个惯性级的陀螺稳定平台，它确定惯性级的陀螺稳定平台，它确定了一个平台坐标系。三个加速度了一个平台坐标系。三个加速度计的敏感轴分别沿平台坐标系的计的敏感轴分别沿平台坐标系的三个坐标轴的正向安装。三个坐标轴的正向安装。l 平台式惯导平台式惯导1.2

4、 1.2 惯性导航分类惯性导航分类第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述平台式惯导组成框图第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述 捷联式惯导捷联式惯导 “捷联捷联”（strapdownstrapdown）这一术语的英文原意就是）这一术语的英文原意就是“捆绑捆绑”的意思，因此所谓捷联惯导系统就是将惯性测量装置的敏感器的意思，因此所谓捷联惯导系统就是将惯性测量装置的敏感器（陀螺仪与加速度计）（陀螺仪与加速度计）直接安装在运载体上直接安装在运载体上，从而可实现运动，从而可实现运动对象的自主导航目的。对象的自主导航目的。从结构上，捷联式惯

5、性导航系统与平台式惯性导航系统的从结构上，捷联式惯性导航系统与平台式惯性导航系统的主要区别是前者没有主要区别是前者没有实体的稳定平台实体的稳定平台，后者具有平台。，后者具有平台。1.2 1.2 惯性导航分类惯性导航分类第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述1.3 1.3 惯性导航发展历程惯性导航发展历程l 17世纪，世纪，牛顿牛顿确定了确定了力学定律力学定律和和万有引力定律万有引力定律；l 1852年，傅科年，傅科(Foucault)发现了发现了陀螺效应陀螺效应；同时代科；同时代科学家都在研究地球的转动和转动动力学的演示验证，利用转盘学家都在研究地球的转动和转动

6、动力学的演示验证，利用转盘的的旋转轴能保持空间不变旋转轴能保持空间不变的特性；的特性；l 1890 年，年，G.H.布雷安布雷安(Bryan)教授发现了圆筒的教授发现了圆筒的振振鸣鸣，这一重要现象后来用于，这一重要现象后来用于固态陀螺仪固态陀螺仪；l 20 世纪初，出现了用做方向基准的世纪初，出现了用做方向基准的陀螺罗经陀螺罗经。其基本原理。其基本原理是，通过在其摆性效应和携带罗盘的回转座的角动量之间建立是，通过在其摆性效应和携带罗盘的回转座的角动量之间建立平衡关系，来指示真北。平衡关系，来指示真北。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述l 马克斯马克斯舒勒舒勒

7、(Max Schuler)教授研制了一种带垂直安装教授研制了一种带垂直安装系统的仪表，能确定一个精确的垂直基准。该仪表调谐到由系统的仪表，能确定一个精确的垂直基准。该仪表调谐到由 确定的无阻尼振荡自然周期，约为确定的无阻尼振荡自然周期，约为84min。其中。其中R 是地球半径，是地球半径，g 是地球引力产生的加速度。是地球引力产生的加速度。l 20 世纪上半叶世纪上半叶,研制了舰炮火控系统稳定平台，提出了研制了舰炮火控系统稳定平台，提出了惯惯性导航系统性导航系统的基本概念。博伊科的基本概念。博伊科(Boykow)发现，利用加速发现，利用加速度计和陀螺仪可构建一个完整的惯性导航系统。度计和陀螺仪

8、可构建一个完整的惯性导航系统。l 第二次世界大战中，德国科学家在第二次世界大战中，德国科学家在V1 和和V2 火箭上演示验火箭上演示验证了惯性制导的原理，使用了带反馈的系统，从而实现了精确证了惯性制导的原理，使用了带反馈的系统，从而实现了精确导引。导引。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述l 1949 年出版物中首次提出了年出版物中首次提出了捷联导航捷联导航的概念。的概念。l 20 世纪世纪50 年代，陀螺仪的精度大幅度提高。从大约年代，陀螺仪的精度大幅度提高。从大约15/h 降低到大约降低到大约 0.01 /h，制造出了稳定平台惯性导，制造出了稳定平台惯性导

9、航系统。航系统。l 20 世纪世纪60 年代，惯性导航系统成为军用飞机、船舶、年代，惯性导航系统成为军用飞机、船舶、潜艇的标准配置。敏感器精度不断提高，器件变得小型化，潜艇的标准配置。敏感器精度不断提高，器件变得小型化，环形激光陀螺环形激光陀螺开始研制。开始研制。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述l 在过去在过去20 年，一个主要进展是年，一个主要进展是微型计算机微型计算机的应用和大动态的应用和大动态范围陀螺的研制，这些技术进步使得范围陀螺的研制，这些技术进步使得捷联捷联原理得以实现。这使原理得以实现。这使得在很多应用场合，惯性导航系统的尺寸和复杂性都大大降

10、低。得在很多应用场合，惯性导航系统的尺寸和复杂性都大大降低。l 最近几年，惯性导航系统发展的主要特征，是逐步从稳定平最近几年，惯性导航系统发展的主要特征，是逐步从稳定平台技术转向捷联技术。台技术转向捷联技术。l 由于小型速率积分陀螺、动力调谐陀螺、新近的环形激光与由于小型速率积分陀螺、动力调谐陀螺、新近的环形激光与光纤速率敏感器以及振动陀螺的出现，惯性技术的发展达到了光纤速率敏感器以及振动陀螺的出现，惯性技术的发展达到了新的里程碑。新的里程碑。MEMS(微型加工机电系统，简称微机电系统微型加工机电系统，简称微机电系统)敏感器是一项令人振奋的技术进展，它将使惯性导航的应用范敏感器是一项令人振奋的

11、技术进展，它将使惯性导航的应用范围进一步拓宽。围进一步拓宽。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理1.1.惯性导航概述惯性导航概述第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理2.2.惯性导航参考坐标系惯性导航参考坐标系1 1）惯性坐标系惯性坐标系(i(i系系)。原点位于地球中心原点位于地球中心,坐标坐标轴相对于恒星无转动，轴向轴相对于恒星无转动，轴向定义为定义为 。其中。其中 的方向与地球极轴的方向一的方向与地球极轴的方向一致致(假定极轴方向保持不变假定极轴方向保持不变)。iiiOzOyOx,iOz2 2）地球坐标系地球坐标系(e(e系系)原点位于地球中心，坐标轴与地球固连，轴向定义为原点位于地球中

12、心，坐标轴与地球固连，轴向定义为其中，其中，沿地球极轴方向，沿地球极轴方向，轴沿格林尼治子午面和地球赤道平面轴沿格林尼治子午面和地球赤道平面的交线。地球坐标系相对于惯性坐标系绕的交线。地球坐标系相对于惯性坐标系绕 轴以角速度。转动。轴以角速度。转动。eeOzOyOx,eeOzeOxiOz第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理2.2.惯性导航参考坐标系惯性导航参考坐标系3 3）当地地理坐标系（当地地理坐标系（t t系）系）原点位于导航系统所处的位置原点位于导航系统所处的位置P P点，坐标轴指点，坐标轴指向北、东和当地向北、东和当地垂垂线方向线方向(向下向下)。导航坐标系相对。导航坐标系相对于地球

13、固连坐标系的旋转角速率于地球固连坐标系的旋转角速率 取决于取决于P P点相对于地球的运动，点相对于地球的运动，通常称为通常称为转移速率。转移速率。4 4）游动方位坐标系）游动方位坐标系(w(w系系)5)5)载体坐标系（载体坐标系（b b系）系）en第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.3.捷联惯性导航机械编排捷联惯性导航机械编排3.1 3.1 三维捷联导航系统基本分析三维捷联导航系统基本分析1 1）相对于惯性系的导航）相对于惯性系的导航i22itdd ra grfi22tddgfri22tdd比力：比力：导航方程导航方程第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.3.捷联惯性导航机械编排捷联

14、惯性导航机械编排2 2）哥氏定理）哥氏定理哥氏定理：哥氏定理：用于描述矢量的绝对变化率与相对变化率间用于描述矢量的绝对变化率与相对变化率间的关系。设有矢量的关系。设有矢量 ，是两个作相对旋转的坐标是两个作相对旋转的坐标系，则哥氏定理可描述为：系，则哥氏定理可描述为：rnm,rrrnmnmdtddtd根据哥氏定理，有根据哥氏定理，有rrrieiedtddtd即即rvvieie第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.3.捷联惯性导航机械编排捷联惯性导航机械编排3 3）导航坐标系的选择）导航坐标系的选择可以选定在任一坐标系内进行导航解算。可以选定在任一坐标系内进行导航解算。eiveev4 4）加速

15、度计测量值的分解）加速度计测量值的分解 加速度计通常提供相对载体固连轴系的测量值加速度计通常提供相对载体固连轴系的测量值 因此因此需向选择的导航坐标系内分解。需向选择的导航坐标系内分解。bfbibifCf bibibibCC 000bibpqprqrTbibrqp第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.2 3.2 惯性坐标系机械编排惯性坐标系机械编排第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.2 3.2 惯性坐标系机械编排惯性坐标系机械编排grvfv)(ieieeieiedtd比力当地质量引力加速度向心力加速度哥氏加速度重力矢量iiiii1eieegvv fieie1rggiiibibie1e

16、iegvvfC第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.2 3.2 惯性坐标系机械编排惯性坐标系机械编排第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.3 3.3 地球坐标系机械编排地球坐标系机械编排捷联惯性导航原理捷联惯性导航原理eieieeevvvdtddtd1eieiegvv fdtdeeeee1eiee2gvv fbibrqpbebebebCC eebeb1eie2gvefCebebbieibebC第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理对于时间非常短的导航，如一些战术导弹的应用，可以对这对于时间非常短的导航，如一些战术导弹的应用，可以对这种系统的机械编排

17、作进一步的简化。例如，对于导航周期短种系统的机械编排作进一步的简化。例如，对于导航周期短(一般为一般为lOminlOmin或更短或更短)的情况，地球自转对姿态计算过程的的情况，地球自转对姿态计算过程的影响有时可以忽略影响有时可以忽略;在速度方程中，不进行哥氏校正也能获在速度方程中，不进行哥氏校正也能获得足够的导航精度。得足够的导航精度。ebebe1egfCv第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.4 3.4 当地地理坐标系（任一导航坐标系）机械编排当地地理坐标系（任一导航坐标系）机械编排为了进行绕地球的长距离导航，需要当地地理坐标系为了进行绕地球的长距离导航，需要当地地理坐标系中的导航信息。

18、中的导航信息。e eenenieiei ie en ne e vdtdvdtdv1eieiegvv fdtdn nn nn nenenn nn nn ne eieiee e12gvfvn nn nn ne et tn nb bn nb be ei ie e12gvfCb bnbnbn nb bn nb bCCn nn nb bn nb bb benenieienbnbnbnbC第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.5 3.5 任一导航坐标系机械编排任一导航坐标系机械编排Tniesin0cosLLT0E0N0EnentanhRLvhRvhRv第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.5 3.

19、5 用分量形式表示的详细导航方程用分量形式表示的详细导航方程 对于地球上工作在当地地理坐标系中的导航系统，导航方程为：对于地球上工作在当地地理坐标系中的导航系统，导航方程为：(3)(5)TnensincosLLLLhRvcos)(0E由于：因此：n1nnnienn2engvfvTneDENvvvv(1)(2)TbzbybnbDENfffffffx,CTn(4)TneDENvvvv TbzbybnbDENfffffffx,CTnTniesin0cosLLTneDENvvvv TbzbybnbDENfffffffx,CTnTnensincosLLLTniesin0cosLLTneDENvvvv T

20、bzbybnbDENfffffffx,CTnT0E0N0EnentanhRLvhRvhRvTnensincosLLLTniesin0cosLLTneDENvvvv TbzbybnbDENfffffffx,CTnTn100gg第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理3.5 3.5 用分量形式表示的详细导航方程用分量形式表示的详细导航方程(6）Tn1gggg理想情况：理想情况：实际情况：实际情况：第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理因为：因为：BaAbba000 xyxzyzaaaaaaAn1nnnienn2engvfvLLLLvvvvvvNENDEDsin)(cos)(22000(7）第二章第二

21、章 惯性导航原理惯性导航原理3.5 3.5 用分量形式表示的详细导航方程用分量形式表示的详细导航方程第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 有有3 3种姿态表达式，分别为方向余旋、欧拉角、四元数。种姿态表达式，分别为方向余旋、欧拉角、四元数。4.1 4.1 方向余弦方向余弦 是矢量是矢量R R 与坐标轴与坐标轴x x、y y、z z 正正向之间夹角的余弦，叫做方向余向之间夹角的余弦，叫做方向余弦。弦。4.1.1 4.1.1 方向余弦概念及方向余弦矩阵方向余弦概念及方向余弦矩阵 第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算RRRzyOx参

22、考坐标系，沿各坐标轴单位矢量为：参考坐标系，沿各坐标轴单位矢量为：bbbzyOx刚体固联坐标系，沿各坐标轴单位矢量为：刚体固联坐标系，沿各坐标轴单位矢量为：RiRjRkb bibjrk 二坐标系之间关系可用二坐标系之间关系可用9 9个方向余弦来表示个方向余弦来表示RiRjRkbibjbk),cos(roxxc11),cos(royxc12),cos(rozxc13),cos(roxyc21),cos(royyc22),cos(rozyc 23),cos(roxzc31),cos(royzc32),cos(rozzc33第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算如果矢

23、量如果矢量R R在在bbbzyOx中表示为：中表示为：bbbbbbkzjyixR在在RRRzyOx中表示为：中表示为：RRRRRRkzjyixR则则bbbRbrrrRRRzyxzyxccccccccczyxC333231232221131211矢量和的投影等于各矢量和的投影等于各矢量投影之和！矢量投影之和！称称RbC为方向余旋矩阵，或坐标变换矩阵。为方向余旋矩阵，或坐标变换矩阵。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算反之则有：反之则有：RRRbRRRRbbbzyxzyxccccccccczyxC332313332212312111因此方向余弦矩阵有下列性质：因此

24、方向余弦矩阵有下列性质：1 1）的列向量是的列向量是 b b系中单位矢量在系中单位矢量在R R系中的投影系中的投影;2 2）3)3)bRCT T)(bRRbCCICCbRRb第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算4.1.2 4.1.2 方向余弦矩阵随时间的传递方向余弦矩阵随时间的传递 坐标系转动的定义：从原点看，坐标系转动的定义：从原点看，沿每根轴的顺时针方向定义为这根沿每根轴的顺时针方向定义为这根轴的正向转动。轴的正向转动。RbC随时间的变化率为：随时间的变化率为：tttttRbRbtRbtRb)()(limlim00CCCC其中其中)(ttRbC可写为可写为

25、)()()(tAtttRbRbCCottt（1 1）（2 2）第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算4.1.2 4.1.2 方向余弦矩阵随时间的传递方向余弦矩阵随时间的传递 bibjbk)(tib)(tjb)(tkb)cos(9012c)cos(9013c)cos(9023c（新）（新）ttt假设绕假设绕x,y,zx,y,z轴所形成角度分别为滚转角轴所形成角度分别为滚转角 俯仰角俯仰角 偏航角偏航角 )cos(9021c)cos(9031c)cos(9032c（旧）（旧）故：故：I111)(tA其中其中000（3 3）（4 4）第二章第二章 惯性导航原理惯性导航

26、原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算4.1.2 4.1.2 方向余弦矩阵随时间的传递方向余弦矩阵随时间的传递 根据（根据（1 1）（4 4）式：）式：bRbRbxyxzyzRbtRbRbtRbttCCCCC000limlim00其中角速率矢量：其中角速率矢量：zyxbRb为为b b系相对于系相对于R R系的转动角速率在系的转动角速率在r r系内的表示。系内的表示。bRb为为bRb的斜对称矩阵。的斜对称矩阵。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4.2 4.2 欧拉角欧拉角 从一个坐标系到另一个坐标从一个坐标系到另一个坐标系的变换可以通过依次绕不系的变换可以通过

27、依次绕不同坐标轴的同坐标轴的3 3次连续转动来定次连续转动来定义。义。3 3 次转动可以用数学方次转动可以用数学方法表述成法表述成3 3 个独立的方向余个独立的方向余弦矩阵。两个坐标系关系既弦矩阵。两个坐标系关系既是是3 3个转动角度大小的函数，个转动角度大小的函数，又是转动次序的函数。又是转动次序的函数。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算RiRjRk1ri1rj1rk)cos(9021cO O系系r1r1系系 （1 1）绕）绕z z轴转动轴转动 )cos(11c)cos(9012c)cos(22c1000cossin0sincos1rRC ！从！从R R系

28、依次绕系依次绕z,y,xz,y,x旋转到旋转到b b系系第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 （2 2）绕）绕y y轴转动轴转动 cossinsincos0010021rrC ！从！从o o系依次绕系依次绕z,y,xz,y,x旋转到旋转到r r系系1ri1rj1rk2ri2rj2rk)cos(90r1r1系系r2r2系系)cos()cos(90)cos(第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 （3 3）绕）绕x x轴转动轴转动 cossin0sincos00012brC ！从！从o o系依次绕系依次绕z,y,xz,y,x旋转到旋

29、转到r r系系2ri2rj2rkbibjbk)cos(90r2r2系系b b系系)cos()cos()cos(90第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 因此：因此：1212rRrrbrbRCCCCcoscossincossinsincoscossinsinsinsinsincoscossincossinsincoscossinsinsincoscossincoscos)(TbRRbCC 称称 0000002122rrbrbrzyxCCC为框架角，框架角速率与为框架角，框架角速率与ror之间的关系为：之间的关系为：第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷

30、联姿态计算捷联姿态计算 得：得：zysincossec)cos(sinzytgzyx)cos(sin 用途：该式可在捷联系统中进行解算，用来更新载体相用途：该式可在捷联系统中进行解算，用来更新载体相对于所选参考坐标系的欧拉转动。对于所选参考坐标系的欧拉转动。时不适用。时不适用。90第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4.3 4.3 四元数法四元数法 所谓四元数，是指由一个实数单位所谓四元数，是指由一个实数单位1 1和三个虚数单位组和三个虚数单位组成并具有下列实元的数：成并具有下列实元的数：kPjPiPq3211 四元数的另一种表达方式：四元数的另一种表达方式

31、：),(Pq第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4.3 4.3 四元数法四元数法 1 1）定义）定义1 1 iikji2 2）表达式）表达式矢量法：矢量法：复数法：复数法：三角法：三角法：矩阵法：矩阵法：kqjqiqqQ3210qqQ0TqqqqQ3210)2 2sin(sin(2 2COS(COS(UQkqjqiqqQ3210*第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 3)3)运算法则（范数、加、减、乘、除）运算法则（范数、加、减、乘、除）范数：范数：加、减：对应元素加减。加、减：对应元素加减。乘：乘：23222120qqqq

32、QQPMqqqqpppppppppppppppprrrr)(321001231032230132103210第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算除去第一行（四元数的共轭）、第一列（四元数本身除去第一行（四元数的共轭）、第一列（四元数本身)外，剩外，剩余称为余称为M或或M的核。的核。M的核是由四元数的核是由四元数P的元构成的反对称矩阵；的元构成的反对称矩阵；M的核是由四元数的核是由四元数Q的共轭四元数的元构成的反对称矩阵。的共轭四元数的元构成的反对称矩阵。QqMppppqqqqqqqqqqqqqqqqrrrr)(321001231032230132103210第

33、二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算四元数乘法满足分配率和结合率，不满足交换律，即：四元数乘法满足分配率和结合率，不满足交换律，即：PQQPMQPMQP)()(结合律：结合律：)()(RQPRQPRQP分配律：分配律：RPQPRQP）（第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算除法除法-(-(求逆求逆):):PppppPP23222120*故故:PPP*1第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4)4)四元数与姿态矩阵之间的关系四元数与姿态矩阵之间的关系 OAOA(r r):):刚体相对于刚体相对于R

34、R坐标系的初始位置坐标系的初始位置OCOC(rr):):刚体相对于刚体相对于R R坐标系的初始位置坐标系的初始位置OOOO:瞬时转动轴瞬时转动轴瞬时转动角速度：瞬时转动角速度：kjizyx90BOA:u单位矢量单位矢量第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4)4)四元数与姿态矩阵之间的关系四元数与姿态矩阵之间的关系 uurOO)(uurrAO)(AOuBOruuurru)(sincosBOAOCOsincos)(cosruuurrsin)(cos1(cosruuurrCOOOr第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4)4)四元

35、数与姿态矩阵之间的关系四元数与姿态矩阵之间的关系 ruuruuruu)()()(ruur)()()(ruuruursin)(cos1(cosruuurrCOOOrsin)(cos1(cosruuurrCOOOr)()cos1(sinruurur第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 向向R R系投影：系投影：RRRRruururr)()cos1(sin)(TzyxRrrrrTzyxRrrrrTRnmluRzyxRUrrrrlmlnmnRu000)(第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 所以：所以：)(cos1(sinRRRRUr

36、UUrrrRRrUUUIrUUUI2sin22cos2sin2)cos1(sin2 令：令：RrUUUID2sin22cos2sin22 则：则：RRDrrbRrr 设设b b系与刚体固联，且初始时刻与系与刚体固联，且初始时刻与R R系重合，有：系重合，有：bRrDr第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 所以：所以：)(cos1(sinRRRRUrUUrrrRRrUUUIrUUUI2sin22cos2sin2)cos1(sin2 令：令：UUUID2sin22cos2sin22 则：则：RRDrrbRrr 设设b b系与刚体固联，且初始时刻与系与刚体固联，且初

37、始时刻与R R系重合，有：系重合，有：bRbRrCrDrb第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 所以：所以：UUUICrb2sin22cos2sin222sin)(2sin2sin2sin2sin)(2sin2sin2sin2sin)(202sin2sin2sin02sin2sin2sin02cos2222222222222222lmmnlnmnnllmlnlmnmlmlnmnICRb第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 构造四元数：构造四元数：2sin;2sin;2sin;2cos3210nqmqlqq 则：则：2sin2c

38、os2sin)(2cosRulkmjliQRu-瞬时旋转轴矢量，旋转矢量；瞬时旋转轴矢量，旋转矢量；-转过的角度。转过的角度。第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算用四元数替代姿态转换矩阵中各元素：用四元数替代姿态转换矩阵中各元素：)(21)(2)(2)(2)(21)(2)(2)(2)(21222103220311032232302120313021232112qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqCRb 因：因：)(2)(2)(2)(2)(2)(2)232221032203110322322230212031302123222210210

39、210qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqCrb 故：故：123222120qqqqQ第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算如果将向量如果将向量 看作标量为看作标量为0 0的四元数，则二者的四元数，则二者之间的关系可以用四元数乘法表示为：之间的关系可以用四元数乘法表示为：brRr*QrQrbR证明：证明：bbbbrQMQMrQMQQrQQrQ)()()()(*brqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq001231032230132100123103223013210第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原

40、理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算brqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq0)(2)(2)(2)(2)(2)(2000232221201032203110322322212030212031302123222120bRbRrCr00000即：即：第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算5 5）四元数微分方程）四元数微分方程由上述，表征由上述，表征n n系到系到b b系的旋转四元数为：系的旋转四元数为：上边两式求导：上边两式求导：2sin2cosRuQdtduudtdQRR2sin2cos22sin2第二章第二章 惯性导航原理惯性

41、导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算应用哥氏定理：应用哥氏定理：由于：由于：所以：所以：故：故：0bbdtduRRRbbbRbRRRbRbRRRRudtduCudtdudtdudtdu0)(RRRRRbuuu0dtduR2cos22sin2RudtdQ第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算又由于又由于（）2sin22cos22sin22cos2)2sin2(cos22RRRRRRRuuuuuuQu所以：所以：QudtdQR2因：因：RRRbu所以：所以：bRbbRbRRbQQQQQdtdQ212121*第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4.3 4.3 四元数法四元数法 其中：其中：kjizyxbRb 0写成矩阵形式：写成矩阵形式：zyxbRbqqqqqqqqqqqqqqqqqMdtdQ0)(210123103223013210第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4.3 4.3 四元数法四元数法 或或3210000021)(21qqqqQMdtdQxyzxzyyzxzyxbRb第二章第二章 惯性导航原理惯性导航原理4.4.捷联姿态计算捷联姿态计算 4.4 4.4 等效旋转矢量法等效旋转矢量法 自学！自学！