（600分考点700分考法）2020版高考理数：专题数列课件.pptx

1、专题六专题六 数列数列目目 录录CONTENTS考点一 数列的概念与简单表示法考点二 等差数列及其前n项和考点四 数列的综合应用考点三 等比数列及其前n项和考点一考点一 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识必备知识 全面把握全面把握1数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项例如，前后项之间形成固定关系的有序的一列数；自变量仅取正整数，图像是离散点的特殊函数；每一项都与其项数及某定值形成固定关系的一列数；每一项与其对应的前n项和形成固定关系的一列数；可以通过归纳的方法，找到表达式，并且对于每

2、一项的检验都恒成立的一列数考点一 数列的概念与简单表示法5图像法；列表法；通项公式法；递推公式法通项公式：如果数列an中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式 来表示，则称此公式为数列的通项公式.2数列的表示方法 an与an是两种不同的表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式；而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系递推公式：如果从数列an的第2项起，任一项an与它的前一项an1(或前n项和Sn)间的关系可以用某个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式考点一 数列的概念与简单表示法6按项数分类项数分类：有穷数列，无穷数列按项与项间的大小

3、关系分类项与项间的大小关系分类：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列3数列的分类考点一 数列的概念与简单表示法7一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的思想方法利用函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，因为它的定义域是N N*或它的有限子集1，2，n，所以它的图像是一系列孤立的点，而不是连续的曲线不是连续的曲线4函数与数列的联系与区别考点一 数列的概念与简单表示法8已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等解决；5解决数列问题的一般方法形似函数的数列，可以应用函数的方法，同时注意与函数的区别形似等差、等比

4、的数列，可以联想、类比、派生、转化为等差、等比 数列；考点一 数列的概念与简单表示法9核心方法重点突破方法1 由an与Sn的关系求通项an数列an的前n项和Sn与an的关系为 先通过anSnSn1(n2)和题目中的已知条件消去消去a an n或或S Sn n，再构造等差数列或者等比数列求解(1)若消去Sn，应利用已知递推公式，把n换成n1得到另一个式子，两式相减即可求得通项考点一 数列的概念与简单表示法10(2)若消去an，只需把anSnSn1代入递推式得到Sn，Sn1的关系，求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项在求解时一定要记住：(1)当n1时，a1S1；(2)当n2时，anSnSn1.将

5、n1时的表达式与n2时的表达式综合在一起，若a1适合n2时an的通项公式，则可以合并在一起，否则写成分段形式方法1 由an与Sn的关系求通项an考点一 数列的概念与简单表示法11【解】(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.又a11也适合上式，因此an4n5(nN N*)例1 已知数列an的前n项和Sn，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(2)当n1时，a1S13b；当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合上式；当b1时，a1不适合上式当b1时，an23n1(nN N*)；当b1时，

6、an考点一 数列的概念与简单表示法12【解析】当n1时，a16；当n2时，由a12a23a3nann(n1)(n2)得a12a23a3(n1)an1(n1)n(n1)，两式相减得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)3n(n1)，所以an3n3，当n1时也成立，故an3n3.例2 数列an满足a12a23a3nann(n1)(n2)(nN*)，则这个数列的通项公式an_【答案】3n3考点一 数列的概念与简单表示法13【解】(1)由S1A2Ba15，S2A4Ba1a29，得A2，B1.例3 在数列an中，a15，a24，数列an的前n项和SnA2nB(A，B为常数)(1)求实数A，B的值；(

7、2)求数列an的通项公式(2)因为Sn2n11，所以an当n1时，a1S12215；当n2时，anSnSn12n11(2n1)2n.所以an考点一 数列的概念与简单表示法14方法2 数列的单调性、最值、周期性等性质的应用(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法：作差比较法作差比较法：根据 an+1-an的符号进行判断；作商比较法作商比较法：当an中各项都同号时，根据 与1的大小关系进行判断；结合相应函数的图像直观判断nnaa1(3)解决数列周期性问题的方法：根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值(2)数列的最值通常利用函数最值的方法或者数列的单调性求解考点一 数列的概念

8、与简单表示法15【解析】an 且数列an是递增数列，则 2a3，实数a的取值范围是(2，3)【答案】(2，3)例4 已知数列an满足an 且an是递增数列，则实数a的取值范围是_考点一 数列的概念与简单表示法16【解析】由任意连续三项的和都是15得anan1an2an1an2an3，则anan3，所以a12a35，且a2a3a415，则a29，所以a2 018a36722a29.例5 在数列an中，若a41，a125，且任意连续三项的和都是15，则a2 018_【答案】9考点一 数列的概念与简单表示法17例6 等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_【答案】

9、49考点一 数列的概念与简单表示法18考法例析成就能力本考点是高考的热点，主要考查(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度有所下降(2)由an与Sn的关系求通项公式；(1)由数列的递推关系求通项公式；考点一 数列的概念与简单表示法19例1 课标全国201814记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.考法1 由an与Sn的关系求值【解析】方法一：Sn2an1(n1)，Sn12an11(n2)当n2时，得an2an2an1，an2an1.当n1时，S1a12a11，解得a11.数列an是以1为首项，2为公比的等比数列S6 =-63考点一 数列的概念与简单表

10、示法20方法二：由题知当n2时，Sn2(SnSn1)1，Sn2Sn2Sn11，Sn2Sn11.构造Sn2(Sn1)，Sn2Sn12，Sn2Sn1.两式对应项相等，1.当n1时，S1a12a11，解得a11，S112.Sn1是以S112为首项，2为公比的等比数列Sn122n12n，Sn12n，S612663.【答案】63考点一 数列的概念与简单表示法21例2 课标全国201516设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.【解析】an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.两边同时除以SnSn1，得 1.又 1，是首项为1，公差为1的等差数列 1(n1)(1)n，SnnnSS1

11、111111aSnS1n1【答案】n1考点一 数列的概念与简单表示法22例3 课标全国文201717设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列 的前n项和【解】(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2.所以an (n2)又由题设可得a12，满足an ，从而an的通项公式为an .122n122n122n考点一 数列的概念与简单表示法23考点一 数列的概念与简单表示法例3 课标全国文201717设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列 的前n项和

12、24(1)求数列an的通项公式；(2)记数列 的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值例4 四川201516设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列10001考点一 数列的概念与简单表示法25【解】(1)由已知Sn2ana1，得anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，所以a1a32(a21)，即a14a12(2a11)，解得a12.所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an2n.考点一 数列的概念与简单表示法26考点一 数列的概念与简单表

13、示法27考法2 利用数列的单调性求最值例5、已知数列an满足a12a222a32n1ann，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列(2n13)an的最大项【解】(1)a12a222a32n1ann，当n2时，a12a222a32n2an1n1，得2n1an1，an ，n2.又n1时，a11也适合，an ，nN N*.1-n211-n21考点一 数列的概念与简单表示法28考点一 数列的概念与简单表示法29考法3 数列的新定义问题例6 课标全国201612定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，

14、则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个 C14个 D12个考点一 数列的概念与简单表示法30【解析】当m4时，数列共有8项，由题可知，a10，a81，分类考虑：当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个；当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项任取一项为0，共有C32C319(个)；当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7项有一项为0，共有C21C214(个)综上，共有19414(个)【答案】C考点一 数列的概念与简单表示法31考点二考点二 等差数列及其前等差数列及其前n项和项和必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就

15、能力32必备知识 全面把握考点二 等差数列及其前n项和一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示1等差数列的定义如果a，b，c成等差数列，那么b为a，c的等差中项，其中b=.2等差中项2ca 33 (1)等差数列的定义具有两重性，既可以判定一个数列是否为等差数列，也可以作为等差数列的一个性质(2)a，b，c成等差数列是2bac的充要条件(3)等差中项的推广：(n2，np)考点二 等差数列及其前n项和34(1)在通项公式中包含四个量，a1(首项)、d(公差)、n(序号)、an(第n项)，知三求

16、一；3等差数列的通项公式通项公式：ana1(n1)d(nN N*)(2)由通项公式可推出.注意把握：考点二 等差数列及其前n项和35(3)用函数观点理解通项公式an是定义在N*或其有限子集1，2，3，n上的一次函数(d0)或常数函数(d0)反之，若anndb，则an1and(n1)bndbd，可知数列an为等差数列因此有结论：数列an是等差数列 anndb.这个结论深刻揭示了等差数列的本质特征：当d0时，an是定义在N*或1，2，3，4，n上的一次函数；当d0时，an是一个常数函数等差数列的图像是均匀分布在直线ydxb上的离散的点(当x取正整数时对应的点)，即点的坐标为(n，an)，这样可把一

17、次函数的某些性质用于等差数列an考点二 等差数列及其前n项和36 通项公式：ana1(n1)d和anam(nm)d的变式为 ，由此可联想点列(n，an)所在直线的斜率由数列的单调性定义，易得an为递增数列 d0；an为递减数列 d0；an为常数列 d0.4等差数列的单调性考点二 等差数列及其前n项和375等差数列的前n项和公式考点二 等差数列及其前n项和前n项和公式：等差数列的前n项和公式整理得从函数观点理解前n项和公式，得到结论：数列an是等差数列 SnAn2Bn(其中A，B为常数)这个结论深刻揭示了等差数列前n项和的本质特征：当d0时，Sn是定义在N*或1，2，3，4，n上的二次函数，且常

18、数项为0；当d0时，Sna1n是一个一次函数或常数0.因此，当d0时，等差数列的前n项和的图像是分布在抛物线yAn2Bn上的一系列离散的点(当n取正整数时对应的点)于是，我们就可以借助抛物线来研究Sn的变化规律38 若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式 来确定n；若a10，d0，Sn有最小值，可由不等式组 来确定n.考点二 等差数列及其前n项和396关于等差数列an的常用结论(1)对于任意正整数n，都有an1ana2a1.(2)对于任意正整数m，n，p，q，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(3)对于任意正整数p，q，r，若pr2q，则有apar2aq.(4)对于任意非零实数b，

19、若数列ban是等差数列，则数列an也是等差数列(5)若数列an，bn都是等差数列且项数相同，则kbn，anbn，anbn，panqbn都是等差数列考点二 等差数列及其前n项和40(10)若数列an为等差数列，则SnAn2Bn，当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值(9)若数列an为等差数列，且Spq，Sqp，则Spq(pq)，pq.(8)若数列an为等差数列，且SnSm(mn)，则Smn0.(7)若数列an为等差数列，则S3m3(S2mSm)(6)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列考点二 等差数列及其前n项和41(11)若数列an为等差数列

20、，若数列的项数为2n1(nN N*)，设S奇，S偶分别为所有奇数项的和与所有偶数项的和，则S奇S偶S2n1 (a1a2n1)(2n1)(2n1)an1(an1为中间项)，S奇S偶an1，21若数列的项数为2n(nN N*)，则S2n (a1a2n)2nn(anan1)(an，an1为中间两项)21考点二 等差数列及其前n项和42(12)若数列an是等差数列，前n项和为Sn，则数列 也是等差数列，其首项与数列an的首项相同，公差是数列an的公差的 .21(13)若数列an，bn都是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则(15)等差数列an的前n项和为Sn，且Sm，S2m，S3m，S4m，分别为

21、数列an的前m项，前2m项，前3m项，前4m项，的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列(14)若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为xd，x，xd；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为x3d，xd，xd，x3d.考点二 等差数列及其前n项和43核心方法核心方法 重点突破重点突破方法1 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法：(1)定义法：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n2”，否则n1时a0无意义；(3)通项公式法通项公式法：anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列；(2)等差中项法等差中项法：2a

22、nan1an1(n2，nN*)成立an是等差数列；考点二 等差数列及其前n项和44(6)若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an，an1，an2，使得这三项不满足2an1anan2即可(5)an为等比数列，an0 logaan为等差数列(a0且a1)；(4)前n项和公式法：验证数列an的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列；考点二 等差数列及其前n项和45例1(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证：数列an是等差数列；(2)已知 成等差数列，求证：也成等差数列【证明】(1)当n1时，a1S1321.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)

23、22(n1)6n5.当n1时，也满足上式，an6n5.首项a11，anan16n56(n1)56(常数)，数列an是等差数列，且公差为6.考点二 等差数列及其前n项和46考点二 等差数列及其前n项和例1(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证：数列an是等差数列；(2)已知 成等差数列，求证：也成等差数列47例2 设数列an的前n项和为Sn，且Sn1Sn(n1)an1 an1，nN*，a26，求证：数列an是等差数列21考点二 等差数列及其前n项和48方法2 等差数列的基本运算(1)方程思想：等差数列的基本量有首项a1，公差d，项数n，通项an，前n项和Sn，通常利用条件和通项公式、前

24、n项和公式建立方程组求解(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求利用通项公式、求和公式都用a1和d表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解解决等差数列运算问题的常用数学思想：考点二 等差数列及其前n项和49例3 苏锡常镇四市2018调研已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若【答案】2考点二 等差数列及其前n项和50方法3 等差数列的性质及其应用(1)在等差数列an中，若mnpq，m，n，p，qN，则amanapaq.特殊地，若mn2p，m，n，pN，则aman2ap.(2)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差数列，且公差为k2d.考

25、点二 等差数列及其前n项和51例4 山东菏泽单县第五中学2018第一次月考已知等差数列an，Sn是它的前n项和，若S160，且S170，故a8a90.又17a90，故a90，即数列an的前8项为正数，所以数列的前8项和最大故选B.【答案】B.考点二 等差数列及其前n项和52例5 在等差数列an中，Sn为其前n项和(1)若a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9_；(2)若a2a7a8a136，则S14_；(3)若S1166，则a6_；(4)若a1a4a8a12a152，则a3a13_；(5)若a7a8a9a10a1145，且S678，则a12a13a14a15_；(6)若a4a6a4

26、a9a9a11a6a1181，则S14_.考点二 等差数列及其前n项和53【解析】(1)数列a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9也是等差数列，2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)a3a6a92333927.(2)由等差数列的性质得a2a13a7a83，S14 (a1a14)147(a2a13)7321.21(3)S11 66，a1a1112.2a6a1a1112，即a66.考点二 等差数列及其前n项和54(4)方法一：设数列an的公差为d，由条件可得a1(a13d)(a17d)(a111d)(a114d)2，化简，得a17d2.a3a132a82(a17d)4.方法二：2a8

27、a1a15a4a12，由a1a4a8a12a152得a82.a3a132a84.考点二 等差数列及其前n项和55(5)方法一：化成a1，d(公差)的式子，列方程求解(略)Sn2n225n.S152152251575.a12a13a14a15S15S117533108.方法二：设SnAn2Bn，则由S678，a7a8a9a10a11S11S645，得S1133.考点二 等差数列及其前n项和56方法三：由已知，可得a99，S1133，a63.由a6，a9，a12，a15是等差数列，得公差为12.a1221，a1533.2(a12a15)108，即a12a13a14a15108.(6)a4a6a4a

28、9a9a11a6a11a4(a6a9)a11(a9a6)(a4a11)281，a4a119，【答案】(1)27(2)21(3)6(4)4(5)108(6)63考点二 等差数列及其前n项和57方法4 等差数列前n项和及其最值(1)函数法：等差数列前n项和SnAn2Bn(A，B都为常数)，通过配方，借助求二次函数最值的方法求解求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：(2)邻项变号法：a10，d0时，满足 的项数m使得Sn取得最大值Sm；当a10时，满足 的项数m使得Sn取得最小值Sm.考点二 等差数列及其前n项和58例6 在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和中最大的为()A

29、S15 BS16 CS15和S16 DS17【答案】A考点二 等差数列及其前n项和59考法例析 成就能力 例1 天津201618已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbn12bn2，nN*，求证：数列cn是等差数列；【证明】(1)因为等差数列an的公差为d，由题意得bn2anan1，则cnbn12bn2an1an2anan12dan1，所以cn1cn2d(an2an1)2d2.所以数列cn是等差数列考法1 等差数列的证明与判断考点二 等差数列及其前n项和60考点二 等差数列及其前n项和61考法2 等差数列的基本运算例2 北京2017

30、10若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则 _22ba22ba【答案】1【解析】an是等差数列，a11，a48，公差d3，a2a1d2.bn为等比数列，b11，b48，公比q2，b2b1q2.故 1.考点二 等差数列及其前n项和62例3 北京20189设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_【答案】an6n3【解析】设等差数列an的公差为d，由a13，a2a52a15d36，d6，则an36(n1)6n3.考点二 等差数列及其前n项和63例4 课标全国20174记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4

31、D8【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由【答案】C故选C.考点二 等差数列及其前n项和64考法3 等差数列的性质例5 陕西201513中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_【解析】当这一列数有2n1个时，则中位数为an11 010，由对称性得a1a2n12an12 020，a15.当这一列数有2n个时，中位数为 1 010，同样由对称性得a1a2nanan12 020，a15.【答案】5考点二 等差数列及其前n项和65【答案】6例6 北京201612已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a16，a3a50，则S6_.【解析】方法一：由等差

32、数列的性质可得a3a52a40，a40，d3(a4a1)2，a36222，S63(a3a4)326.方法二：由等差数列的性质，得a3a5a2a62a40.S6a16.考点二 等差数列及其前n项和6666考点三考点三 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力67 1等比数列的定义对于数列an，若 则数列an是等比数列，其中q为常数，叫做公比2等比中项若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，即b2ac(ac0)考点三 等比数列及其前n项和必备知识 全面把握68 (1)等比数列的定义具有两重性，既可以判定一个数列是否为等比数列，也可以把它作

33、为等比数列的一个性质(2)a，b，c成等比数列是b2ac的充分不必要条件(3)推广：等比数列an中，an是与an前后等距离的两项anp，anp的等比中项，即an2anpanp(n2且np)考点三 等比数列及其前n项和693等比数列的通项公式通项公式：(1)在通项公式中包含了四个量，a1(首项)、q(公比)、n(序号)、an(第n项)，只要知道其中任意三个量，即可求出第四个量注意把握：(2)由通项公式可推出(3)函数观点理解通项公式考点三 等比数列及其前n项和70因此有结论：数列an是等比数列ancqn.这个结论深刻揭示了等比数列的本质特征：当q1时，点(n，an)在函数ycqx的图像上；当q1

34、时，点(n，an)在函数ya1的图像上这样可把指数函数的某些性质用于等比数列an 三个数成等比数列，则可设这三个数为 ，a，aq；同号四个数成等比数列，则可设这四个数为 ，aq，aq3.qaqa3qa考点三 等比数列及其前n项和714 4等比数列的单调性等比数列的单调性由数列的单调性定义，易得考点三 等比数列及其前n项和725 5等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式前n项和公式：(1)注意掌握等比数列求和公式的推导方法(2)通项公式与前n项和公式共含五个量，知三求二(3)在运用公式进行计算时，要考虑q是否等于1，若不能确定，要分类讨论考点三 等比数列及其前n项和73(4)如果an0，

35、则logaan(a0且a1)是等差数列；如果数列logaan是等差数列，则an成等比数列；6 6关于等比数列关于等比数列aan n 性质的常用结论性质的常用结论(1)对于任意正整数n，均有(2)对于任意正整数m，n，p，q，若m+np+q；则 ;若mn2p，则有amanap2；(3)对任意正整数n1，有an2an1an1；qpnmaaaa考点三 等比数列及其前n项和74(5)构造新数列：若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，an2，anbn，仍是等比数列；若an是等比数列，且an0，则logaan(a0且a1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列；已知公比不为1的等比

36、数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.若不限定q1，则仍有关系式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，但不能说Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列考点三 等比数列及其前n项和(6)项数为2n的等比数列中，q；项数为2n1的等比数列中，75核心方法重点突破核心方法重点突破 方法1 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明有以下几种方法：(1)定义法：在an0(nN N*)的前提下，若 (q为非零常数)或 (q为非零常数，n2且nN N*)，则an是等比数列(2)等比中项法：数列an中，an0，如果根据已知条件能得到an12anan2(nN N

37、*)，那么数列an是等比数列考点三 等比数列及其前n项和76(3)通项公式法：观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN N*)，则an是等比数列(5)性质法：利用等比数列的性质进行判断或证明(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0且q1)，则数列an是等比数列考点三 等比数列及其前n项和77例1 内蒙古呼和浩特2018调研设数列an各项均为正数，且a24a1，an1an22an(nN*)(1)证明：数列log3(1an)为等比数列；(2)令bnlog3(1a2n1)，数列bn的前n项和为Tn，求使Tn34

38、5成立时n的最小值考点三 等比数列及其前n项和78考点三 等比数列及其前n项和79考点三 等比数列及其前n项和80例2 广西南宁2018第二次适应性测试已知数列an的前n项和为Sn，且满足an1Snn1(n1，2，3，)，a11.(1)求证：an1为等比数列(2)数列an中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由考点三 等比数列及其前n项和81(1)【证明】因为an1Snn1(n1，2，3，)，所以anSn1n(n2)因为anSnSn1(n2)，所以可得an1anan1(n2)，即an12an1(n2)所以an112(an1)(n2)，即 (n2)又因为a11，所以a23

39、，故an1为等比数列考点三 等比数列及其前n项和82(2)【解】不存在理由如下：由(1)得an2n1.假设能得到一个等差数列，不妨设满足条件的3项分别为ar，as，at，则2(2s1)2r12t1，即2s12r2t.所以2rs12ts11.因为an是递增数列，所以rs10，ts10中必有一个成立则2rs12ts11，与2rs12ts11矛盾故数列an中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列考点三 等比数列及其前n项和83方法2 等比数列的基本运算等比数列有五个基本量a1，n，q，an，Sn，可以“知三求二”(1)若已知n，an，Sn，首先验证q1是否成立，若q1，则可以通过列方程组

40、求出关键量a1和q，使问题迎刃而解(2)若已知数列an中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组 两式相除可以先求出q，然后再代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.另外，还可以利用公式anamqnm直接求得q，减少运算量考点三 等比数列及其前n项和84(1)等比数列求和要讨论q1和q1两种情况(2)计算过程中，若出现方程qnt，则要看qn中的n是奇数还是偶数若n是奇数，则 ；若n是偶数，则t0时，q t0(nN*)，两边同时取以2为底的对数得log2an1log2()log22log2 12log2an.令bnlog2an，则bn12bn1.令bn1 t2(bnt)，则bn12

41、 bnt，则t1.bn1 12(bn1)，bn 1为等比数列，首项为b11log2a112，公比为2，bn 122n12n，即bn 2n1.log2an2n1，2na22na22na考点四 数列的综合应用119(4)(4)同除构造同除构造例8 甘肃天水第一中学2018期中已知数列an的首项a12，且满足an12an32n1(nN N*)(1)设 ，证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.考点四 数列的综合应用120考点四 数列的综合应用1214 4归纳猜想法归纳猜想法例9 写出下列数列的通项公式考点四 数列的综合应用122方法2 数列求和的方法例10 山东济南2018教学质量

42、检测已知数列an的前n项和为Sn，a12，且an13Sn2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nlog2an，求bn的前n项和Tn.【解】(1)由已知得，当n2时，an1an3Sn2(3Sn12)3(SnSn1)3an，所以an14an(n2)又a12，a23S123a128，则a24a1，所以an为以2为首项，4为公比的等比数列，所以an24n122n1.考点四 数列的综合应用123(2)由已知得bn(1)nlog2an(1)n(2n1)，当n为偶数时，则Tnb1b2bn1357(2n3)(2n1)2 n；当n为奇数时，n1为偶数，则TnTn1bn(n1)(2n1)n.综

43、上，Tn(1)nn.2n考点四 数列的综合应用124例11 若数列an是正项数列，且 n2n.(1)求数列an的通项公式；(2)设 ，求数列bn的前n项和Sn.考点四 数列的综合应用125例12 吉林普通中学2018第二次调研已知an是等比数列，a11，a48，bn是等差数列，b13，b412.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.【解】(1)设an的公比为q，由a4a1q3得81q3，解得q2，所以an2n1.设bn的公差为d，由b4b13d得1233d，解得d3，所以bn3n.考点四 数列的综合应用126考点四 数列的综合应用127例13 在公差为d

44、的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列(1)求an；(2)若d0)，然后对函数yf(x)进行分析(1)函数特征比较明显的，可以直接根据函数的性质求出相关信息，如等差数列的通项公式ana1(n1)d(d0)对应一次函数f(x)axb；等差数列的前n项和公式Snna1 (d0)可以看成二次函数f(x)ax2bx；等比数列的通项公式ana1qn1(q0，且q1)可以看成函数f(x)tqx.(2)函数特征不明显的，可以通过对函数求导研究其性质考点四 数列的综合应用1302数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以

45、利用数列的单调性比较利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最转化为函数的最值问题值问题(3)考查与数列有关的不等式的证明问题，此类问题大多借助构造函数来证明，或者直接利用放缩法证明利用放缩法证明考点四 数列的综合应用131例14 江西师大附中2018模拟已知等差数列an和等比数列bn均不是常数列，若a1b11，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列(1)求an和bn的通项公式；(2)设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(ijk)，使得ambj，amanbi，anbk成等差数

46、列，求mn的最小值；(3)令cn 记cn的前n项和为Tn，的前n项和为An.若数列pn满足p1c1，且对n2，nN*，都有 pn 设 pn 的前n项和为Sn，求证：Sn44ln n.考点四 数列的综合应用132考点四 数列的综合应用133考点四 数列的综合应用134方法4 数列的实际应用1 1数列应用题常见模型数列应用题常见模型(1)等差模型等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，这个增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型等比模型：如果后一个量与前一个量的比值是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个比值就是公比(3)递推数列模型递推数列模型：如

47、果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn1(或者相邻三项等)之间的递推关系考点四 数列的综合应用1352 2解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤(1)审题审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么(3)求解求解求出该问题的解(4)还原还原将所求结果还原到原实际问题中解等差数列、等比数列应用题时，第一步审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清隐藏在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关

48、系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列的知识求解考点四 数列的综合应用136例15 江苏盐城2018期中2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游与菊花产业项目规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元(含旅游净收入与菊花产业净收入)，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(nN*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利(1)试求f(n)的表达式(2)根据预测，该项目将从

49、哪一年开始并持续赢利？请说明理由参考数据：5，ln 20.7，ln 31.1.考点四 数列的综合应用137考点四 数列的综合应用138考法例析成就能力考法1 数列的求和例1 课标全国201517Sn为数列an的前n项和已知an0，an22an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn ，,求数列bn的前n项和考点四 数列的综合应用139【解】(1)由an22an4Sn3，知an122an14Sn13.两式相减，得an12an22(an1an)4an1，即2(an1an)an12an2(an1an)(an1an)因为an0，所以an1an2.又因为a122a14a13，解得a11(舍去)或a

50、13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.考点四 数列的综合应用140(2)由an2n1可知考点四 数列的综合应用141例2 天津201718已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)【解】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a