第11章线性离散控制系统数学描述与分析课件.ppt
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- 11 线性 离散 控制系统 数学 描述 分析 课件
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1、第11章 线性离散控制系统数学描述与分析 吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶连续与离散控制系统连续与离散控制系统主要内容主要内容 脉冲传递函数脉冲传递函数 离散状态空间描述离散状态空间描述 连续系统状态方程的离散化连续系统状态方程的离散化 线性定常离散系统的稳定性分析线性定常离散系统的稳定性分析 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析11.1脉冲传递函数脉冲传递函数11.1.1求脉冲传递函数求脉冲传递函数离散系统脉冲传递函数的定义为离散系统脉冲传递函数的定义为:当当初始条件初始条件为零时为零时,系统的输出的,系统的输出的Z变换与输入的变换与输入的Z变换变换之比叫脉冲传递函数之
2、比叫脉冲传递函数(也叫也叫Z传递函数传递函数)。脉冲传递函数仅取决于系统本身的特性,与脉冲传递函数仅取决于系统本身的特性,与输入序列无关。输入序列无关。(1)由由离散离散系统的系统的差分差分方程,求方程,求脉冲脉冲传递函数传递函数)()1()()()2()1()(1021mkuakuakuankybkybkybkymn求脉冲传递函数(求脉冲传递函数(Z变换法)变换法)对上式两端取对上式两端取Z变换,利用变换,利用Z变换实数平移定变换实数平移定理,并考虑初始条件为零。理,并考虑初始条件为零。)()()()()()()(1102211zUzazUzazUazYzbzYzbzYzbzYmmnn脉冲传
3、递函数写为脉冲传递函数写为:niiimiiinnmmzbzazbzbzbzazaazUzYzG10221111011)()()(例例11.1已知差分方程如下,求脉冲传递函数已知差分方程如下,求脉冲传递函数)1()1(21)(kukyky解:解:11211)()(zzzUzY求脉冲传递函数(其它方法)求脉冲传递函数(其它方法)(2)已知离散系统的单位脉冲响应已知离散系统的单位脉冲响应h(k),脉冲,脉冲传递函数传递函数G(z)=Zh(k)(3)已知连续系统的传递函数已知连续系统的传递函数G(s),求脉冲传求脉冲传递函数,按如下三步进行:递函数,按如下三步进行:g(t)=L-1 G(s)将将g(t
4、)按采样周期按采样周期T离散化,求出离散化,求出g(0),g(1),等的值;等的值;由由Z变换的定义求离散的变换的定义求离散的Z传递函数即传递函数即0()()kkG zg k zG(s)求脉冲传递函数举例求脉冲传递函数举例 例例11.2已知连续系统的传递函数已知连续系统的传递函数 ,求对应的离散系统的脉冲传递函数求对应的离散系统的脉冲传递函数。)2(1)(sssG解:解:22/12/1)2(1)(sssssG)(1()1(21)(1()1(21)(2121121)(22222TTTTTezzezezzzzezzezzzzzG11.1.2开闭环求脉冲传递函数开闭环求脉冲传递函数 1.采样信号的采
5、样信号的拉氏变换拉氏变换02*)()2()()0()()()()()()0()()(kTsTskTsekTxeTxeTxxkTtLkTxTtLTxtLxtxLsX)()()()()()0()()()(0*kTtkTxTtTxtxkTtkTxtxk1ln0*()()kszkTXsx kT z时域采样的拉氏变换就是时域采样的拉氏变换就是Z变换变换采样信号的拉氏变换的周期性采样信号的拉氏变换的周期性若若)()(*sXtxL)()(*sXjksXs则则证明:采样后信号的谱是原信号的谱以采证明:采样后信号的谱是原信号的谱以采样频率为周期延拓并乘以样频率为周期延拓并乘以1/T倍,即倍,即1*()()snX
6、sX sjnT令令n+k=n则有则有11*()()()sssssnnXsjkXsjkjnX sjkjnTT11*()()()*()sssnnXsjkX sjnX sjnXsTT星号的运算星号的运算)()()()()()()(*sXsGsXsGsXsGsY证明:证明:Y(s)=G(s)X*(s)拉氏变换之积可写成卷积拉氏变换之积可写成卷积 000000ddd)(kkttktkTxkTtgkTxtgkTxtgxtgty因为因为z变换可视为星号拉氏变换的缩略表示符,变换可视为星号拉氏变换的缩略表示符,故得证。此式在推导脉冲传递函数和简化离散故得证。此式在推导脉冲传递函数和简化离散时间控制系统框图的过
7、程中非常时间控制系统框图的过程中非常重要重要。000000)()()()(mkkmmkmknnkzXzGzkTxzmTgzkTxmTgzkTxkTnTgtyZzY串联环节的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数1*2()()*()()()()U sG s XsY sG s Us取取U(s)和和Y(s)的采样形式的采样形式*11*22()()()()()()()()()()UsG s XsGs XsYsG s UsGs Us将将Y*(s)写成写成Z变换的形式,则开环脉冲传递函数:变换的形式,则开环脉冲传递函数:)()()()()(21zGzGzXzYzG(1)环节间有采样开关环节间有采样开关串联环节
8、的脉冲传递函数(续串联环节的脉冲传递函数(续1)(2)环节间环节间无无采样开关采样开关12()()()*()Y sG s G s Xs)()()()()()()(*21*21*sXsGsGsXsGsGsY121221()()()()()()Y zZ G s G sGG zG G zX z结论:环节间无采样开关的脉冲传递函数是结论:环节间无采样开关的脉冲传递函数是连续环节的传递函数乘积之后求连续环节的传递函数乘积之后求Z 变换。变换。串联环节的脉冲传递函数(续串联环节的脉冲传递函数(续2)特别强调:特别强调:)()()()()()(21122121sGsGZzGGzGGzGzG例例11.3已知环
9、节已知环节 ,环节,环节 分别分别求出环节间接入采样开关和不接入采样开关求出环节间接入采样开关和不接入采样开关时开环系统的脉冲传递函数。时开环系统的脉冲传递函数。11()G ss21()1G ss解:插解:插/未插采样开关的开环脉冲传递函数未插采样开关的开环脉冲传递函数12()11()()()()11TY zzzG zG z GzZZX zsszze12()11()()()()11TY zzzG zZ G s G sZX zs szze插入零阶保持器的脉冲传递函数插入零阶保持器的脉冲传递函数零阶保持器常与连续对象组合起来构成广义对象零阶保持器常与连续对象组合起来构成广义对象1()()()1()
10、()()()(1)TspTsPppGsGsY zeG zZGsZZeX zsssGszZs证明:证明:sGesGsesGTspTs111其中:其中:ssGsGp1考虑考虑 sGesXTs11因为因为X1(s)为两函数的拉氏变换之积,故改写为两函数的拉氏变换之积,故改写为卷积形式:为卷积形式:零阶保持器的脉冲传递函数证明零阶保持器的脉冲传递函数证明 tgtgtx0101d其中:其中:sGtgTtetg-Ts-11110LL因此:因此:TtggTttxt1011d由由 zGtgZ11可得可得 zGzTtgZ111根据根据G(s)的表达式,可求出的表达式,可求出G(z)为:为:零阶保持器的脉冲传递函
11、数证明续零阶保持器的脉冲传递函数证明续 ssGZzzGzzGzzGTtgZtgZsGesGZzGpTs111111111111上面证明:如果上面证明:如果G(s)含有因子含有因子(1-e-Ts),则求,则求G(s)的的z变换时,可以提取公因子变换时,可以提取公因子1-e-Ts=1-z-1,这样,这样G(z)就等于就等于剩余项剩余项z变换与变换与(1-z-1)的乘积的乘积。求插入零阶保持器后对象的例子求插入零阶保持器后对象的例子例例11.4已知被控对象为已知被控对象为 ,插入零阶,插入零阶保持器保持器 与被控对象组成广义对象,与被控对象组成广义对象,试求开环系统的脉冲传递函数。试求开环系统的脉冲
12、传递函数。1()(1)pGss s01()TseG ss解:解:)()1()()(1ssGZzzXzYP TpezzzzzTzsssZssZssGZ11111111222插入零阶保持器插入零阶保持器的例子(续)的例子(续)TTTTTTezzeTezeTezzzTezzzzzTzzzXzY111111111)(21零阶保持器星号运算举例零阶保持器星号运算举例例例11.5零阶保持器如图所示,证明零阶保持器如图所示,证明Y*(s)=X*(s)证明证明:)(1)()()(sXsesXsGsYTs作带星号拉氏变换作带星号拉氏变换)(1)(sXsesYTs 使用使用z变换的符号变换的符号)()(11)(1
13、)(1zXzXsZzzXseZzYTs 使用带星号拉氏变换符号,即证使用带星号拉氏变换符号,即证环节并联的脉冲传递函数环节并联的脉冲传递函数121212()()()()()()()()Y zZ G sG sZ G sZ G sG zG zR zn个环节的并联,系统的总的脉冲传递函数个环节的并联,系统的总的脉冲传递函数是每个环节的脉冲传递函数之和。是每个环节的脉冲传递函数之和。反馈连接的闭环脉冲传递函数反馈连接的闭环脉冲传递函数(1)前向通道设有采样开关前向通道设有采样开关*()()()()()()()()()1()()1()()()()()()Y sEs G sR s G sG z R zY
14、sY zG sH sGH zE sR sEs G s H s由输出端和误差节点列写方程:由输出端和误差节点列写方程:在误差节点列写方程:在误差节点列写方程:)(11)(11)()()()(*11)(*)(*zGHzHGzRzEsHsGsRsE闭环脉冲传递函数(续闭环脉冲传递函数(续1)(2)在反馈回路设有采样开关在反馈回路设有采样开关*()()()()()()()()Y sEs G sE sR sEs Gs H s*()()()()()()()()YsEs G sEsR sEs G s H s()()()1()()Y zG zR zG z H z)(*)(*1)(*)(*)(*sHsGsGsR
15、sY闭环脉冲传递函数(续闭环脉冲传递函数(续2)(3)前向通道前向通道(误差处误差处)不设采样开关不设采样开关*()()()()()()()()Y sE s G sE sR sE s G sH s()()()1()1()GR zRG zY zHG zGH zR(s)不能从不能从G(s)R*(s)中独立出来,误差通道不设中独立出来,误差通道不设采样开关,则只存在输出的采样开关,则只存在输出的Z变换表达,而不存变换表达,而不存在脉冲传递函数。在脉冲传递函数。这是与连续系统的重要区别这是与连续系统的重要区别。)(*)(1)()(*)()(*)(*sGsHsRsGsEsGsY求脉冲传递函数总结求脉冲传
16、递函数总结1.采样开关的位置与脉冲传递函数关系密切,特别采样开关的位置与脉冲传递函数关系密切,特别是当在误差通道不设采样开关时,系统的脉冲传是当在误差通道不设采样开关时,系统的脉冲传递函数不存在,只有输出的递函数不存在,只有输出的Z变换表达式。变换表达式。2.对对G*(s)H*(s)和和G*(s)H(s)取取Z变换,结果分别变换,结果分别为为G(z)H(z)和和HG(z)或或GH(z),对,对G*(s)H(s)或或G(s)H*(s)取取Z变换,就是对变换,就是对G(s)H(s)*取取Z变换。变换。3.可以根据离散系统的梅森公式直接列写离散系统可以根据离散系统的梅森公式直接列写离散系统输出的输出
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