第五节圆锥曲线的综合问题课件.pptx

1、第五节第五节圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题1.定点、定值问题2.最值问题3.范围问题教教材材研研读读考点一 定点与定值问题考点二 最值与取值范围问题考考点点突突破破考点三 圆锥曲线中的探索性问题1.定点、定值问题定点、定值问题方法有两种:一是研究一般情况,通过逻辑推理或计算得到定点或定值,这种方法难度较大、运算量较大,且有时思路不太明显;二是先利用特殊情况确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.教材研读2.最值问题最值问题圆锥曲线中的最值问题是高中数学的重要内容,试题把代数、三角和几何等有机结合起来,从而使问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有:(1)利用定

2、义求解;(2)构造基本不等式求解;(3)利用数形结合求解;(4)构造函数求解.3.范围问题范围问题求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数,然后去分析、研究问题,转化问题和解决问题.对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线段的长度与a,b,c,e之间构成函数关系,处理这类问题时常常用到函数思想.1.(2019南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2-=1(b0)的两条渐近线与圆O:x2+y2=2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为 .22yb答案答案 7解析解析 双曲线C:

3、x2-=1(b0)的一条渐近线y=bx与圆O:x2+y2=2的交点坐标为和-,-,则22=b,解得b2=7,又b0,则b=.22yb22222,11bbb221b2221bb221b2221bb72.(2018南京期末)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-y2=1的渐近线与抛物线x2=4y的准线交于A,B两点,则三角形OAB的面积为 .23x3答案答案3 33.(教材习题改编)设点P(x,y)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则|PF1|PF2|的取值范围是 .22xa22yb答案答案b2,a2解析解析|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=+a2,a-c|

4、PF1|a+c,所以当|PF1|=a时,|PF1|PF2|有最大值a2,当|PF1|=a-c或|PF1|=a+c时,|PF1|PF2|有最小值b2,故|PF1|PF2|的取值范围是b2,a2.21(|)PFa4.(教材习题改编)若直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B,O为坐标原点,则AOB=.答案答案90解析解析由得y2=2(y+2),即y2-2y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,所以=x1x2+y1y2=+y1y2=4-4=0,则,即AOB=90.22,2yxyxOAOB14212()y yOAOB5.(2017无锡普通高中高三调研)已知双曲线C:-

5、=1(a0,b0)与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左,右焦点,P为右支上任意一点,则的最小值为 .22xa22yb216x212y212|PFPF答案答案8解析解析椭圆+=1的焦点为(2,0),离心率为,则a2+b2=c2=4,c=2,则=2,a=1,b=,又点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2,且|PF2|c-a=1,所以=|PF2|+42+4=8,当且仅当|PF2|=,即|PF2|=2时取等号,此时|PF2|1,符合题意,故的最小值为8.216x212y12ca2a3212|PFPF222|2|PFPF24|PF224|PFPF24|PF

6、212|PFPF考点一考点一 定点与定值问题定点与定值问题角度一定点问题角度一定点问题典例典例1 (2019江苏南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)过点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A、B两点,过A、B点作椭圆右准线22xa22yb53,222 55考点突破的垂线,垂足分别为A1、B1.问直线AB1与A1B的交点是不是定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.解析解析(1)由题意得所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)当直线AB的斜率不存在时,准线l:x=,AB1与A1B的交点是;当直线AB的斜率存在时,设A

7、(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-2),k0.22222,531,442 55abcabca5,1,2,abc25x529,04由消去y后整理得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,于是有又A1,B1,所以直线:y=+y2,22(2),55yk xxy2122212220,15205,15kxxkkx xk15,2y25,2y1ABl21152yyx52x直线:y=+y1,由得,x=.代入得,y=+y2=0.1A Bl21252yyx52x12122545x xxx22222052515420515kkkk2245(1)20(1)kk94211()104

8、k xxx212 119()420410k xxkx xkx222212020594201515410kkkkkkkx综上,直线AB1与A1B过定点.9,04角度二定值问题角度二定值问题典例典例2 (2017江苏苏州高三调研)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2),若直线PQ平分APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.22xa22yb32解析解析(1)因为椭圆C的离心率为=,所以=,即a2=4b2,所以椭圆C的方程可化为x2+4

9、y2=4b2.又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,则a2=8,所以所求椭圆C的标准方程为+=1.(2)由题意知直线PA的斜率存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2),由 ca32222aba3428x22y2248,(2)1,xyyk x消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0,所以2x1=,即x1=.因为直线PQ平分APB,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数.由题意知直线PB的斜率存在且不为0,设直线PB的方程为y+1=-k(x-2),同理求得x2=.又所以y1-y2=k(x1+x2)-4k,即y1-y2=k(x1+x

10、2)-4k=k-4k=-,x1-x2=.221616414kkk2288214kkk2288214kkk11221(2),1(2),yk xyk x 2216414kk2814kk21614kk所以直线AB的斜率为kAB=-,即直线AB的斜率为定值.1212yyxx228141614kkkk12方法技巧方法技巧(1)证明曲线过定点问题,可从两个角度加以研究,一是将所要研究的曲线表示为某个变量的形式,将它整理为该变量的函数,所谓曲线过定点,即曲线与该变量无关,从而利用系数及常数项为0得到一个方程组,求出定点的坐标;二是从特殊到一般的方法,即通过特殊情况或曲线的对称性,先确定定点的坐标,再证明它对

11、于一般的情况也成立.(2)求定值问题常见的两种方法从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.1-1 (2018江苏南京多校高三段考)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且过点A(0,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P.22xa22yb3230,5解析解析(1)由题意知,e=,b=1,所以a2-c2=1,解得a=2,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)证明:由题意可知直线AM,AN的斜率均存在且均不为0,设直线AM的方程为y=kx+1,由得(4k2

12、+1)x2+8kx=0,解得x1=-,x2=0,所以xM=-,yM=.ca3224x221,1,4ykxxy2841kk 2841kk 221441kk同理可得xN=,yN=,则kMP=,kNP=,因为kMP=kNP,所以直线MN恒过定点P.284kk 2244kk222143415841kkkk288558kk215kk222434584kkkk288558kk215kk30,51-2 (2019徐州铜山高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B分别是椭圆+=1(ab0)的上,下顶点,点M为线段AO的中点,AB=a.(1)求椭圆的方程;(2)设N(t,2)(t0),直线NA,NB分别交椭

13、圆于点P,Q,直线NA,NB,PQ的斜率分别为k1,k2,k3.求证:P,M,Q三点共线;求证:k1k3+k2k3-k1k2为定值.22xa22yb10,22解析解析(1)由题意知,2b=4=a,解得a=,b=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:由N(t,2)(t0),A(0,1),B(0,-1),得直线NA的方程为y=x+1,直线NB的方程为y=x-1.由得或故P.12b2222x1t3t2211,22,yxtxy2224,222txttyt 0,1,xy22242,22tttt由得或故Q.所以直线PM的斜率kPM=,直线QM的斜率kQM=,2231,22,yxtxy22212,18

14、1818txttyt0,1,xy 2221218,1818tttt222212242tttt268tt2221811821218tttt268tt因为kPM=kQM,所以P,M,Q三点共线.由知,k1=,k2=,k3=,所以k1k3+k2k3-k1k2=-=-,所以k1k3+k2k3-k1k2为定值.1t3t268tt4t268tt23t12典例典例3 (2018江苏宿迁高三期末)已知椭圆+=1,动直线l与椭圆交于B,C两点(点B位于第一象限).(1)若点B的坐标为,求OBC面积的最大值;(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,求当OBC面积最大时,直线l的方程.24x

15、23y31,2考点二考点二 最值与取值范围问题最值与取值范围问题角度一求最值角度一求最值解析解析(1)由已知得,直线OB的方程为y=x,即3x-2y=0.设过点C且平行于OB的直线l的方程为y=x+b.易知当直线l与椭圆只有一个公共点时,OBC面积最大.3232由消去y并整理得3x2+3bx+b2-3=0,221,4332xyyxb则=9b2-12(b2-3),令=0,解得b=2,易知直线l与直线OB之间的距离为,故OBC面积的最大值为=.(2)显然,直线l与y轴不垂直,故设直线l的方程为x=my+n.34 313129144 3133由消去x并整理得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12

16、=0,3y1+y2=0,y1=,=,=,n2=,221,43xyxmyn12221226,34312.34nmyymny ym 2334nmm 21y22434nm22229(34)n mm 22434nm223431mmSOBC=|n|y1-y2|=2|n|y1|=.点B位于第一象限,x1=my1+n=+n0,n0.y10,m0.SOBC=,当且仅当3m=,即m=时取等号,12226|34m nm 26|31mm 22334m nm 2631mm 613mm62 331m33此时n=,所求直线l的方程为x=y+,即y=x-.102331023302典例典例4 (2018江苏南京高三期中)已知

17、椭圆C:+y2=1(a1)的左,右焦点分别为F1,F2,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,椭圆C的离心率为e.(1)若点A的坐标为,求椭圆C的方程;(2)记AF1的中点为M,BF1的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上.证明:为定值;设直线AB的斜率为k,若k,求e的取值范围.22xa12,2e1AF2AF33角度二求取值范围角度二求取值范围解析解析(1)证明:由题意知+=1,即=,224ea14241aa316所以3a4-16a2+16=0,解得a2=4或a2=.所以椭圆C的方程为+y2=1或+y2=1.(2)设F2(c,0),A(x1,y1),则F1(-c,0),B(-x1,-y1)

18、,故M,N.由题意得=0,化简得+=c2,所以=(-c-x1,-y1)(c-x1,-y1)=+-c2=0,为定值.4324x234x11,22xc y11,22cxy OMON21x21y1AF2AF21x21y由题意得到k2(a4-2a2)=1.因为k,所以a4-2a2=(0,3,11221122221122,1,1,ykxxyaxycca3321k即0a4-2a23,解得2b0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r0)与椭圆相交于B、C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求的取值范围;(3)设P是椭圆上异于B、C的任意一点,直线PB、PC与x轴分别交于点M、N

19、,求SPOMSPON的最大值.22xa22yb3ABAC解析解析(1)椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0),且+=1,所以=-=-=-4x0+3=-.因为-2x0b0),圆O:x2+y2=b2,过椭圆C的上顶点A的直线l:y=kx+b(k0)分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q,设=.(1)若点P(-3,0),点Q(-4,-1),求椭圆C的方程;(2)若=3,求椭圆C的离心率e的取值范围.22xa22ybAPPQ解析解析(1)由P在圆O:x2+y2=b2上得b=3.又由点Q在椭圆C上得+=1,解得a2=18,椭圆C的方程是+=1.(2)由得x=0或xP=-

20、.由得x=0或xQ=-.=,=3,=,22(4)a22(1)3218x29y222,ykxbxyb221kbk2222,1ykxbxyab22222kbaa kbAPPQAP34AQ=,即=,22222kbak ab34221kbk2222aa kb34211kk2=4e2-1.k20,4e21,即e或e-,又0e1,eb0)的离心率为,点P在椭圆E上,直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A,B两点.(1)求椭圆E的方程;(2)在x轴上是否存在定点M,使得为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.22xa22yb2221,2MAMB考点三考点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探

21、索性问题解析解析(1)由题意知=,+=1,又a2=b2+c2,解得a=,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)存在.理由如下:直线AB过椭圆的右焦点F(1,0),当直线AB不与x轴重合时,可设直线AB的方程为x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-.ca2221a212b222x222mm212m设M(t,0),若=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(my1+1-t)(my2+1-t)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(1-t)(y1+y2)+(1-t)2=-+(1-t)2=为定值,MAM

22、B2212mm222(1)2mtm2222(241)(2)2tttmm则2t2-4t+1=2(t2-2),解得t=.故存在定点M,使得为定值-,经检验,当直线AB与x轴重合时也成立,所以在x轴上存在一个定点M,使得为定值.545,04MAMB7165,04MAMB方法技巧方法技巧处理探索性问题的常用策略处理探索性问题的常用策略探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都未知,且按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外的途径.3-1

23、(2018江苏泰州中学高三月度检测)已知椭圆C:+=1(ab0)过点(0,),右焦点F到右准线的距离为,若直线l与椭圆C交于两个不同点A,B.(1)求椭圆C的方程;(2)若点M为椭圆C的右顶点,直线l过点N(2,2),设直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是不是定值?并说明理由.22xa22yb26322解析解析(1)由椭圆过点(0,)得b=.又-c=,c=,故a2=b2+c2=8,椭圆C的方程为+=1.(2)k1+k2是定值.理由如下:由题意知直线l的斜率存在且不为0,M(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+

24、2,222ac63628x22y22222与椭圆+=1联立得,(1+4k2)x2+16(k-k2)x+32k2-64k+24=0,由已知得0,x1+x2=,x1x2=,k1+k2=+=+=2k+=2k+=2k+=2k+=-.k1+k2=-,为定值.28x22y22216 2()14kkk2232642414kkk112 2yx 222 2yx 112 22 22 2kxkx222 22 22 2kxkx12 22 2x 22 22 2x 1222122 2()162 2()8xxx xxx22222216 2()2 2161432642416 2()2 281414kkkkkkkkk641632k1212