浙教版九年级数学上册全册教学课件.ppt
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1、1.1.二次函数 问题1、现有一根12m长的绳子,用它围成一个 矩形,如何围法,才使举行的面积最大?小明 同学认为当围成的矩形是正方形时 ,它的面积 最大,他说的有道理吗? 问题2、很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投 篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算 篮球达到最高点时的高度? 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模 型来解决,今天我们学习“二次函数” 情 境 引 入 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量变量 y y 与与 x x 之间的关系:之间的关系: (1)圆的面积圆的面积 y ( &
2、nbsp;)与圆的半径与圆的半径 x ( cm ) 2 cm y =x2 (2)某商店某商店1月份的利润是月份的利润是2万元,万元,2、3月份利润逐月月份利润逐月 增长,这两个月利润的月平均增长率为增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的月份的 利润为利润为y y = 2(1+x)2 (3)拟建中的一个温室的平面图如图拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是如果温室外围是 一个矩形,周长为一个矩形,周长为12Om , 室内通道的尺寸如图室内通道的尺寸如图,设设 一条边长为一条边长为 x (m), 种植面积为种植面积为 y (m2)。 1 1 1 3 x y = (60-x-4)(x-
3、2) 1.y =x2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? ? 经化简后都具有经化简后都具有y=ax +bx+c 的形式的形式. (a,b,c是常数是常数, ) a0 我们把形如我们把形如y=axy=ax +bx+c+bx+c( (其中其中a,b,ca,b,c 是常数,是常数,a0a0) )的函数叫做的函数叫做二次函数二次函数 称:称:a为二次项系数,为二次项系数, b为一次项
4、系数,为一次项系数, c为常数项为常数项, 下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数? 22 2 2 ) 1()4( )1 ()3( 1 )2( ) 1 ( xxy xxy x y xy 是是 不是不是 是是 不是不是 先化简后判断先化简后判断 (5)y=3x-1 不是不是 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项数、常数项 (1) y=-x2+58x-112 ( (2)y=x2 2、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c (1) y=-3x2-x-1 (2)y=x2+x (3)y=5x2-6 请举请举1个符合以下条件的
5、个符合以下条件的y关于关于x的二次函数的二次函数 的例子的例子 (1)二次项系数是一次项系数的)二次项系数是一次项系数的2倍,倍, 常数项为任意值。常数项为任意值。 (2)二次项系数为)二次项系数为-5,一次项系数为,一次项系数为 常数项的常数项的3倍。倍。 展示才智展示才智 例例1、若函数、若函数 为二次函数,为二次函数, 求求m的值。的值。 mm2 2 1)x(my 解:因为该函数为二次函数,解:因为该函数为二次函数, 则则 )2(01 )1(2 2 2 m mm 解(解(1)得
6、:)得:m=2或或-1 解(解(2)得:)得: 11mm且 所以所以m=2 例例2 2:已知二次函数已知二次函数y=x+px+q,y=x+px+q,当当x=1x=1时时, ,函函 数值为数值为4,4,当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为- - 5, 5, 求这个二求这个二 次函数的解析式次函数的解析式. . 2 ,yxpxq 解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得: 14 425 pq pq 12,15.q解得,p 2 1215yxx所求的二次函数是 已知二次函数已知二次函数 4) 1( 2 2 xy 当当x=1时时,函数函数y有最小值为有最小值为4 x取任意
7、实数取任意实数 (1 1)你能说出此函数的最小值吗?)你能说出此函数的最小值吗? (2 2)你能说出这里自变量能取哪些值呢?)你能说出这里自变量能取哪些值呢? 例如:圆的面积例如:圆的面积 y ( )y ( )与圆的半径与圆的半径 x x (cmcm) )的函数关系是的函数关系是 2 cm y =x2 其中自变量其中自变量x能取哪些值呢?能取哪些值呢? 0x 问题问题:是否任何情况下二次函数中的自变量是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢?的取值范围都是任意实数呢? 注意注意: :当二次函当二次函 数表示数表示
8、某个实际问题时某个实际问题时,还必还必 须根据题意确定自变须根据题意确定自变 量的取值范围量的取值范围. 例例3:3: 如图,一张正方形纸板的边长为如图,一张正方形纸板的边长为2cm,2cm,将它将它 剪去剪去4 4个全等的直角三角形个全等的直角三角形 ( (图中阴影部分图中阴影部分 ) ) , 设设AE=BF=CG=DH=x(cm)AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形,四边形 EFGHEFGH的面积为的面积为 y(cmy(cm2 2) ),求,求 : : (l)(l)求求y y关于关于 x x的函数解析式和的函数解析式和
9、自变量自变量x x的取值范围的取值范围 A B E F C G D H X X X X 2X 2X 2X 2X (2)当当x分别为分别为0.25,0.5,1,1.5, 1.75 时时 ,求对应的四边形,求对应的四边形EFGH的的 面积面积y,并列表表示,并列表表示. x 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y 2 请大家分析上表请大家分析上表,分组讨论一下:分组讨论一下: (1)随着随着x的取值的增大的取值的增大,y的值有怎样的变化的值有怎样的变化? x 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y 2 8 25 2 5 2 5 8 25 (2)当当x x
10、为多少时,四边形为多少时,四边形EFGHEFGH的面积最小?的面积最小? 填表填表 满足什么条件时当 ,是常数其中函数 cb,a, )cb,a,c(bxaxy 2 01a)解:( 0, 0)2(ba 0, 0, 0) 3(cba (2)它是一次函数?它是一次函数? (3)它是正比例函数?它是正比例函数? (1)它是二次函数它是二次函数? 这堂课,你学到了哪些新知识?这堂课,你学到了哪些新知识? 驶向胜利 的彼岸 x 2 2、用、用2020米的篱笆围一个矩形的花圃(如图),设连墙的米的篱笆围一个矩形的花圃(如图),设连墙的 一边为一边为x,x,矩形的面积为矩形的面积为y,y,求:求:
11、 (1)(1)写出写出y y关于关于x x的函数关系式和自变的函数关系式和自变 量的取值范围量的取值范围. . (2)(2)当当x=3x=3时时, ,矩形的面积为多少矩形的面积为多少? ? 1 1、已知二次函数、已知二次函数y=axy=ax +bx+3, +bx+3, 当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为3, 3, 当当x= x= - - 2 2时时, , 函数值为函数值为2, 2, 求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试. . 独立独立 作业作业 二次函数二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系的二次项系 数是数是_,常
12、数项是常数项是_. 当当k=_时时,函数函数y=(k-1)xk 2+1+3x 是二次函数是二次函数 说出二次函数说出二次函数y=y=- -x x2 2+8x+8x- -1 1的一次的一次 项系数,二次项系数,常数项项系数,二次项系数,常数项 对于任意实数对于任意实数k,k,下列函数一定是二次函数的是下列函数一定是二次函数的是( )( ) A、y=(k-1)2x2 B、y= (k+1)2x2 C、 y=(k2+1)x2 D、 y=(k2-1)x2 &nb
13、sp;正方形的边长是,若边长增加正方形的边长是,若边长增加x,则面积增加,则面积增加y, 则则y关于关于x的函数关系式是,的函数关系式是, 它是二次函数吗?它是二次函数吗? 已知二次函数已知二次函数y= xy= x2 2+bx+c+bx+c,当,当x=x=时,时,y=y=, 当当x=x=时,时,y=3,y=3,你能求出二次函数的解析式吗?你能求出二次函数的解析式吗? 下列函数中,哪些是二次函数?下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 &
14、nbsp; (4)y=2x2-2x+1 (5)y= (6)y=x2-x(1+x) 回顾知识回顾知识: : 一、正比例函数一、正比例函数y=kx(k 0)其图象是什么)其图象是什么. 二、一次函数二、一次函数y=kx+b(k 0)其图象又是什么)其图象又是什么. 正比例函数正比例函数y=kx(k 0)其图象是一条经过)其图象是一条经过原点原点的的 直线直线. 一次函数一次函数y=kx+b(k 0)其图象也是一条直线)其图象也是一条直线. 反比例函数反比例函数 &
15、nbsp; (k 0)其图象是双曲线)其图象是双曲线. k y x 三、反比例函数三、反比例函数 (k 0)其图象又是什么)其图象又是什么. k y x 二次函数二次函数y=ax + bx+c(a 0) 其图象又是什么呢?其图象又是什么呢?. 二次函数二次函数y=ax2的图像的图像 x y 1 x y 2 x y=x2 y= - x2 . . . . . . 0 -2 -1.5 -1 -0.5 1 1.5 0.5 2 函数图象画法函数图象画法 列表列表 描点描点 连线连线 0 0.25 1 2.25 4 0.25 1 2.25 4 描点法描点法 用光滑
16、曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连
17、结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -0.25 -1 -2.25 -4 注意:列表时自变量注意:列表时自变量 取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。 画出下列函数的图象。画出下列函数的图象。 2 2 2 3 2 ) 3 ( 2) 2( 2 1 ) 1 ( xy xy xy 2 xy 2 xy x y=2x2 . . . . 0 -2 -1.5 -1 -0.5 1 1.5 0.5 2 x y=x2 . . . . 0 -4 -3 -2 -1 2 3 1 4 2 2 1 xy 0 0.5 2 4.5 8 0.5 2 4
18、.5 8 列表参考 0 0.5 2 4.5 8 0.5 2 4.5 8 x . . . . 0 -3 -1.5 -1 1.5 1 -2 2 3 2 2 3 yx 0 2 3 1.5 8 3 -6 2 3 1.5 8 3 -6 2 2 1 xy 2 2xy 2 3 2 xy 二次函数二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。所经过的路线,我们把它叫做抛物线。 2 2xy 2 3 2 xy 2 2 1 xy 2 xy 2 xy 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称,对称,y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 &n
19、bsp; 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称,对称,y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称,对称,y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 2 xy 2 xy 1、观察右图,、
20、观察右图, 并完成填空。并完成填空。 抛物线抛物线 y=x2 y=-x2 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 位置位置 开口方向开口方向 增减性增减性 极值极值 (0,0) (0,0) y轴轴 y轴轴 在在x轴的上方(除顶点外)轴的上方(除顶点外) 在 在x轴的下方(除顶点外)轴的下方(除顶点外) 向上向上 向下向下 当当x=0时,最小值为时,最小值为0。 当当x=0时,最大值为时,最大值为0。 二次函数二次函数y=ax2的性质的性质 、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴 、位置与开口方向、位置与开口方向 、增减性与最值、增减性与最值 2 2、练习、练习2 2 3 3、想一想、想一想
21、 在同一坐标系内,抛物线在同一坐标系内,抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系?的位置有什么关系? 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象,怎样画才简便?的图象,怎样画才简便? 4 4、练习、练习4 4 说明演示说明演示 在同一坐标系内,抛物线在同一坐标系内,抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系?的位置有什么关系? 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象,怎样画才简便?的图象,怎样画才简便? 答:抛物线抛物线答:抛物线抛物线y=x2与抛
22、物线与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对轴对 称,又关于原点对称。只要画出称,又关于原点对称。只要画出y=ax2与与y= -ax2中的中的 一条抛物线,另一条可利用关于一条抛物线,另一条可利用关于x轴对称或关于原点轴对称或关于原点 对称来画。对称来画。 2 xy 2 xy 当当a0时,在对称轴的时,在对称轴的 左侧,左侧,y随着随着x的增大而的增大而 减小。减小。 当当a0时,在对称轴的时,在对称轴的 右侧,右侧,y随着随着x的增大而的增大而 增大。增大。 &nb
23、sp; 当当a0,试比较试比较y1与与y2的大小的大小. 1.二次函数二次函数y=ax2(a0)的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线. 2.图象关于图象关于y轴对称轴对称,顶点是坐标原点顶点是坐标原点. 3.当当a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是抛物顶点是抛物 线上的最低点线上的最低点;当当a 0 有有一个一个交点交点 b b2 2- -4ac = 04ac = 0 没有没有交点交点 b b2 2- -4ac CB则下列等式则下列等式 成立的是成立的是( ) (A) AB2=ACCB &
24、nbsp; (B) CB2=ACAB (C) AC2=CBAB (D) AC2=ABBC 例题分析例题分析 例例4.如图如图,点点P是线段是线段AB的黄金分割点的黄金分割点,且且APBP (1)请写出黄金分割的比例式,并指出比例中项)请写出黄金分割的比例式,并指出比例中项 个有效数字)个有效数字)的值(结果保留的值(结果保留)求)求(22 PB AP (3)若)若AB=2,求,求PB A B P D 1.经过经过点点B作作BDAB,使使 2.连接连接AD,在在AD上截取上截取DE=DB. 3.在在AB上截取上截取AC=AE. 你
25、能验证这个结论吗你能验证这个结论吗?相信你完成下列相信你完成下列 两个小题后就会有答案两个小题后就会有答案. 三、动手画一画三、动手画一画 找黄金分割点找黄金分割点 已知线段已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点用直尺和圆规作出它的黄金分割点 作法作法: 2请计算请计算 1如果设如果设AB=1,那那BD,AD,AC,BC分别分别 等于多少等于多少? 点点C就是所求线段就是所求线段AB的黄金分割点的黄金分割点 A E BC D 黄金分割的深远意义黄金分割的深远意义 历史上,人们视黄金分割为“最美丽”的历史上,人们视黄金分割为“最美丽”的 几何比率,广泛应用于建筑和雕刻中,如
26、几何比率,广泛应用于建筑和雕刻中,如 古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上 海东方明珠塔等,一些长方形的画框,宽海东方明珠塔等,一些长方形的画框,宽 与长之比也设计成与长之比也设计成0.618,在自然界中也有,在自然界中也有 很多例子,美丽的蝴蝶身长与双翅展开后很多例子,美丽的蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比约为的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与许多美丽的形状都与 0.618这个比值有关。这个比值有关。 古希腊的一些神庙,在建筑时高和宽也是按古希腊的一些神庙,在建筑时高和宽也是按 黄金比黄金比0.618来建立,他们认为这样的长方形来建立,他们认为这
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