经济应用数学基础数列极限课件.pptx

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术、割圆术用圆内接正多边形推算圆面积用圆内接正多边形推算圆面积刘徽刘徽一、概念的引入首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 2.2.截杖问题：截杖问题：我国古代战国时期著名哲学家庄子在我国古代战国时期著名哲学家庄子在庄子天

2、下篇庄子天下篇中记载了梁国宰相惠施的一段话：中记载了梁国宰相惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 ;211 X第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;43212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2112121212nnnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第;87212121323 X为为第第三三天天截截下下的的杖杖长长总总和和首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 01211x2x3x43x.1211,就无限的接近于就无限的接近于无限增大时无限增大时当当nnxn ).n(0

3、1x1xnn ，越越来来越越小小，或或即即.nn 越来越大，越来越大，的距离越来越小，的距离越来越小，与与1nX无限增大无限增大无限接近无限接近首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称数列，记为简称数列，记为nx 其中的每个数称为数列的其中的每个数称为数列的项项,称为称为通项通项(一般项一般项).首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 ;,1,1,1)1(1 n;,)1(,32,23,0nnn )1(nnn ,333,33,3 例如例

4、如;,21,81,41,21n21n;999.0 ,99.0 ,9.010110nn 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 nnnxnnn)1(1)1(101 x223x 323 x首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,

5、如何确定如何确定?nxn.1)1(1,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件

6、否则称此数列是发散的否则称此数列是发散的.定义定义，不不论论它它怎怎么么小小如如果果对对任任意意给给定定的的正正数数)(,N总总存存在在正正整整数数,nxNn时时的的一一切切使使得得对对于于 是是数数列列那那么么就就称称常常数数 A都都成成立立，不不等等式式 Axn,的的极极限限nx,Axn收收敛敛于于常常数数或或称称数数列列记记为为,limAxnn ).(nAxn或或首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 注：注：Axnnlim:定义定义N ;.1的的无无限限接接近近程程度度与与刻刻划划了了AxAxnn （可可大大不不可可小小）不不唯唯一一有有关关，与与.)(.2 NN ,.,0)(

7、,0时时NntsNN .Axn恒有恒有首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 ).,(,.,0,0 AUxNntsNn 恒有恒有Axnn lim几何意义几何意义A A A x1x 2x 3xNx 1Nx 2Nx )(Nnxn首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例例1.1)1(lim nnnn证明证明证证1 nx1)1(nnnn1,0 ,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(nnn就有就有.1)1(lim nnnn即即首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cx

8、n CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例例3.1,0lim qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 首页上一页

9、下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证,0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例 5 利用定义证明212limnnn 证 因为对于任意给定的 0 存在|212|nn 恒成立 所以 证 证 因为对于任意给定的 0 存在1N 当 nN 时 1N 当 nN 时 成立 所以212limnnn 分析 对于任意给定的 0 要使|212|2|nnyn 只要1n就可以了 故可取就可以了 故可取1N