线性规划及单纯形法(同名32)课件.ppt
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- 线性规划 单纯 同名 32 课件
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1、11 线性规划问题及其数学模型e.g.1 资源的合理利用问题资源的合理利用问题问:如何安排生产计划,问:如何安排生产计划,使工厂获总利润最大?使工厂获总利润最大?表 1 产品 资源 甲 乙 库存量 A 1 3 60 B 1 1 40 单件利润 15 25 某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品,某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品,要消耗要消耗A、B两种资源,已知每件产品对这两种资源的两种资源,已知每件产品对这两种资源的消耗,这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利消耗,这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利润如表润如表 1 1。2第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法
2、max z=15x1+25x2s.t.x1+3x2 60 x1+x2 40 x1,x2 0 解:设设 x1,x2 为下一个生为下一个生产周期产品甲和乙的产量产周期产品甲和乙的产量;约束条件约束条件:Subject tox1+3x2 60 x1+x2 40 x1,x2 0目标函数目标函数:z=15 x1+25 x2 表 1 产品 资源 甲 乙 库存量 A 1 3 60 B 1 1 40 单件利润 15 25决策变量决策变量31 线性规划问题及其数学模型e.g.2 营养问题营养问题 假定在市场上可买到假定在市场上可买到 B1,B2,Bn n 种食品,第种食品,第 i 种种食品的单价是食品的单价是
3、ci,另外有另外有 m 种营养种营养 A1,A2,Am。设。设 Bj内含有内含有 Ai 种营养数量为种营养数量为 aij(i=1m,j=1n),又知人们每,又知人们每天对天对 Ai 营养的最少营养的最少需要量为需要量为 bi。见表。见表2:表 2 食品 最少 营养 B1 B2 Bn 需要量 A1 a11 a12 a1n b1 A2 a21 a22 a2n b2 Am am1 am2 amn bm 单 价 c1 c2 cn 试在满足营养要试在满足营养要求的前提下,确定食求的前提下,确定食品的购买量,使食品品的购买量,使食品的总价格最低。的总价格最低。4第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单
4、纯形法 表 2 食品 最少 营养 B1 B2 Bn 需要量 A1 a11 a12 a1n b1 A2 a21 a22 a2n b2 Am am1 am2 amn bm 单 价 c1 c2 cn 解解:设设 xj 为购买食为购买食品品 Bj 的数量的数量(j=1,2,n)(i=1,2,m)xj0(j=1,2,n)0 0 xj lj1m innjjjzc x1.nijjijs ta xb51 线性规划问题及其数学模型三个基本要素三个基本要素:Note:1、善于抓住关键因素,忽略对系统影响不大的因素;善于抓住关键因素,忽略对系统影响不大的因素;2、可以把一个大系统合理地分解成可以把一个大系统合理地分
5、解成 n 个子系统处理。个子系统处理。1、决策变量决策变量 xj0 2、约束条件约束条件 一组决策变量的线性等式或不等式一组决策变量的线性等式或不等式3、目标函数目标函数 决策变量的线性函数决策变量的线性函数6第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法 max(min)z=c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn(或=,)b1 a21x1+a22x2+a2nxn(或=,)b2 am1x1+am2x2+amnxn(或=,)bm xj 0(j=1,2,n)其中aij、bi、cj(i=1,2,m;j=1,2,n)为已知常数 线性规划问题的一般形式:线性规划问题的
6、一般形式:71 线性规划问题及其数学模型线性规划问题的标准形式:max z=c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+a2nxn =b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm xj 0(j=1,2,n)bi 0(i=1,2,m)特点:特点:1 1、目标函数为极、目标函数为极大化;大化;2 2、除决策变量的、除决策变量的非负约束外,所有非负约束外,所有的约束条件都是等的约束条件都是等式,且右端常数均式,且右端常数均为非负;为非负;3 3、所有决策变量、所有决策变量均非负均非负。8第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法如
7、何转化为标准形式?如何转化为标准形式?1、目标函数为求极小值,即为目标函数为求极小值,即为:。njjjxcz1minnjjjxcz1max 因为求因为求 min z 等价于求等价于求 max(-z),令令 z=-z,即化为即化为:2、约束条件为不等式,njinjijbxxa11njijijbxa1njijijbxa1xn+1 0松弛变量如何处理?如何处理?91 线性规划问题及其数学模型、右端项右端项b bi i 0 0时,只需将等式两端同乘(时,只需将等式两端同乘(-1-1)则右端项必大于零则右端项必大于零 4 4、决策变量无非负约束、决策变量无非负约束 设设 xj 没有非负约束,若没有非负约
8、束,若 xj 0 0,可令,可令 xj=-=-xj ,则则 xj 0 0;又若又若 xj 为自由变量,即为自由变量,即 xj 可为任意实数,可为任意实数,可令可令 xj=xj-xj,且,且 xj,xj 0010第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法e.g.3试将试将 LP 问题问题min z=-x1+2x2-3x3 s.t.x1+x2+x3 7 x1-x2+x3 2 -3x1+x2+2x3=-5 x1,x2 0 化为标准形式。化为标准形式。解解:令令 x3=x4-x5 其中其中x4、x5 00;对第一个约束条件加上松弛变量对第一个约束条件加上松弛变量 x6;对第二个约束条件减去松弛
9、变量对第二个约束条件减去松弛变量 x7;对第三个约束条件两边乘以对第三个约束条件两边乘以“-1”;令令 z=-z 把求把求 min z 改为求改为求 max zmax z=x1-2x2+3x4-3x5 s.t.x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x70 111 线性规划问题及其数学模型LP的几种表示形式:),2,1(0),2,1(.max11njxmibxatsxczjinjjijnjjj12,ncc cc价值向量m ax(1).(2)0(3)zcxs tAxbx1m ax.0njjjzcxs tp
10、 xbx决策向量Tnxxxx,21右端向量0,21iTmbbbbb列向量的第为jAaaapTmjjjj,21系数矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211122 线性规划问题的图解法定义定义1 在在LP LP 问题中,凡满足约束条件问题中,凡满足约束条件(2)(2)、(3)(3)的的 解解 x=(x1,x2,xn)T 称为称为LP 问题的可行解,问题的可行解,所有可行解的集合称为可行解集(或可行域)。所有可行解的集合称为可行解集(或可行域)。记作记作 D=x|Ax=b,x0。定义定义2 设设LP问题的可行域为问题的可行域为D D,若存在,若存在x x*D D,使得,使得 对任
11、意的对任意的xD 都有都有c x*c x,则称,则称x x*为为LP LP 问题问题 的最优解,相应的目标函数值称为最优值,的最优解,相应的目标函数值称为最优值,记作记作 z*=c x*。m ax(1).(2)0(3)zcxs tAxbx132 线性规划问题的图解法max z=15x1+25x2s.t.x1+3x2 60 x1+x2 40 x1,x2 0(40,0)(0,0)BC(30,10)12360 xx1240 xxO(0,20)AL1L2Z=250目标函数变形:目标函数变形:x2=-3/5 x1+z/25x2x1最优解最优解:x1=30 x2=10最优值最优值:zmax=700B B点
12、是使点是使z z达到最达到最大的唯一可行点大的唯一可行点14第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法LPLP问题图解法的基本步骤问题图解法的基本步骤:1、在平面上建立直角坐标系;在平面上建立直角坐标系;2、图示约束条件,确定可行域和顶点坐标;图示约束条件,确定可行域和顶点坐标;3、图示目标函数(等值线)和移动方向;图示目标函数(等值线)和移动方向;4、寻找最优解。寻找最优解。152 线性规划问题的图解法max z=3x1+5.7x2 s.t.x1+1.9x2 3.8 x1 -1.9x2 3.8 x1+1.9x2 11.4 x1 -1.9x2 -3.8 x1,x2 0 x1x2ox1-
13、1.9 x2=3.8 x1+1.9 x2=3.8x1+1.9 x2=11.4(7.6,2)D0=3 x1+5.7 x2 max Z min Z(3.8,4)34.2=3 x1+5.7 x2 可行域可行域x1-1.9 x2=-3.8(0,2)(3.8,0)绿色线段上的所有点绿色线段上的所有点都是最优解都是最优解,即有无穷多即有无穷多最优解。最优解。Zman=34.216第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法max z=2x1+2x2 s.t.2x1 x2 2 -x1+4x2 4 x1,x2 01222xx1244xxOA(,0)x1x2Note:可行域为无界区域,可行域为无界区域,目
14、标函数值可无限目标函数值可无限增大,即解无界。增大,即解无界。称为无最优解称为无最优解。可行域为无界可行域为无界区域一定无最区域一定无最优解吗?优解吗?172 线性规划问题的图解法由以上两例分析可得如下重要结论:由以上两例分析可得如下重要结论:1、LP 问题从解的角度可分为:问题从解的角度可分为:有可行解有可行解 无可行解无可行解a.有唯一最优解有唯一最优解b.有无穷多最优解有无穷多最优解c.无最优解无最优解2、LP 问题若有最优解,必在可行域的某个顶点上取问题若有最优解,必在可行域的某个顶点上取 到;若有两个顶点上同时取到,则这两点的连线上到;若有两个顶点上同时取到,则这两点的连线上 任一点
15、都是最优解。任一点都是最优解。182 线性规划问题的图解法图解法优点:图解法优点:直观、易掌握。有助于了解解的结构。直观、易掌握。有助于了解解的结构。图解法缺点:图解法缺点:只能解决低维问题,对高维无能为力。只能解决低维问题,对高维无能为力。193 线性规划问题解的基本性质讨论如下 LP 问题:m ax(1).20(3)zc xs tAxbx12,ncc cc价值向量12,Tnxx xx12,0Tmibb bbb 右 端 向 量111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa其中系数矩阵决策向量 假设假设 A 的秩为的秩为 m,且只讨论且只讨论 m 0,x20,xk 0,分两种情况讨论
16、:(1)如果 p1,p2,pk 线性无关,即 x 的非零分量对应的列向量线性无关,则由定理1知,它是LP 的一个基本可行解,定理成立。(2)如果p1,p2,pk线性相关,则必存在一组不全为零的数 1,2,k 使得10(5)kjjjp26第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法假定有i0,=min0(6)iiix(2)xx(1)xx12(,0,0)Tk 0(1,2,.,)(7)jjxjn(1)(2)0,0,xx111()nnnjjjjjjjjjjxpx ppb(1)(2),AxbAxb(1)(2),xx取作其中由(6)式知,必有即又因为由(5)式知故有,即也是LP的两个可行解。273
17、线性规划问题解的基本性质 再由 的取法知,在式(7)的诸式中,至少有一个等于零,于是所作的可行解 中,它的非零分量的个数至少比 x 的减少1,如果这些非零分量所对应的列向量线性无关,则 为基可行解,定理成立。否则,可以从 出发,重复上述步骤,再构造一个新的可行解 ,使它的非零分量的个数继续减少。这样经过有限次重复之后,必可找到一个可行解使它的非零分量对应的列向量线性无关,故可行解必为基可行解。证毕。(1)(2)xx或(1)(2)xx或(1)(2)xx或(3)(4)xx或()(1)ssxx或()(1)ssxx或返回0(1,2,.,)(7)jjxjn283 线性规划问题解的基本性质定理定理 3 3
18、 证明证明设*12(,)nxx xx是 LP 的一个最优解。如果 x*是基本解,则定理成立;如果 x*不是基本解,则由定理2的证明过程可构造两个可行解(1)*(2)*xxxx它的非零分量的个数比 x*的减少,且有 ,(1)*(2)*,(8)cxcxccxcxc 又因为 x*是最优解,故有*(1)*(2),(9)cxcxcxcx由式(8)和(9)知,必有(1)(2)*0,ccxcxcx 故 即x(1),x(2)仍为最优解。如果 x(1)或 x(2)是基可行解,则定理成立。否则,按定理2证明过程,可得基可行解 x(s)或x(s+1),使得()*(1)*sscxcxcxcx 或即得基可行解 x(s)
19、或x(s+1)为最优解。返回29第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法LP 问题解的几何意义定义定义 5 5 设集合设集合 是是 n n 维欧氏空间中的一个点维欧氏空间中的一个点集,如果集,如果 及实数及实数 (1)(2)(1)xxSnSR(1)(2)xxS、0,1都有则称则称 S 是一个凸集。是一个凸集。几何意义:如果集合中任意两点连线上的一切点都在几何意义:如果集合中任意两点连线上的一切点都在 该集合中,则称该集合为凸集。该集合中,则称该集合为凸集。Note:空集和单点集也是凸集。空集和单点集也是凸集。303 线性规划问题解的基本性质定义定义 6 6 设 则称()1,0,1,2
20、,1kiniiixRik且,(1)(2)()12kkxxxx为点 的一个凸组合。(1)(2)()kxxx,定义定义 7 7 设凸集 两点 表示为 则称 x 为 S 的一个极点(或顶点)。,nSR xSxS如果 不能用 中不同的(1)(2)xx,(1)(2)(1)(01)xxx定理定理 4 LP 问题的可行解集,0DxAxb x是凸集。31第二章第二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法定理定理 5 5 设设 D 为为 LP 问题的可行解集,问题的可行解集,则,则 x 是是 D的极点的充分必要条件是的极点的充分必要条件是 x 为为 LP 问题的基可行解。问题的基可行解。xDprove推论推论
21、1 1 如果如果 LP 问题的可行解集非空,则极点集合也问题的可行解集非空,则极点集合也一定非空,且极点的个数是有限的一定非空,且极点的个数是有限的。推论推论 2 2 如果如果 LP 问题有最优解,则一定可在可行解集问题有最优解,则一定可在可行解集 D 的极点上达到。的极点上达到。定理定理 6 6 设设 LP 问题在多个极点问题在多个极点 x(1),x(2),x(k)处取到最优处取到最优解,则它们的凸组合,即解,则它们的凸组合,即*()110,1kkiiiiiixx也是也是 LP 问题的最优解问题的最优解.(此时,该(此时,该LPLP 问题有无穷多最优解)问题有无穷多最优解)323 线性规划问
22、题解的基本性质Note:1、如何判断如何判断 LP 问题有最优解;问题有最优解;2、计算复杂性问题。计算复杂性问题。设有一个设有一个5050个变量、个变量、2020个约束等式的个约束等式的 LP LP 问题,则问题,则 最多可能有最多可能有 个基。个基。20135050!4.7 1020!30!C即约即约150150万年万年 如果计算一个基可行解只需要如果计算一个基可行解只需要 1 秒,那么计算所有秒,那么计算所有 的基可行解需要:的基可行解需要:1364.7101.510360024365(年)334 单纯形法的基本原理 单纯形法单纯形法(Simplex Method)是是19471947年
23、由年由 G.B.Dantzig 提出,是解提出,是解 LP 问题最有效的算法之一,问题最有效的算法之一,且已成为整数规划和非线性规划某些算法的基础且已成为整数规划和非线性规划某些算法的基础。基本思路:基本思路:基于基于 LP 问题的标准形式,先设法找到一个基可问题的标准形式,先设法找到一个基可行解,判断它是否是最优解,如果是则停止计算;否行解,判断它是否是最优解,如果是则停止计算;否则,则转换到相邻的目标函数值不减的一个基可行解则,则转换到相邻的目标函数值不减的一个基可行解.(两个基可行解相邻是指它们之间仅有一个基变量不(两个基可行解相邻是指它们之间仅有一个基变量不相同)。相同)。34第二章第
24、二章 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法单纯形法引例单纯形法引例 首先,化原问首先,化原问题为标准形式:题为标准形式:12341310,1101Appppx3,x4 是基变量.34,Bpp是可行基,基变量用非基变量表示:基变量用非基变量表示:x3=60-x1-3x2 x4=40-x1-x2代入目标函数:代入目标函数:z=15 x1+25 x2令非基变量令非基变量 x1=x2=0z=0 基可行解基可行解 x(0)=(0,0,60,40)T是最优解吗?max z=15x1+25x2s.t.x1+3x2 60 x1+x2 40 x1,x2 0 max z=15x1+25x2+0 x3+0 x4 s
25、.t.x1+3x2+x3 =60 x1+x2 +x4=40 x1,x2,x3,x4 0 354 单纯形法的基本原理z=15 x1+25 x2x3=60-x1-3x2 x4=40-x1-x2因为因为x2 的系数大,所以的系数大,所以x2 换入基变量。换入基变量。x3=60-3x2 0 x4=40-x2 0谁换出?谁换出?如果如果 x4 换出,则换出,则x2=40,x3=-60,不可行不可行。如果是如果是“+”+”会怎样?会怎样?如果如果 x3 换出,则换出,则x2=20,x4=20。260 40min,2031x取最小比值法则最小比值法则所以所以 x3 换出。换出。基变量用非基变量表示:基变量用
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