线性系统理论-2b课件.ppt
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- 线性 系统 理论 课件
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1、第二章第二章 线性连续系统的运动分析线性连续系统的运动分析 给定问题给定问题:,)()()()(000 ttttuxtxutBxtAx 时时变变:0)()0(0t tuxxBuAxx 定常:定常:线性系统响应:线性系统响应:自由运动(零输入响应);自由运动(零输入响应);强迫运动(零状态响应)。强迫运动(零状态响应)。tttxtxxtAx ,)()(000 自自由由运运动动:tttxtxutBxtAx ,)()()(000 强强迫迫运运动动:2-1 2-1 线性系统的运动分析线性系统的运动分析 0)()0(0ttuxxBuAxx 给给定定:000),()(tttuxtx 或或响应为响应为:)(
2、0)(0txexttA 通常通常t0=0,即给定:即给定:0)0(0txxAxx 响应为:响应为:AtAteAtxex )exp(*)0(eAt 称为矩阵指数函数。称为矩阵指数函数。自由运动自由运动 考虑考虑 u u(t t)=0.)=0.000)(ttxtxAxx 给给定定:证明证明()式式:设设 0,)(02210 ttbtbtbbtxkkk代入方程代入方程 Axx )(32221012321 kkkktbtbtbbAtkbtbtbb 01030323021201!11!313!2131!2121bAkAbkbbAbAAbbbAAbbAbbkkk 022!1!21kkkAttAktAAtI
3、eeAt 对任何对任何t 都收敛都收敛。收收敛敛较较快快。时时当当 ,1At 矩阵指数矩阵指数eAt的性质的性质)0()(,00 xtxtt 时时又又)0(:0 xb 可可得得 btAktAAtItxkk022)!1!21()(nnAtnnRe RA ,Iee tAt 00)1(AtAtAtee e 1)(,)2(则则其其逆逆阵阵为为非非奇奇异异)()3()(时时当当且且仅仅当当BAABeeeee AtBtBtAttBA 122121)()4(AtAtAtAtttAeeeee AeeAedtdAtAtAt )5()0()(:xetxAt 即即0be At .,)6(011为为非非奇奇异异若若A
4、AIeIeAdetAtAtA 为为非非奇奇异异M MeMtAMM At,)exp()7(11 .,;,11 e eMeMe AAAMMAAttAAtAt的的相相似似交交换换对对的的相相似似交交换换对对 证明:证明:(1)按定义,按定义,IetAt 0 先证明先证明(3)、(4),可套出可套出(2)。)!21)(!31!21()3(223322 tBBtItAtAAtIee BtAt kktCtBABBAAtBABAtBAI33223222)!3!2!2!3()!2!2()(!)!1()!2(!2!2)!2()!1(!12222kBkBAkBAkBAkBAkACkkkkkkk 33221!3)2
5、)(1(!2)1(!1BAkkkBAkkBAkAkkkkk !2)1(122kkkBkABBAkk !3)(!2)()(3322)(tBAtBAtBAIetBA !2)()(222tBBAABAtBAI !3)(3322223tBABBABBAABABABAA BtAtBAABee )!3!2)(!31!21()4(3232222313212121 tAtAAtItAtAAtIeeAtAt )!2!2()(222121221ttttAttAI )!1(!()!3!2!2!3(211132221221313kttktAttttttAkkk )!)!1()!2(!2)!2(222122212221
6、ktkttkttkttkkkk)(21ttAe (2)在性质在性质(4)(4)中中,令,令 t1=t,t2=-t IeeeeAottAAtAt )(AtAtee 1)()!2()5(22 tAAtIdtdedtd At !20232tAtAAAteAtAAtIA )!2(22AeAtAAtI At !222或或 ttAdAAIde 0220)!21()6(322!3!2tAtAIt,0AttAeIdeA ,1存存在在 A110 AIeIeAde AtAttA (7)对于非奇异阵对于非奇异阵M,有有 MAMAMMAMMAMM211121)()(M-1AM)k=M-1AkM 因此,因此,!)(01
7、ktAMMAM)texp(Mkkk-1 !01ktMAMkkk MktAMkkk)!(01 MAtM)exp(1 3.强迫运动强迫运动 0,)()0(0t tuxxBuAxx 给给定定:dBuexetx ttAAt)()0()(:0)(解为解为一般情况一般情况:000,)()(tt tuxtxBuAxx dBuetxetx tttAttA 00)()()()(0)(解解为为:BuAxx 证证:BueAxxeAtAt BuexedtdAtAt ttAAtAtAtAtAtdBueetxeetxee00)()()(0 tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)(ttAAtdBuexet
8、x t0)(0)()0()(;0 ,则则系统(完全)响应系统(完全)响应:)0()(xetxAt 零零输输入入响响应应)0(xeAt零零状状态态响响应应 ttAdBue0)()(ttAttAtodBuetxe )()(0 dBuetxetxettAAtAt 00)()()(02-2 2-2 的计算方法的计算方法 AtennAtnnRe RA ,)()()()()(1111tttttennnnAt 0!kkkAtktA e方法方法1:Laplace 变换法变换法 考虑考虑 Axx 取取Laplace变换变换:)()0()(sxAxsxs )0()()(1xAsIsx )0()()()(111xA
9、sILsxLtx 定义定义 )()(11 AsIL t 比比较较与与 xetx xttxAt)0()()0()()(知知 (t)=eAt (t)=eAt 线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵。因此有因此有:)(11 AsILeAt例例:已知系统矩阵已知系统矩阵 5230A试用拉氏变换法求试用拉氏变换法求eAt.ssss235)3)(2(1 3322322233233223ssssssss)()det(1523)(11AsIadjAsIssAsI 对上式取拉氏反变换即得对上式取拉氏反变换即得:ttttttttAteeeeeeeeAsILe323232321132223323)(方
10、法方法2:无穷级数法无穷级数法 在一些特殊情况下,可利用在一些特殊情况下,可利用eAt的定义来求得解析解的定义来求得解析解。nndiagA ,00)1(2121 若若 tttAtneeediage ,21 则则,A 001010)2(若若 0010100010102A 00010100,tAktAAtIekkAt !1!2122,0000100,1 nA,0 nA,A 00)3(若若 tcostsintsintcos Ate则则,A 0110 因因 100101100110222 A,AA3330110 IA44 !6!4!211001664422 ttteAt 故故)!5!3(0110553
11、3 ttt ,tnttn 10)!1(11则则tt sin0110cos1001 tttt cossinsincos,)4(A tAtetttte cossinsincos则则210000AAA 122100AAAA ttAtAtAAAtetttteeee cossinsincos2121)(根据根据eAt的性质的性质(3)(3),有,有 例例:已知系统矩阵已知系统矩阵 5230A试用无穷级数法求试用无穷级数法求eAt.3265385730!311910156!2152301001ttteAt 3232323266521951319526572153531ttttttttttt方法方法3:特征
12、值与特征向量法特征值与特征向量法(特征值相异)(特征值相异)AMMAA1 相相似似变变换换,21ndiagA 关键:求非奇异变换阵关键:求非奇异变换阵M11 MMeeMAMAtAAt,xMx BuxAMxMBuAxx BuMxAMMx11 uBxA 解解耦耦后后的的状状态态。x :uxx 10051166116110变换为对角线规范型。变换为对角线规范型。例例:试将状态方程试将状态方程 03216116511661161123 AI解:解:.求特征值:求特征值:.求特征向量和变换矩阵求特征向量和变换矩阵M,111eAe 13121113121151166116110eeeeee 1011e=-
13、1对应的对应的e1 961,42132ee同理可得同理可得 941620111321eeeM 123334322531M 132,30002000111bMbAMMAuxx 327120010112112321 ,其特征为:其特征为::相相应应的的一一组组特特征征向向量量为为 110101001321eee,:1 MM和和其其逆逆于于是是,可可得得到到变变换换阵阵态方程为态方程为给定线性定常系统的状给定线性定常系统的状 例例:252,10001000211BMBAMMA角角线线规规范范形形为为也也即即给给定定状状态态方方程程的的对对uxxxxxx 252100010002321321 0101
14、10111,1101000111MM从从而而,可可定定出出v特征向量特征向量 nnijaA )(特征多项式特征多项式:0111)det(asasasAsInnn 特征方程特征方程:0111)det(asasasAsInnn 0)()(21 nsss i(i=1,2,n)是是A的的特征值特征值。当当A为某系统为某系统BuAxx 则则 i 就是该系统的自然频率(振型,模态),满足方程就是该系统的自然频率(振型,模态),满足方程 的系统矩阵时的系统矩阵时,kkkkkeAe eAI 或或0列向量列向量ek称为对应于特征值称为对应于特征值 k的一个特征向量的一个特征向量;kI-A称为称为A的的特征矩阵特
15、征矩阵。定理定理 若若A=(ij)n n有几个相异的特征值有几个相异的特征值 1,1,n,则则 ndiagAMMA ,211 其中其中 M=e1,e2,,en模式矩阵模式矩阵。ek为为 k(1kn)的的特征向量特征向量。证证:),2,1(,21n ke,eeeM kkn 的的特特征征向向量量为为令令 nnneeeAeAeAeAM ,221121 nnnnnnMeee 2121121,AAMMn 211v求求ek的一种方法的一种方法 n ,.,1k eAI kk.2,0 ,由由 nnnnnkppppppAI 2111211 记记)(有有 ppppppppp jnjjnnnnnn021212222
16、111211其中,其中,),2,1(nmjm 的第的第j行第行第m列的代数列的代数余余子式子式)det(AIk jnjjke 21则则上述结论的上述结论的原理原理:i)Tjnjjke ,21和和都是齐次方程都是齐次方程 0 ZAIk 的解的解 因此,因此,jnjjke21与与只差一个系数,即只差一个系数,即 jnjjke21 ii)按按Laplace行列式展开公式行列式展开公式 nlnllkliklilki ki pp11,0,nilkliniklil ki p ki p11,时,为按列展开时,为按列展开时,为按行展开时,为按行展开又,齐次方程又,齐次方程 0 ZAIk 有非零解有非零解0)d
17、et(AIk 因此,总有因此,总有 nlnllkliklilpp110即:(即:(*)式总成立)式总成立 任选。任选。中,中,故在故在 j e jnjjk 21 jm(m=1,n),按第按第j行展开的行展开的n个代数余子式个代数余子式。例例 131111322A0)3)(2)(1(652131111322)det(23 AI特征值:特征值:3,2,1321 特征向量求取:特征向量求取:11 0231101321111 eeAI 任选任选j=1,得:,得:3,3,3131211 1111e 取取 3331e:22 0131131324222 eeAI 得得:任任选选 j ,3 14,1,1133
18、3231 141112e 取取:33 0431121321333 eeAI 选选j=2,得,得:1,1,1232221 1113e 取取 11411111111,321e e eM 123152201025153011M 11411111111131111322123152201025153011AMMA 300020001 1231522010251530111411111111321ttttAAteeeMMeettteee32415415415101141401101111015125325325361 1 MAMA方法方法4:待定系数法待定系数法当用待定系数法求距阵指数当用待定系数法求距
19、阵指数eAt时时,会涉及到以下三个问题会涉及到以下三个问题:(1)凯利凯利哈密哈密(Cayley-hamilton)定理定理 0fnn011n1nn )(方阵,其特征方程为方阵,其特征方程为阵为阵为设设0(f011n1nn)征方程,即征方程,即阵也必满足其自身的特阵也必满足其自身的特那么那么012n2n1n1nn 哈哈密密顿顿定定理理,可可得得根根据据剀剀利利).(.0122111IaAaAaAaAAAAnnNnnn 同理可得同理可得AaAaAaAaAannnnnn02123121 AaAaAaAaIaAaAaAaannnnnnnnn02123120122111)(IaaAaaaAaaaAaa
20、nnnnnnnnn0101123211221)()()(依次类推依次类推 An,An+1,A n+2 都可以用都可以用An-1,An-2,A,I的线的线性组合来表示。性组合来表示。如此可得出如下如此可得出如下结论结论:A的所有等于和大于的所有等于和大于n的高次幂都可以的高次幂都可以用用A的的(n-1)次多项式来表示次多项式来表示。kKkkKAttAktAktAAtIe 022!1!1!21表表达达式式然然可可以以将将矩矩阵阵无无穷穷级级数数根根据据上上述述结结论论,我我们们当当改写成有限项表达式,这是因为当改写成有限项表达式,这是因为当k n时的所有高次幂项都是不时的所有高次幂项都是不独立的,
21、即都可以用独立的,即都可以用An-1,An-2 A,I的线性组合来表示。的线性组合来表示。只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。(2)矩阵指数函数矩阵指数函数eAt 的有限项表达式的有限项表达式 根据以上分析,有根据以上分析,有 iniinnAtAtAtAtAtIte)()()()()(10112210 。有有限限项项表表达达式式的的上上式式称称为为的的函函数数。它它们们都都是是时时间间称称为为待待定定系系数数式式中中tnettttt ,)(,),(),(),(1210 (3)待定系数待定系数 i(t)(i=0,1,n-1)的计算公式的计算公式 个
22、互异特征值的情况阵具有1)n论论。下下面面分分三三种种情情况况加加以以讨讨,的公式为:,的公式为:,)()(则计算待定系数则计算待定系数,时,时,个互异特征值个互异特征值阵具有阵具有当当)110,21 nitnin tttnnnnnnnneeettt 211121222211211110111)()()(证证明明 根据剀利根据剀利哈密顿定理可知哈密顿定理可知,A和和 都是满足自身的都是满足自身的特征方程,这就是说,特征方程,这就是说,A和和 是可以互换的是可以互换的。因此,因此,A的所有特征值的所有特征值 1,2,n,都应满足都应满足eAt的有限项表达的有限项表达式,即有式,即有 tnnnnn
23、tnntnnnetatatataetatatataetatatata 112210121222210111212110)()()()()()()()()()()()(21解此方程组即得证。解此方程组即得证。例例 已知系统矩阵等于已知系统矩阵等于 5230A试用待定系数法求试用待定系数法求eAt。解解 (1)求求A A阵的特征值阵的特征值 0)3)(2(532 AI为两个互异特征值。为两个互异特征值。3,221 :)()()2(10tata和和求求待待定定系系数数 tttteeeetata32112110312111)()(21 tttttteeeeee323232231123(3)求求eAt
24、AtaItaeAt)()(10 5230)(1001)23(3232tttteeee2)A阵具有阵具有n重特征值的情况重特征值的情况 tttttttteeeeeeee3232323232223323此结果与用拉氏变换法计算结果此结果与用拉氏变换法计算结果(幻灯片幻灯片1212、13)13)相同。相同。当当A阵具有阵具有n重特征值重特征值 1时,则计算待定系数时,则计算待定系数)1,1,0()(nitai的公式为的公式为 tntntttnnnnnententetetennnntatatatata11111)!1()!2(!2!11000)1(000!2)2)(1(100!112101)()()(
25、)()(12211312111121112210 证明证明:同上述理由,有同上述理由,有 111212110)()()()(1 nnttatatatae 将上式对将上式对 1求导一次得求导一次得 tnntetantatata1211213121)()1()(3)(2)(将上式再经将上式再经 1求导一次得求导一次得 tnnettanntata12311132)()2)(1()(6)(2 依次类推,可得依次类推,可得 tnnettann111)(1)2)(1(即即 tnnettan111)()!1(这样可列出关于这样可列出关于)1,1,0)(nitai的的n个方程个方程:tnntnntnntnne
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