线性空间定义讲述课件.ppt
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1、第三章第三章 线性空间线性空间3.1 线性空间的定义线性空间的定义 3.2 线性空间基与维数线性空间基与维数 3.3 线性映射与线性变换线性映射与线性变换 3.4 特征向量与矩阵的对角化特征向量与矩阵的对角化3.1 线性空间的定义线性空间的定义一一 线性空间定义线性空间定义二二 线性空间例子线性空间例子三三 线性空间的子空间线性空间的子空间设V是一个非空集合,在V上任意两元素元运算+满足如下性质:交换律交换律,V 有结合律结合律,V ()()有OV使得对任意,V对任意存在V使得O1)2)3)存在4)一一 线性空间定义线性空间定义定义定义1对任意的对任意的O有,V,定义运算并记为,且,V设R为实
2、数域,对V中的任意元素及R中的任意元素k定义运算并记为,k且,kV运算 满足如下性质:k”“1律律”15)结合律结合律6),k lRV()()()klk ll k都有7)分配律分配律,k lRV都有()k lkl8)分配律分配律,kRV 都有()kkk则称V为R上的一个线性空间上的一个线性空间,简称为实线性空间实线性空间,线性空间中的元素称为向量向量。对任意的对任意的对任意的运算+称为加法加法运算,称为数乘数乘运算,它们统称为k线性运算线性运算。O O称为零向量零向量,,O若则称为的负向量向量,并把的负向量记为。注注(1)零向量 是唯一;设OO也是零向量,则OOO由零向量 可得OOOO设12,
3、都是 的负向量,则11O12122O2(3)由负向量我们可以定义向量间的减法“-”:OO(2)负向量是唯一的;0;O(4)对数零0及任意向量有0;O00000(5)V若数0,k 对有,kO则必有OkO11kOkk1kOkO(6)思考是否存在只有一个向量的线性空间?若存在只有一个向量的线性空间-这唯一的会是谁?称这样的空间为零空间零空间。存在-这唯一的向量不是别的只能是零向量零向量,0;O(4)对数零0及任意向量有0;O00000(5)1;(6)0O1(1)(1)1;称这样的空间为零空间零空间。进一步思考实向量空间的向量个数。思考是否存在一个向量的实线性空间?存在-这唯一的向量不是别的只能是零向
4、量零向量,要么一个(零空间),要么无数个(非零空间)。(7)若实线性空间不是零空间,(零空间),则实线性空间必要无数个向量。设实线性空间V不是零空间,则存在非零向量,V对不同实数12,k k必有12,kk(若12,kk这意味着12,kkO导致,O矛盾)。对实数k,kV当实数k遍历所有实数时k在V中产生无数个向量。综上所述对于实线性空间-要么只有一个向量要么无数个向量(非零空间)。(8)定义中的实数域可以是其它域如复数域、有限域,相应地称V为复数域、有限域上的线性空间。本书不作声明,都是指实数域上线性空间。简称线性空间。不过本书关于实数域上线性空间大部分理论对于一般域上线性空间也成立!二二 线性
5、空间例子线性空间例子nR例例1表示全体n维实向量形成的集合,即12,1ninaaRaRinanR关于关于n维实向量加法和数乘是线性空间。维实向量加法和数乘是线性空间。12,naaa即对12nbbb:kR1122,nnababab12,nkakakkanR显然在 零向量00,0O 12naaa向量的负向量12naaa注注nR是最重要的实线性空间。类似有复线性空间nC例例2设C是复数集,则复数集C关于复数的加法和实数乘复数为一个实线性空间。12,aa iC12,bb iCkR其中1212,a a b bR21.i 则 1122ababi12kkaka i在实线性空间C中零向量为数字0;12aa i
6、的负向量12aai 例例3m n阶实矩阵全体m nM关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间实矩阵空间)。特别的n阶实方阵全体nM关于矩阵线性运算是一个线性空间。111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb ,m nMkR111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababA Bababab 111212122212,nnmmmnkakakakakakakAkakaka 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa m nM中的零向量为m n零矩阵。向量的负向量11
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