线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组――习题课.ppt
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- 线性代数 课件 第三 矩阵 初等 变换 线性方程组 习题
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1、2022-12-16线性代数课件2022-12-16线性代数课件第三章第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组2022-12-16线性代数课件);(),(ccrrjiji记记作作列列对对调调矩矩阵阵的的两两行行);(,)(0 kckrkii 记记作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以数数).(,)()(ckcrkrkjiji 记记作作对对应应的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行初等变换的定义换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换2022-12-16线性代数课件初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的,且
2、其逆变换是三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 2022-12-16线性代数课件.,BABABA记记作作等等价价与与称称矩矩阵阵就就矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵反身性反身性传递性传递性对称性对称性;AA;,ABBA则则若若.,CACBBA则则若若矩阵的等价2022-12-16线性代数课件三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称
3、由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵E2022-12-16线性代数课件).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm 行行对对调调行行与与第第的的第第把把施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换当当于于对对矩矩阵阵相相左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用()换法变换:对调两行(列),得初等()换法变换:对调两行(列),得初等矩阵矩阵).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列对对调调列列与与第第第第的的把把施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用类类似似地地),(jiE2022-12-16线性代
4、数课件()倍法变换:以数(非零)乘某行()倍法变换:以数(非零)乘某行(列),得初等矩阵列),得初等矩阵);(,)(kriAkAkiEim 行行第第的的乘乘相相当当于于以以数数左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相当当于于以以数数右右乘乘矩矩阵阵以以k)(kiE2022-12-16线性代数课件()消法变换:以数乘某行(列)加到另()消法变换:以数乘某行(列)加到另一行(列)上去,得初等矩阵一行(列)上去,得初等矩阵);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相当当于于把把左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(ckcjki
5、AAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相当当于于把把右右乘乘矩矩阵阵以以k)(kijE2022-12-16线性代数课件经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为为0 0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如 0000031
6、0000111041211行阶梯形矩阵2022-12-16线性代数课件经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一个非零元为个非零元为1 1,且这些非零元所在列的其它元素都,且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如 00000310003011040101行最简形矩阵2022-12-16线性代数课件对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素都为
7、阵,其余元素都为0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001矩阵的标准形2022-12-16线性代数课件.,),(,数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个rrnmOOOErFnmnm 所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合,称为一等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类,
8、标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵F2022-12-16线性代数课件定义定义.,2阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所处处不不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在kAkAkkkAnm 矩阵的秩定义定义.0).(,0)(1,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设
9、在在矩矩阵阵ARArADrDrA 2022-12-16线性代数课件;)(,1rARrA 则则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 则则若若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理;)(,rARrA 则则阶子式阶子式中有一个非零的中有一个非零的如果如果2022-12-16线性代数课件.)4(;)3(;)()2(;)1(EAEAnARAA的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA2022-12-16线性代数课件定理定理定理定理
10、.)(0 nARxAnnm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组.),(的的秩秩的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵有有解解的的充充元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组bABAbxAnnm 线性方程组有解判别定理2022-12-16线性代数课件齐次线性方程组齐次线性方程组:把系数矩阵化成行最简形:把系数矩阵化成行最简形矩阵,写出通解矩阵,写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组:把增广矩阵化成行阶梯:把增广矩阵化成行阶梯形矩阵,根据有解判别定理判断是否有解,若有形矩阵,根据有解判别定理判断是
11、否有解,若有解,把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵,写出解,把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵,写出通解通解10线性方程组的解法2022-12-16线性代数课件定理定理.,;,阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设nAAmAAnmA 11初等矩阵与初等变换的关系定理定理.,2121PPPAPPPAll 使使则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设推论推论.,:BPAQQnPmBA
12、nm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵2022-12-16线性代数课件一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题2022-12-16线性代数课件求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法()计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的()计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的子式开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式,则这个子式
13、的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩2022-12-16线性代数课件()用初等变换即用矩阵的初等行(或()用初等变换即用矩阵的初等行(或列)变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶列)变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而梯形矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而初等变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩阵中非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩阵中非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时,计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时,计算量很大,第二种方法则较为简单实用算量很大,第二种方法则较为简单
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