线性代数赵树课件.ppt
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1、2022-12-16线性代数14.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念二、二、特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算三、矩阵特征值、特征向量的性质三、矩阵特征值、特征向量的性质2022-12-16线性代数2 设设A是是n阶矩阵,如果数阶矩阵,如果数 和和n维非零列向量维非零列向量 具具有关系式有关系式 A =(1)成立,则数成立,则数 称为方阵称为方阵A的的特征值特征值,n维非零列向量维非零列向量 称为称为A的的对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量。)2(0)(:)1(AI 式式也也可可以以写写成成组组,个个方方程
2、程的的齐齐次次线线性性方方程程个个未未知知量量这这是是nn定义定义4.1 0)(0)(0)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 即即一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念2022-12-16线性代数3为为:它它有有非非零零解解的的充充要要条条件件)(3 0 A|I|0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa 即:即:的的特特征征方方程程。称称为为矩矩阵阵次次方方程程,为为未未知知量量的的一一元元上上式式是是个个以以An 的的特特征征多多项项式式。称称为为方方阵阵次次多多项项式式,记记为为的的是是其其左左端端A
3、fnAI),(|2022-12-16线性代数4为什么?为什么?个个特特征征值值。有有阶阶矩矩阵阵因因此此等等于于方方程程的的次次数数,内内恒恒有有解解,其其解解的的个个数数特特征征方方程程在在复复数数范范围围由由代代数数基基本本定定理理知知nAn,|)2()1(,)(2122112121AaaaaAnnnnnnij 间间的的关关系系,可可以以证证明明由由多多项项式式的的根根与与系系数数之之的的特特征征值值为为阶阶矩矩阵阵设设矩阵矩阵A的迹的迹tr(A)2022-12-16线性代数5)为为复复向向量量数数,则则为为复复可可取取为为实实向向量量;若若为为实实数数,则则(若若的的特特征征向向量量。特
4、特征征值值的的对对应应于于就就是是那那么么可可求求得得非非零零解解程程的的一一个个特特征征值值,则则由由方方为为方方阵阵设设.,0)(iiiiiiiiippAppXXIAA 二、特征值与特征向量的计算二、特征值与特征向量的计算.)0(,:的的特特征征向向量量也也是是则则的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值是是若若注注AkkpApiii 2022-12-16线性代数6步步骤骤:的的特特征征值值和和特特征征向向量量的的求求矩矩阵阵A。个不同的特征值个不同的特征值有有设设的所有根。的所有根。并求出特征方程并求出特征方程的特征多项式的特征多项式)计算矩阵)计算矩阵(ssAAIAIA ,0|
5、,|121 。不不全全为为其其中中的的全全部部特特征征向向量量对对应应于于即即为为矩矩阵阵那那么么:设设它它的的一一个个基基础础解解系系为为的的基基础础解解系系。线线性性方方程程组组求求齐齐次次的的每每个个特特征征值值)对对(0,0)(),2,1(A2 121ijiijrjijiriiiikAkXAIsiii 2022-12-16线性代数7:1例例.1513的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求矩矩阵阵 A0)2)(4(1513)1:AI解解2,4,)221 的的全全部部特特征征根根为为所所以以 AoXAI )4(:4)31为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组 00551121xx即
6、即.1,0221并并取取为为为为自自由由未未知知量量令令xxx .1)0(11,11111全全部部特特征征向向量量的的对对应应于于即即为为则则基基础础解解系系为为 Acc2022-12-16线性代数8oXAI )2(:22为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组 00151521xx即即 51.052121cxxx取通解取通解为自由未知量为自由未知量,取,取即即.2)0(51222的全部特征向量的全部特征向量对应于对应于即为即为则则 Acc2022-12-16线性代数9例例2 求矩阵求矩阵 131241232A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。解:解:A的特征多项式为的特征多项式为
7、2)3)(1(131241232)(AIf0由此可得由此可得A的特征值为:的特征值为:3,1321 对于对于 1=1时,解方程时,解方程 (IA)X=0,由,由 2022-12-16线性代数10 000130101031231231AI得基础解系:得基础解系:3131 所以属于特征值所以属于特征值 1=1的的全部特征向量是全部特征向量是:),0(313111Rkkk 2022-12-16线性代数11对于对于 2=3=3时,解方程时,解方程(3IA)X=0,由,由 0001101012312112313AI得基础解系:得基础解系:1112 所以属于特征值所以属于特征值 2=3=3的全部特征向量是
8、:的全部特征向量是:),0(111222Rkkk 2022-12-16线性代数12的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。求矩阵求矩阵例例 314020112 3A的特征多项式为的特征多项式为解:解:A 21321 ,的的特特征征值值为为A314020112|AI)1()2(2 2022-12-16线性代数13由由时,解方程时,解方程当当 .0)(11 XAI 的全部特征向量。的全部特征向量。是对应于特征值是对应于特征值所以所以得基础解系:得基础解系:1)0(101111 kk 000010101414030111AI2022-12-16线性代数14由由时时,解解方方程程当当 .0)2(232
9、 XAI 401,11032 得基础解系:得基础解系:0000001141140001142AI的全部特征向量。的全部特征向量。特征值特征值是对应于是对应于不全为零不全为零所以所以2),(32323322 kkkk2022-12-16线性代数15的特征值的特征值是是值值的特征的特征是是一定不等于零,且一定不等于零,且可逆,则可逆,则若若的特征值。的特征值。是是,对任意数对任意数的特征值。的特征值。是是的特征值,一般地,的特征值,一般地,是是的特征值,证明的特征值,证明是方阵是方阵设设例例*1122|)3()2()1(:4AAAAAkIkkAAAmm ;,(1)AA使使得得非非零零向向量量的的特
10、特征征值值,是是方方阵阵证证明明:的的特特征征值值。是是矩矩阵阵而而2222)()(AAAAAA 2022-12-16线性代数16,即即可可得得,由由 kAkA(2)()(kAkI的特征值。的特征值。是是所以,所以,AkIk 。是是对对任任意意的的的的充充要要条条件件,因因此此,由由于于00|(3)21 inAA 11 AA可可得得,由由又又的特征值。的特征值。是是所以,所以,11 A 可可得得,两两边边同同乘乘其其次次在在 *AAAAA|*AA 的特征值的特征值是是即,即,*|AA 2022-12-16线性代数17的的特特征征值值和和特特征征向向量量。求求矩矩阵阵例例 11111111111
11、11111 5A224321 ,2022-12-16线性代数18三、矩阵特征值、特征向量的性质三、矩阵特征值、特征向量的性质.)(,)()()(222102210mmmmkkAaAaAaIaAaaaaAAA 的的特特征征值值。是是的的特特征征值值;是是的的特特征征值值,则则是是方方阵阵若若性性质质性质性质1 方阵方阵A与与AT的特征值相同。的特征值相同。试试求求,。设设,的的特特征征值值为为已已知知三三阶阶方方阵阵例例|5211 63BAABA 2022-12-16线性代数19 njijijnianaA1),2,1(1|)1()(3,阶阶方方阵阵,如如果果是是设设性性质质),2,1(1|)2(
12、1 niijnja,或或),2,1(1|1|)(|),2,1(nknkAkkk ,即即小小于于的的模模的的所所有有特特征征值值有有一一个个成成立立,则则矩矩阵阵2022-12-16线性代数20线线性性无无关关。各各不不相相等等,则则,向向量量。如如果果依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值,的的是是方方阵阵,设设性性质质mmmmmA ,421212121.,1)2(121121线线性性无无关关特特征征向向量量对对应应的的个个互互不不相相同同的的特特征征值值的的设设 mmmA .明明证明:用数学归纳法证证明:用数学归纳法证.,1)1(是线性无关的是线性无关的所以当然单个非零向量
13、所以当然单个非零向量特征向量是非零向量特征向量是非零向量 m.线线性性无无关关应应的的特特征征向向量量个个互互不不相相同同的的特特征征值值对对下下面面只只要要证证明明 m2022-12-16线性代数21:,)1(0112211得得由由上上式式两两端端乘乘以以矩矩阵阵设设iimmmmAAkkkk )2(0111222111 mmmmmmkkkk 0)()(:)1()2(111111 mmmmmmmmmkkk 得得消去消去.0,.0:)1(mmmmkxk则只能有则只能有是非零向量是非零向量式得式得代入代入)1,2,1(0)(:,:121 mikmiim 则则有有线线性性无无关关由由假假设设).1,
14、2,1(0,mikimi .,21线性无关线性无关所以所以m 2022-12-16线性代数22.,:,21特特征征向向量量线线性性无无关关所所有有属属于于不不同同特特征征值值的的的的则则的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量是是属属于于若若可可进进一一步步证证明明同同理理Aiisiii :常用结论常用结论.10,.12或或的的特特征征值值为为则则若若AAA .,.2的的特特征征值值为为则则的的特特征征值值为为若若mmAA 。有有特特征征值值,有有特特征征值值则则的的特特征征值值为为可可逆逆阵阵若若 AAAA*11,0.3 .111.42IAAAIA ,则则的的特特征征值值都都等等于于若若;或
15、或的的特特征征值值为为,则则若若|)2()1.(521221121Aaaannnn 2022-12-16线性代数23特征值。特征值。的另一的另一的值和的值和,求,求,有特征值有特征值已知已知设矩阵设矩阵例例AxAxAA2112402011 721 。,343 x特征向量。特征向量。的的不是不是的特征向量。证明的特征向量。证明,分别是属于分别是属于,的两个不同的特征值,的两个不同的特征值,是矩阵是矩阵,设设例例AA21212111 8 2022-12-16线性代数24 .,0det,2,03det:4 1的一个特征值的一个特征值及及求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAAIAAAIAT思考题
16、思考题2022-12-16线性代数25思考题解答思考题解答知知由由可逆可逆故故因为因为解解0)3det(.,0det IAAA,3的的一一个个特特征征值值是是A.31 ,1的一个特征值的一个特征值是是从而从而 A即即得得又又由由,16)2det()det(2 IAAIAATT,4det,0det,4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34*有一个特征值为有一个特征值为故故A2022-12-16线性代数264.2 相似矩阵和矩阵的对角化相似矩阵和矩阵的对角化一、相似矩阵一、相似矩阵二、矩阵的对角化二、矩阵的对角化2022-12-16线性代数27111)()(.,PBPAAPP
17、BAPBPAkk 的的多多项项式式则则若若11)()(,PPAAAPPP 的的多多项项式式则则为为对对角角阵阵,使使得得若若有有可可逆逆阵阵特特别别).(AA 的的多多项项式式由由此此可可以以方方便便地地计计算算 )()()()(,2121nknkkk ,有有而而对对于于对对角角阵阵一、相似矩阵一、相似矩阵问题引入:问题引入:2022-12-16线性代数28 使得使得 P-1AP=B,则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵,或说,或说A与与B相似相似,记作,记作AB。注意:矩阵的等注意:矩阵的等价与相似的区别价与相似的区别定义定义 设设A,B都是都是n阶矩阵,若有可逆阵阶矩阵,若有可逆阵P,对对
18、A进行的运算进行的运算P-1AP称为对称为对A进行进行相似变换相似变换,可,可逆矩阵逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵相似变换矩阵。问题问题1 矩阵矩阵A满足什么条件,才能和对角矩阵相似?满足什么条件,才能和对角矩阵相似?问题问题2 若矩阵若矩阵A与对角矩阵相似,如何求与对角矩阵相似,如何求P、B?511120041513PBA,例例如如,2022-12-16线性代数29由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系,具有如下性质关系,具有如下性质(1)反身性反身性 AA;(2)对称性对称性 若若AB,则,则BA;(3)传递性传递性 若若
19、AB,BC,则,则AC。同,从而特征值相同。同,从而特征值相同。的特征多项式相的特征多项式相与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABAn,1 1B,APPPBA 1,使得使得存在可逆阵存在可逆阵相似,相似,与与证明:证明:|1APPIBI 而而|1PAIP|AI 2022-12-16线性代数30推论推论2 相似矩阵的行列式相同,迹相同,秩也相同。相似矩阵的行列式相同,迹相同,秩也相同。推论推论3 相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时其逆矩相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时其逆矩阵也相似。阵也相似。个个特特征征值值。的的即即是是,相相似似,则则与与对对角角阵阵阶阶矩矩阵阵若若nAAnnn
20、 2121 推推论论1 12022-12-16线性代数31二、矩阵的对角化二、矩阵的对角化 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A可对角化可对角化(即即相似于对角阵相似于对角阵)的的充分充分必要条件是必要条件是 A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。),(,211n-diagAP PP 其其中中使使得得设设有有可可逆逆矩矩阵阵必必要要性性证证明明:则则有有按按列列分分块块,将将,)(21n,PP ,2,1,niAiii 因因而而 PAP 即即 nnn,A 212121)()(2022-12-16线性代数32iiinnA,nA 则则。,为为它它们们对对应应的的特特征征值值分分别别个个线线性性
21、无无关关的的特特征征向向量量有有设设矩矩阵阵充充分分性性2121 可可逆逆线线性性无无关关又又即即)(2121nn,P,PAP nnn,A 212121)()(相似相似与与故有故有AAPP ,1的的特特征征向向量量。对对应应于于特特征征值值它它们们分分别别是是线线性性无无关关且且故故可可逆逆因因为为nnnA,P ,)(212121 2022-12-16线性代数33与对角矩阵相似。与对角矩阵相似。则则个特征值互不相等,个特征值互不相等,的的阶矩阵阶矩阵如果如果推论推论,可得,可得联系上节定理联系上节定理AnAn 41定定能能对对角角化化。的的特特征征向向量量,从从而而不不一一个个线线性性无无关关
22、它它不不一一定定有有的的特特征征方方程程有有重重根根时时,当当nA能对角化。能对角化。不不中的中的,因此例,因此例个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量找不到找不到且且的特征方程就有重根,的特征方程就有重根,中的中的例例例如在例如在AA1311.42022-12-16线性代数34 022242111A解解 先求特征值与特征向量:先求特征值与特征向量:。能能否否对对角角化化?并并求求判判断断下下列列矩矩阵阵例例51AA推论推论1 n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是相似于对角矩阵的充要条件是A 的每的每一个一个 ni(i=1,2,s)重特征值对应有重特征值对应有ni 个线性无关个线性无关
23、的特征向量。的特征向量。推论推论2 n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是相似于对角矩阵的充要条件是A 的的每一个每一个 ni(i=1,2,s)重特征值重特征值 i对应矩阵对应矩阵 iI-A的的秩为秩为n-ni。2022-12-16线性代数352)2)(1(22242111)(IAfA的特征多项式为的特征多项式为:因此因此A的特征值为的特征值为232 ,11 对于对于 1=1时,解方程时,解方程(I-A)X=0,由,由 0001102/101122232110AI得基础解系,即一个线性无关的特征向量得基础解系,即一个线性无关的特征向量 2211 2022-12-16线性代数36 0112
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