线性代数-第34节-向量组的极大线性无关组(修改)课件.ppt
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1、第第3.43.4节节 向量组的极大向量组的极大 线性无关组线性无关组主要内容主要内容:一等价向量组一等价向量组二向量组的极大线性无关组二向量组的极大线性无关组三三 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组一、等价向量组定义定义1:如果向量组如果向量组 中的每一个向量中的每一个向量 12:,mA (1,2,)iit 都可以由向量组都可以由向量组12:,sB 线性表示,那么就称线性表示,那么就称向量组向量组A可以由向量组可以由向量组B线性表示线性表示。若同时向量组若同时向量组B 也可以由向量组也可以由向量组A线性表示,就称线性表示,就称向量组向量组A与向量组与向量组B等价。等
2、价。1,2,12211mikkksisiii 2,2,12211silllmimiii 即即(1)自反性:)自反性:一个向量组与其自身等价;一个向量组与其自身等价;(2)对称性:)对称性:若向量组若向量组 与与 等价,则等价,则 和和 等价;等价;ABABA(3)传递性:)传递性:与与 等价等价,与与 等价,则等价,则 与与 等价。等价。CBCAB向量组的等价关系具有以下三个性质:向量组的等价关系具有以下三个性质:定理定理1:设设12,s 与与 是两个向量组,如果是两个向量组,如果12,t (2)st 则向量组则向量组 必线性相关。必线性相关。12,s 推论推论1 1:如果向量组如果向量组 可
3、以由向量组可以由向量组12,t 线性表示,并且线性表示,并且12,s st 12,s 线性无关,那么线性无关,那么12,s (1)向量组向量组12,t 线性表示;线性表示;可以由向量组可以由向量组二、向量组的极大线性无关组二、向量组的极大线性无关组定义定义2:注注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组)只含零向量的向量组没有极大无关组.简称简称极大无关组。极大无关组。对向量组对向量组A,如果在,如果在A中有中有r个向量个向量12,r 满足:满足:012:,rA 线性无关。线性无关。(1)那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 的一个的一个极大线性无关组。极大线性无关组。0AA(2)一个线
4、性无关向量组的极大无关组就是其本身。)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。(2)A中的任一向量都能由中的任一向量都能由 线性线性 表示。表示。012:,rA 例例1:在向量组在向量组 中,中,123242121,354141 12,首先首先线性无关,线性无关,又又123,线性相关,线性相关,所以所以12,组成的部分组是极大无关组。组成的部分组是极大无关组。还可以验证还可以验证23,也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。注:注:一个向量组的一个向量组的极大无关组极大无关组一般一般不是唯一的。不是唯一的。基本性质:基本性质:一个向量组的任意两个极大无关组等价,一个向量组的任意两个极大无关组
5、等价,且所含向量的个数相同。且所含向量的个数相同。定理定理2:任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。性质性质1:向量组的任意两个极大无关组都是等价的。向量组的任意两个极大无关组都是等价的。性质性质2:例例1:在向量组在向量组 中,中,123242121,354141 12,首先首先线性无关,线性无关,又又123,线性相关,线性相关,所以所以12,组成的部分组是极大无关组。组成的部分组是极大无关组。还可以验证还可以验证23,也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。(1)(2)个个向向量量且且都都含含有有等等价价,与与等等价价,与与等等价价,与与2,3
6、2213213232121 三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义定义3:向量组的极大无关组所含向量的个数向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个称为这个向量组的秩向量组的秩,记作记作例如:例如:向量组向量组 的的123242121,354141 秩为秩为2。12(,)sr 1.向量组的秩向量组的秩注:注:(1)零向量组的秩为)零向量组的秩为0。(2)向量组)向量组12,s 线性无关线性无关12(,)srs 向量组向量组12,s 线性相关线性相关12(,)srs (3)如果向量组)如果向量组可以由向量组可以由向量组12,t 线性表示,则线性表示,则12,s 1212(,
7、)(,)strr 1 )()(R RR R),(),),(如如1101 ,2.矩阵的秩矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这些认为由这些 行向量行向量组成,组成,把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些认为由这些列向量列向量组成。组成。定义定义4:矩阵的行向量组的秩,就称为矩阵的行向量组的秩,就称为矩阵的行秩矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩,就称为矩阵的列向量组的秩,就称为矩阵的列秩矩阵的列秩。例例2:讨论矩阵讨论矩阵113102140005000
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